概率論的起源與發(fā)展

曾軒翎

一、概率論的起源

三四百年前，歐洲的許多國(guó)家盛行賭博之風(fēng)，經(jīng)常以“擲骰子”的形式進(jìn)行賭博。因骰子的形狀為小正方體，當(dāng)它被擲到桌面上時(shí)，每個(gè)面向上的可能性是相同的，即出現(xiàn)1點(diǎn)至6點(diǎn)中任何一個(gè)點(diǎn)數(shù)的可能性是相等的。于是，有的參賭者就在想：如果同時(shí)擲兩枚骰子，那么點(diǎn)數(shù)之和為9與點(diǎn)數(shù)之和為10，哪種情況出現(xiàn)的可能性更大？

17世紀(jì)中葉，法國(guó)有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德·梅耳，發(fā)現(xiàn)了這樣的一個(gè)事實(shí)：將一枚骰子連擲4次至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)的機(jī)會(huì)比較多，而同時(shí)將兩枚骰子擲24次，至少出現(xiàn)一次兩個(gè)6點(diǎn)的機(jī)會(huì)卻很少。

這是什么原因呢？后人稱這個(gè)問(wèn)題為德·梅耳問(wèn)題。

在德·梅耳發(fā)現(xiàn)擲骰子的這個(gè)問(wèn)題后不久，有人又提出了“分賭注問(wèn)題”：兩個(gè)人決定賭若干局，事先約定誰(shuí)先贏5局，便算是贏家。如果在一個(gè)人贏3局，另一人贏4局時(shí)因故終止賭博，應(yīng)如何分賭金呢？諸如此類需要計(jì)算可能性大小的賭博問(wèn)題陸續(xù)不斷地出現(xiàn)，但他們都沒有找到問(wèn)題的答案。

1654年，參賭者將他們遇到的上述問(wèn)題請(qǐng)教了當(dāng)時(shí)的法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問(wèn)題，但他沒有立即回答，而是把它交給了另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬。兩位數(shù)學(xué)家頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問(wèn)題展開了深入細(xì)致的研究。他們的信件被看作數(shù)學(xué)史上最早的概率論文獻(xiàn)。

1657年，荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家惠更斯在帕斯卡與費(fèi)馬工作的基礎(chǔ)上，發(fā)表了第一篇關(guān)于概率論的論文《論賭博中的計(jì)算》。他在文章中引進(jìn)了“數(shù)學(xué)期望”這個(gè)重要概念：如果p表示一個(gè)人獲得金額為s的概率，則印稱為他的數(shù)學(xué)期望。他還證明了：如果一個(gè)人獲得金額a的概率為p，獲得金額b的概率為q，則他可以希望獲得的金額為ap+bq他運(yùn)用數(shù)學(xué)期望解決了許多概率問(wèn)題，并將此題的解法向更一般的情況推廣，給出了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)期望的定義——它是描述隨機(jī)變量取值的平均水平的一個(gè)量。

二、概率論的形成

惠更斯經(jīng)過(guò)多年的潛心研究，解決了一些有關(guān)擲骰子的數(shù)學(xué)問(wèn)題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計(jì)算》。這本書迄今為止被認(rèn)為是概率論中最早的著作。因此可以說(shuō)，早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯。

在他們之后，瑞士數(shù)學(xué)家雅可布·貝努利也對(duì)概率論這一學(xué)科的發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)。他在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問(wèn)題，給出了“賭徒輸光問(wèn)題”的詳盡解法，并證明了一個(gè)被稱為“大數(shù)定律”的定理，這是古典概率論中研究等可能性事件的極其重要的成果。證明大數(shù)定律的過(guò)程極其困難，雅可布花了整整20年的時(shí)間才完成。他進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算，首先猜想到這一事實(shí)，然后一步步完善這一猜想的證明。雅可布將他的全部心血都傾注到對(duì)這一數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究之中，在這個(gè)過(guò)程中，他還發(fā)現(xiàn)了不少新的方法，取得了許多新的研究成果，最終也將此定理證實(shí)了。

1713年，雅可布的著作《猜度術(shù)》出版。遺憾的是他的大作問(wèn)世之時(shí)，雅可布已謝世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問(wèn)題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣，直到擲出正面為一局。若甲擲一次出現(xiàn)正面，則乙付給甲一個(gè)盧布;若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個(gè)盧布;若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲5個(gè)盧布。一般地，若甲前n一肷擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個(gè)盧布。問(wèn)在賭博開始前甲應(yīng)付給乙多少盧布才有權(quán)參加賭博，并且使乙不虧損？與尼古拉同時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家研究了這個(gè)問(wèn)題，并給出了一些不同的解法，但其結(jié)果很奇特，所付的金額竟為無(wú)限大。這也就是說(shuō)，不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博持續(xù)進(jìn)行，乙肯定是要賠錢的。

三、概率論的發(fā)展

隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展，人們注意到某些生物、物理和社會(huì)現(xiàn)象與賭博相似，于是將概率論逐漸應(yīng)用到這些領(lǐng)域中。

法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論推進(jìn)，他首先明確給出了古典概率的定義，并在概率論中引入了更有力的數(shù)學(xué)分析工具，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。他證明了“棣莫弗一拉普拉斯定理”，把棣莫弗的結(jié)論推廣到一般的情況，還得出了觀測(cè)誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理論》，這是一部繼往開來(lái)的作品。然而，這時(shí)候人們最想知道的是，概率論是否會(huì)有更大的應(yīng)用價(jià)值？是否能發(fā)展成為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。

在20世紀(jì)，由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要，概率論再度迅速地發(fā)展起來(lái)。1906年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫提出了所謂“馬爾科夫鏈”的數(shù)學(xué)模型。1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽又提出一種在時(shí)間中均勻進(jìn)行著的平穩(wěn)過(guò)程理論。其間，很多的數(shù)學(xué)家都曾嘗試把概率論建立在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)上，形成一門獨(dú)立的學(xué)科，但終因條件不成熟，概率論發(fā)展為一門獨(dú)立學(xué)科經(jīng)歷了300年才實(shí)現(xiàn)。

20世紀(jì)初完成的勒貝格測(cè)度與積分理論，以及隨后發(fā)展的抽象測(cè)度，為概率公理體系的建立奠定了基礎(chǔ)。在這種背景下，蘇聯(lián)杰出的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫于1933年在他的《概率論基礎(chǔ)》一書中，首次給出了概率的測(cè)度論定義和一套嚴(yán)密的公理體系。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。

現(xiàn)在，概率論與以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科一起，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、軍事科學(xué)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域中都起著不可或缺的作用。例如，衛(wèi)星發(fā)射、導(dǎo)彈巡航、飛機(jī)制造、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞;天氣預(yù)報(bào)、海洋探險(xiǎn)、考古研究等更離不開概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);電子技術(shù)發(fā)展、影視文化的進(jìn)步、人口普查等同概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是密不可分的。

概率論作為一個(gè)理論嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)分支，正日益受到人們的重視，并將隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步繼續(xù)發(fā)展。