微專題之三次函數(shù)

摘?要：三次函數(shù)是重要的一類函數(shù)，以其為載體考查考生的數(shù)形結合能力，推理論證能力.對三次函數(shù)的相關知識點以及題型作出歸納，提高復習備考效益，提高數(shù)學核心素養(yǎng).

關鍵詞：三次函數(shù);復習備考;數(shù)學核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0016-04

三次函數(shù)是一類重要的函數(shù)，以三次函數(shù)為載體的試題經(jīng)常出現(xiàn)在高考以及各級各類高三綜合卷當中，內容主要涉及借助導數(shù)研究三次函數(shù)的圖象，性質等等.

一、知識點

設三次函數(shù)為f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0，x∈R.f ′（x）=3ax2+2bx+c，為二次函數(shù).令Δ=b2-4ac.

1.圖象及其單調性

當a>0時，若Δ≤0，則f（x）在R上單調遞增，無極值.若Δ>0，則令f ′（x）=3ax2+2bx+c=0，解得極值點為x1，x2（設x1<x2），則f（x）在（-∞，x1）上單調遞增，在（x1，x2）單調遞減，在（x2，+∞）單調遞增，極大值為f（x1），極小值為f（x2）.

當a<0時，若Δ≤0，則f（x）在R上單調遞減，無極值;若Δ>0，則令f ′（x）=3ax2+2bx+c=0，解得極值點為x1，x2（設x1<x2），則f（x）在（-∞，x1）上單調遞減，在（x1，x2）單調遞增，在（x2，+∞）單調遞減，極小值為f（x1），極大值為f（x2）.

2.一個重要結論

若三次函數(shù)有極值，則必有一個極大值，一個極小值Δ>0.

3.對稱中心

任何三次函數(shù)都有對稱中心，且對稱中心在圖象上.若三次函數(shù)有極值，則兩個極值點關于對稱中心是對稱的.三次函數(shù)的對稱中心坐標為（-b3a，f（-b3a））.二、應用

題型1：三次函數(shù)的零點問題

此類題型主要以三次函數(shù)為載體，告知零點情況，求參數(shù)的值或者取值范圍，需要借助導數(shù)運算考查其單調性，結合題意求解，往往伴隨著對參數(shù)的分類討論.

例1?（2018年江蘇卷第11題）

若函數(shù)f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個零點，則f（x）在-1，1上的最大值與最小值的和為.

解析?顯然f（0）=1.f ′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）.

令f ′（x）=0得x1=0，x2=a3.

若a=0，則f ′（x）≥0，f（x）在R上單調遞增.故當x∈（0，+∞）時f（x）>1.此時f（x）在（0，+∞）上無零點.

若a<0，則x2<x1，f（x）在（0，+∞）上單調遞增.故當x∈（0，+∞）時f（x）>1.此時f（x）在（0，+∞）上無零點.

若a>0，則x2>x1，f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，a3）上單調遞減，在（a3，+∞）上單調遞增.由已知有f（a3）=0，解得a=3.

此時數(shù)f（x）=2x3-3x2+1，在-1，1上的最大值與最小值的和為分f（-1）+f（0）=-4+1=-3.

例2?（2014年新課標全國Ⅰ卷第11題）

已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是.

解析?顯然f（0）=1.f ′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）.

令f ′（x）=0得x1=0，x2=2a.

若a<0，則x2<x1，f（x）在（-∞，2a）上單調遞減，在（2a，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減.由已知有f（2a）>0，解得a<-2.

若a>0，則x2>x1，f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，2a）上單調遞減，在（2a，+∞）上單調遞增.此時f（x）在（-∞，0）上存在零點，不符合題意.

綜上，a<-2.

題型2：三次函數(shù)的圖象問題

此類題型經(jīng)常需要畫出三次函數(shù)的圖象，結合圖象進行求解，主要考查考生的數(shù)形結合能力，推理論證能力.

例3?（2015年安徽卷第15題）

設x3+ax+b=0，其中a，b均為實數(shù).下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是（1）a=-3，b=-3;（2）a=-3，b=2;（3）a=-3，b>2;（4）a=0，b=2;（5）a=1，b=2.

解析?對于（3），當a=-3，b>2時，有x3-3x+b=0.

設f（x）=x3-3x+b，令f ′（x）=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1.

易知f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.

f（-1）=2+b>0，f（1）=-2+b>0，如圖（1）所示，此時f（x）只有一個零點，符合題意.?圖1

可得正確答案是（1），（3），（4），（5）正確.

例4?（2015年湖南卷第15題）

已知函數(shù)f（x）=x3，x≤a，x2，x>a，若存在實數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b兩個零點，則a的取值范圍是.

解析?函數(shù)g（x）=f（x）-b兩個零點等價于y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點.

圖2

畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，該圖象隨著a的變化而變化.如圖2所示.易知當0≤a≤1時，不存在直線y=b使得兩者的圖象有兩個交點.因此符合題意的a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）.

例5?（2016年北京卷第14題）

設函數(shù)f（x）=x3-3x，x≤a，-2x，x>a.

（1）若a=0，則f（x）的最大值為;

（2）若f（x）無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是.

解析?（1）當a=0，畫出f（x）的圖象，如圖3所示.

圖3圖4

此時f（x）的最大值為f（-1）=2.

f（x）的圖象隨著實數(shù)a的變化而變化，如圖4所示，觀察圖象的變化可知當a<-1時，f（x）無最大值.

題型3：已知恒成立求參數(shù)取值范圍

此類題型一般以含參三次函數(shù)為載體，告知該三次函數(shù)在某個區(qū)間上恒大于零或恒小于零，要求參數(shù)的取值范圍.一般采取分離變量轉化為求新函數(shù)最值的方法求解.例6?（2014年遼寧卷第11題）

當x∈-2，1時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

解析?當x=0時，有a∈R.

