例談“構(gòu)造輔助函數(shù)”在不等式問題中的應(yīng)用

李永杰

摘 要：在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，“構(gòu)造法”是一種極具創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法，利用“構(gòu)造法”解題可以更直觀、更簡單的解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.本文結(jié)合實(shí)例，著重介紹“構(gòu)造輔助函數(shù)”在不等式問題中的常見應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想構(gòu)造法輔助函數(shù);不等式

“構(gòu)造輔助函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)“函數(shù)思想”的重要體現(xiàn)，對(duì)于一些不等式中的求參數(shù)范圍、不等式證明等問題，若通過構(gòu)造輔助函數(shù)，再進(jìn)一步研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)求解，問題將變得簡單.下面通過實(shí)例加以說明.

一、直接構(gòu)造法

例1.實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，不等式ex≥kx對(duì)任意x∈R恒成立？

解析：方法1：由于，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)考察單調(diào)性，確定函數(shù)最小值m，只要m≥0即可.，討論如下：

（1） 若k<0，則f'（x）>0，f（x）是R上增函數(shù)，f（x）值域?yàn)椋?∞，+∞），無最小值;

（2） 若k=0，則由ex≥0知原不等式對(duì)任意x∈R恒成立;

（3） 若k>0，則解，得x=lnk.

當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.

故x=lnk為極小值點(diǎn)，是極小值.

又，，故f（lnk）也是最小值.

于是解，得

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[0，e].

方法2（分離參數(shù)）：當(dāng)x>0時(shí)，;當(dāng)x<0時(shí)，

設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求f（x）在x>0時(shí)的最小值及x<0時(shí)的最大值.（以下略）

評(píng)注：上述兩種構(gòu)造函數(shù)的方法存在差異：方法（1）是直接構(gòu)造，方法（2）是分離參數(shù)后再構(gòu)造，前者過程略顯復(fù)雜。

二、稍作變形后再構(gòu)造

例2.設(shè)函數(shù)（x>0且x≠1）

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）已知對(duì)任意x∈（0，1）成立，求實(shí)數(shù)α的取值范圍。

解析：（1）略

（2） 若直接構(gòu)造函數(shù)，則求導(dǎo)困難，受第（1）小題啟發(fā)，可將不等式作如下變形：在兩邊取對(duì)數(shù)，得，考慮分離變量：由0-eln2，故α的取值范圍為.

評(píng)注：觀察所給式子結(jié)構(gòu)特征，尋找（2）中不等式與（1）的聯(lián)系.當(dāng)不等式中出現(xiàn)指數(shù)式時(shí)，可嘗試先對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，然后再構(gòu)造輔助函數(shù).

三、構(gòu)造雙函數(shù)

例3.對(duì)一切x>0，都有.

分析：本題若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，則難以判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)也不易求出，因此單調(diào)性和極值點(diǎn)都不易獲得.從而需要先變形，采用更加靈活的構(gòu)造方法.

證明：設(shè)f（x）=xlnx，，求導(dǎo)得f'（x）=1+lnx，.

易知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x=1時(shí)，. 又兩個(gè)最值不是在同一點(diǎn)取得.所以f（x）>g（x），變形即得原不等式.

評(píng)注：本題突破只構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)的常規(guī)思路，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)有最小值，一個(gè)有最大值，解法巧妙.其實(shí)，這并非新奇的方法，而是基于按常規(guī)構(gòu)造將出現(xiàn)“不易求出導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)，從而無法求出函數(shù)最小值”的困惑，由此所作的變式處理策略而已.

以上通過實(shí)例，展示了“構(gòu)造輔助函數(shù)”在不等式相關(guān)問題中的應(yīng)用.“構(gòu)造輔助函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)“函數(shù)思想”的重要體現(xiàn)，其巧妙之處在于不直接求解所給問題A，而是通過構(gòu)造一個(gè)與A相關(guān)的輔助函數(shù)B，通過對(duì)函數(shù)B性質(zhì)的考察，不僅可以解決問題A，而且使得過程簡單明了.

參考文獻(xiàn)

[1]《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2018.7

[2]《數(shù)學(xué)通訊》2019.10