三角函數(shù)求值策略之“無(wú)中生有”

摘?要：本文對(duì)三角式求值問(wèn)題，采用無(wú)中生有的策略，運(yùn)用構(gòu)造法，獲得了簡(jiǎn)潔而富于創(chuàng)造性的解法.

關(guān)鍵詞：求值;無(wú)中生有;構(gòu)造

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0026-02

一、無(wú)中生“1”

例1?已知tanα=2，求sinαcosα的值.

解析?sinαcosα=sinαcosα1=sinαcosαsin2α+cos2α=sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=tanαtan2α+1=25.

本題直接求解需要分類討論，運(yùn)算也會(huì)繁瑣些，通過(guò)構(gòu)造分母1湊出齊次式，可利用同角三角函數(shù)關(guān)系式直接轉(zhuǎn)化為只含有tanα的式子，使問(wèn)題順利解決.

例2?計(jì)算1-tan15°1+tan15°.

解析?1-tan15°1+tan15°=tan45°-tan15°1+1×tan15°

=tan45°-tan15°1+tan45°×tan15°

=tan（45°-15°）=tan30°=33.

二、無(wú)中生“三角形”

例3?求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

解析?構(gòu)造△ABC，使得A=38°，B=82°，C=60°，設(shè)△ABC外接圓直徑為2R，

則：sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.

由正弦定理：sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

=14R2（a2+b2-2abcosC）

=c24R2=sin2C=34.

反思?如果利用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值運(yùn)算，需要降冪公式和和差化積公式，

較繁瑣，而且和差化積公式現(xiàn)在已經(jīng)不學(xué)了.仔細(xì)觀察所給角的特征我們發(fā)現(xiàn)38°，82°與60°

正好構(gòu)成一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，因此考慮構(gòu)造三角形利用正余弦定理求解.實(shí)際上利用歸

納推理，大家還可以得到一般性結(jié)論： 這實(shí)際上是正余弦定理的綜合形式.

例4?求cos36°的值.

解析?如圖建立三角形ABC，∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°，

作∠ABC的角平分線BD.

設(shè)AB=AC=1，BD=AD=BC=x，則CD=1-x.

顯然△ABC～△BDC，

所以BCDC=ABBD，即x1-x=1x，

解得x=5-12.

在△ABC中，cos36°=12+12-x22×1×1=1+54.

反思?實(shí)際上我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形的腰與底之比為黃金分割數(shù)5-12，

因此這個(gè)三角形也稱為黃金三角形或最美三角形.

三、無(wú)中生“向量”

例4?求函數(shù)y=4cosx+3sinx的最大值.

解?構(gòu)造向量，設(shè)a=（4，3），b=（cosx，sinx）.

顯然向量b=1，即向量b是單位向量.

因?yàn)閍·b≤ab，

所以有4cosx+3sinx≤5×1=5，

即函數(shù)y=4cosx+3sinx的最大值為5.

反思?構(gòu)造單位向量，利用a·b≤ab求出函數(shù)最值.

例5?已知45cosθ+35sinθ=1，，求tanθ的值.

解析?設(shè)a=（45，35），b=（cosθ，sinθ）顯然向量a=b=1.

所以有a·b=45cosθ+35sinθ=1，ab=1，

所以a·b=ab.

由此可得向量a，b共線同向，所以45sinθ-35cosθ=0.

顯然cosθ≠0，所以tanθ=34.

反思?構(gòu)造單位向量，利用向量數(shù)量積性質(zhì)a·b≤ab中等號(hào)成立的條件是向量a，b共線同向，從而使問(wèn)題得以順利解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]雷亞慶.巧用三角換元求解根式函數(shù)問(wèn)題[J].數(shù)理化解題研究，2019（34）：17-18.

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