如何利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解解析式中的參數(shù)ω

胡愛朝

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)ω的值或范圍是三角函數(shù)中比較典型的問題，能有效考查學(xué)生對三角函數(shù)基本性質(zhì)的掌握程度。關(guān)于ω的求解問題是近幾年考查的熱點(diǎn)，本文就如何突破解析式中參數(shù)ω的方法做了總結(jié)，以供讀者參考。

一、利用三角函數(shù)的對稱性求解參數(shù)ω

函數(shù)的對稱中心為，對稱軸為，函數(shù)的對稱中心和對稱軸都是和ω有關(guān)，因此利用對稱性就可以求解含參數(shù)ω的問題。

例1：將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則ω的最小值為（ ）

A.1 B.2 C.4 D.

分析：平移后為：，平移后的圖像關(guān)于y軸對稱，所以，即ω=6k-1，因?yàn)棣?gt;0，所以當(dāng)k=1時(shí)ω的最小值為4，所以選C

評析：三角函數(shù)的對稱軸，對稱中心影響著參數(shù)ω的取值或范圍，可以利用三角函數(shù)的整體思想，將ωx+φ作為一個(gè)整體代入相應(yīng)的性質(zhì)就可以求解ω的值或范圍。

二、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)ω

是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，外部函數(shù)是y=Asint，內(nèi)部函數(shù)是t=ωx+φ，內(nèi)部是單調(diào)遞增函數(shù)，所以尋找外部函數(shù)y=Asint的單調(diào)區(qū)間，就是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。在利用單調(diào)性求解參數(shù)ω的問題中，已知的單調(diào)區(qū)間M是函數(shù)（A>0，ω>0）的單調(diào)區(qū)間D的子集，利用這個(gè)結(jié)論就可求ω范圍。

例2.已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（）

A. B. C. D.

分析：

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在上單調(diào)遞減，所以

，

即，

因?yàn)?/p>

得

所以當(dāng)k=0時(shí)，，故選B。

評析：在利用單調(diào)性求ω的問題中，可先求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間D，然后利用題目中給定的區(qū)間這個(gè)關(guān)系求解，區(qū)間M的長度必不超過，兩個(gè)性質(zhì)同時(shí)運(yùn)用就可求出ω范圍。

三、利用零點(diǎn)的距離求參數(shù)ω

對函數(shù)的圖象分析可知，函數(shù)兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之間的距離為半個(gè)周期，距離的大小影響著周期，進(jìn)而影響著ω的范圍。

例3.已知函數(shù)若函數(shù)f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）

A.

B.

C.

D.

分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點(diǎn)，可以分為兩種情況：

（1），

則，

則，取k=0，

∵ω>0，

;

（2），

則，

解得：，

取k=0，;

綜上可知k的取值范圍是，選D.

評析：本題首先利用降冪公式和輔助角公式把函數(shù)的解析式化為標(biāo)準(zhǔn)型，函數(shù)f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點(diǎn)，根據(jù)x的范圍求出的范圍，使其在或在內(nèi)恰好函數(shù)無零點(diǎn)，求出ω的范圍。

四、利用三角函數(shù)多種性質(zhì)綜合運(yùn)用來求ω

三角函數(shù)的性質(zhì)包括單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性、最值和零點(diǎn)等多種性質(zhì)，這些性質(zhì)都和函數(shù)的周期有關(guān)，進(jìn)而影響著ω的范圍，解題時(shí)應(yīng)圍繞周期變化這一方向來分析。

例4.已知函數(shù)為f（x）的零點(diǎn)，為y=f（x）圖像的對稱軸，且f（x）在單調(diào)，則ω的最大值為

（A）11? ? ? ? （B）9? ? ?（C）7? ? ? ? （D）5

分析：函數(shù)的一條對稱軸為，是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，所以，即ω=2k+1，四個(gè)選項(xiàng)都有對應(yīng)的k值存在。

檢驗(yàn)：當(dāng)ω=11時(shí)，周期所以函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)

當(dāng)ω=9時(shí)，周期所以f（x）在上單調(diào)，所以ω的最大值為9，答案為B.

結(jié)語：在求解ω的問題中，要熟悉三角函數(shù)的基本圖象，理解周期性、單調(diào)性、對稱性和最值之間的聯(lián)系，學(xué)會數(shù)形結(jié)合思想和整體思想，只有這樣才能解決有關(guān)ω的難點(diǎn).