當x∈[-2，0）時，有a≤1x-4x2-3x3.令t=1x，則t∈（-∞，-12]且a≤t-4t2-3t3.

令g（t）=t-4t2-3t3，只需a≤g（t）min.g′（t）=-9t2-8t+1，令g′（t）=0，得t=-1.

易知當t∈（-∞，-1）時，g（t）單調遞減;當t∈（-1，-12）時，g（t）單調遞增.

故當t=-1時g（t）有最小值-2，所以a≤-2.

當x∈（0，1]時，有a≥1x-4x2-3x3.令t=1x，則t∈[1，+∞）且a≥t-4t2-3t3.

令g（t）=t-4t2-3t3，只需a≥g（t）max.

由于g′（t）=-9t2-8t+1≤0在t∈[1，+∞）恒成立，

所以g（t）在t∈[1，+∞）上單調遞減，故當t=1時g（t）有最大值-6，所以a≥-6.

綜上有-6≤a≤-2.

題型4：三次函數(shù)的對稱性問題

此類題型主要圍繞三次函數(shù)的對稱中心展開試題的命制，需要綜合運用導數(shù)，不等式等相關知識求解.

例7?函數(shù)y=（x+1）3+xx+1與y=-x+b的圖象交點的橫坐標之和為-2，則b=.

圖5解析?令（x+1）3+xx+1=-x+b，則有x3+3x2+4x+1-b=-xx+1.

由于函數(shù)y=-xx+1的圖象對稱中心是（-1，-1），且圖象交點的橫坐標之和為-2，如圖5所示，因此函數(shù)y=x3+3x2+4x+1-b的對稱中心也是（-1，-1）.故有b=0.

例8?若曲線y=f（x）上存在三點A，B，C，使得AB=BC，則稱曲線有“中位點”.現(xiàn)有下列曲線：

（1）y=cosx;

（2）y=1x;

（3）y=x3+x2-2;

（4）y=x3.

其中有中位點的是.

解析?若給出的曲線是中心對稱圖形且對稱中心在圖象上，則此曲線一定有中位點，則（1）（3）（4）符合題意.

例9?已知直線l：kx-y-k+1=0與函數(shù)f（x）=x3-3x2+2x+1，x≤2，ax-2a+1，x>2的圖象交于三點，其橫坐標分別是x1，x2，x3.若對任意的0<k<3，x1+x2+x3<3恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

解析?對于f（x）=x3-3x2+2x+1，f（x）的對稱中心是（1，1），顯然直線l過f（x）對稱中心.假設其3個交點分別為x1，x2，x4，則有x2=1，x1+x4=2.則必有x3<x4恒成立.

聯(lián)立y=3x-2，y=x3-3x2+2x+1，解得x4=3，y4=7.則有a≥7-13-2=6.

題型5：三次函數(shù)的綜合性問題

例10?（2013年安徽卷第10題）

若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點x1，x2，且f（x1）=x1，則關于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實根個數(shù)是.

解析?由已知有x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的兩個不同實根.結合題意有f（x）=x1，或者f（x）=x2.問題轉化成直線y=x1與y=x2跟y=f（x）圖象交點的個數(shù).

若x1>x2，如圖6所示，此時有三個交點;若x1<x2，如圖7所示，此時有三個交點.

圖6圖7

因此，不同實根個數(shù)是三個.

圖8例11?已知函數(shù)f（x）=（x-a）3-3x+a（a>0）在-1，b上的值域為-2-2a，0，則b的取值范圍是.

解析?對于函數(shù)f（x）=（x-a）3-3x+a（a>0），求導f ′（x）=3x2-6ax+3（a2-1），即f ′（x）=3（x-（a+1））（x-（a-1））.令f ′（x）=0，得x1=a-1>-1，x2=a+1>1.

極大值為f（a-1）=2-2a，極小值為f（a+1）=-2-2a.

結合圖8可得a-1=0，a=1.

例12?設函數(shù)f（x）=13x3-3x2+（8-a）x-5-a，若存在唯一的正整數(shù)x0，使得f（x0）<0，則a的取值范圍是.

解析?由已知令f（x）<0，得13x3-3x2+8x-5<a（x+1）.

令g（x）=13x3-3x2+8x-5，h（x）=a（x+1），顯然直線h（x）過定點（-1，0）.

由題意得存在唯一的正整數(shù)x0，使得g（x0）<h（x0）.

g′（x）=x2-6x+8，令g′（x）=0得x1=2，x2=4.

g（0）=-5，g（1）=13，g（2）=53，g（3）=1，g（4）=13，g（5）=53.

圖9

如圖9所示，畫出g（x）和h（x）的圖象，可得不等式組g（4）<h（4），g（1）≥h（1），g（2）≥h（2），g（3）≥h（3），g（5）≥h（5）.，解得a∈（115，16].

不難發(fā)現(xiàn)，三次函數(shù)試題綜合性強，融函數(shù)，導數(shù)，不等式等于一體，能夠較好地考查考生的數(shù)形結合能力，推理論證能力，計算求解能力，因而備受命題者青睞.在實際解題中，我們要在掌握好三次函數(shù)基本知識，基本方法的基礎上根據(jù)題目條件靈活轉化，將未知轉向已知，化抽象為具體，化繁為簡，從而真正提高解題能力，實現(xiàn)高效復習備考.

參考文獻：

[1]蘇藝偉.五環(huán)節(jié)教學，提升習題課品質[J].中國數(shù)學教育，2017（09）：22-26.

[責任編輯：李?璟]