陳永志
摘?要:多變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題,特別是雙變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題,是近年的模擬題、高考題、自主招生題或競賽題中的常見題型,難度較大,思維方式多變,求解方法多樣,有助于激發(fā)我們學習的主動性、積極性和趣味性,培養(yǎng)發(fā)散思維能力,從而全面提高我們的知識水平和思維能力.
關鍵詞:最大值;判別式;基本不等式;三角換元;柯西不等式
中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2020)22-0059-02
在近年的模擬題、高考題、自主招生題或競賽題中,經常會碰到求解多變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題,特別是雙變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大,思維方式多變,求解方法多樣
.
一、問題呈現(xiàn)
問題?已知3=a2+c2-ac,則c+2a的最大值為.
本題是一道雙變元在已知條件下,相應的代數(shù)式的最值的求解問題.這類問題一直受備命題者的青睞.通過認真審視這道試卷,在不同視角下,得到了該題的不同解題思維與對應的精彩解法.
二、多解探究
思維角度1?(判別式法1)設出所要求解的代數(shù)式c+2a=t,通過參數(shù)的轉化代入已知的代數(shù)關系式建立關于某個字母的二次方程,結合二次方程的判別式法來確定參數(shù)t的取值范圍,達到求解的目的.
解法1?設c+2a=t,則有c=t-2a.
由a2+c2-ac=3,可得a2+(t-2a)2-a(t-2a)=3,整理可得7a2-5ta+t2-3=0.
由Δ=25t2-28(t2-3)≥0,解得-27≤t≤27,
則c+2a的最大值為27.故填答案:27.
思維角度2?(判別式法2)設出所要求解的代數(shù)式的平方t=(c+2a)2,根據(jù)條件化為齊次分式,結合c是否為0加以分類討論,并通過k=ac化為相應的二次方程,利用二次方程的判別式法來確定參數(shù)的取值范圍,進而通過求解來確定相應代數(shù)式的最值問題.
解法2?由a2+c2-ac=3,可設t=(c+2a)2=(c+2a)21=12a2+3c2+12aca2+c2-ac.
當c=0時,a2=3,可得a=±3,c+2a=±23.
當c≠0時,設k=ac,則有t=(c+2a)2=12a2+3c2+12aca2+c2-ac=12k2+12k+3k2-k+1,整理有(12-t)k2+(t+12)k+3-t =0.
當t=12時,此時c+2a=±23;
當t≠12時,Δ=(t+12)2-4(12-t)(3-t)≥0,解得0≤t≤28,即(c+2a)2≤28,解得-27≤c+2a≤27.
綜上分析可得-27≤c+2a≤27,則c+2a的最大值為27,故填答案:27.
思維角度3?(基本不等式法)結合條件,利用配方公式以及基本不等式加以轉化,進而確定代數(shù)式(c+2a)2的取值范圍,通過求解二次不等式來確定相應代數(shù)式的最值問題.
解法3?由a2+c2-ac=3,則有3=a2+c2-ac=(c+2a)2-3a2-5ac,
結合基本不等式有(c+2a)2=3+3a2+5ac =3+a(3a+5c)=3+ 17·(7a)·(3a+5c)≤3+ 17·(7a+3a+5c2)2=3+25(c+2a)228,
整理可得(c+2a)2≤28,解得-27≤c+2a≤27.
則c+2a的最大值為27,當且僅當7a=3a+5c,即a=54c=577時等號成立,
故填答案:27.
思維角度4?(三角換元法)根據(jù)已知關系式a2+c2-ac=3加以轉化,利用三角換元思維引入參數(shù),得到a、c的三角表達式,進而代入所求代數(shù)式c+2a,利用三角恒等變換,結合三角函數(shù)的圖象與性質來確定其相應的最值問題.
解法4?由a2+c2-ac=3,整理可得(a-12c)2+(32c)2=3.
設a-12c=3cosα,32c=3sinα,則有a=sinα+3cosα,c=2sinα,
那么c+2a=2sinα+2sinα+23cosα=4sinα+23cosα=27sin(α+φ)∈[-27,27],
則c+2a的最大值為27.故填答案:27.
思維角度5?(柯西不等式法)根據(jù)已知關系式a2+c2-ac=3加以轉化,結合所求代數(shù)式c+2a,配湊相應的系數(shù),結合柯西不等式加以確定對應的關系式,再通過求解二次不等式來確定相應代數(shù)式的最值問題.
解法5?由a2+c2-ac=3,
結合柯西不等式可得3=(a-12c)2+(32c)2=[(a-12c)2+(32c)2][?22+(43)2]·328≥[2·(a-12c)+43·(32c)]2·328=328(c+2a)2,
整理可得(c+2a)2≤28,解得-27≤c+2a≤27,
則c+2a的最大值為27,當且僅當43·(a-12c)=2·(32c),即a=54c=577時等號成立.
故填答案:27.
當我們解完一道題以后,要不斷領悟反思,多角度切入進行深度挖掘,從而達到觸類旁通、一題多解的效果.而通過典型模擬題實例的一題多解,可以使得我們的解題思路更加開闊,數(shù)學知識的掌握更加熟練,同時思維拓展,妙法頓生,提高解題速度,培養(yǎng)發(fā)散思維能力,有助于激發(fā)我們學習的主動性、積極性和趣味性,從而全面提高我們的知識水平和思維能力.
參考文獻:
[1]孫小芳.雄關漫道真如鐵,而今邁步從頭越——2019年天津卷理科第13題最值的破解[J].中學數(shù)學,2019(21):29-30.
[責任編輯:李?璟]