高壓油管壓力控制的數(shù)學(xué)模型

錢興新 金志遠 張夢媛

摘要：燃油發(fā)動機對于我們?nèi)粘Ｉ钪械臋C械工作有著重要作用。燃油進入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動機工作的基礎(chǔ)，燃油進入和噴出油管的間歇性工作過程會導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動機的工作效率。本文研究發(fā)動機中進入和進出高壓油管的燃油量，通過控制高壓油管的壓力保持穩(wěn)定來提高發(fā)動機的工作效率。為維持高壓油管壓強穩(wěn)定在100MPa或經(jīng)歷調(diào)整時長上升到150MPa后保持穩(wěn)定。我們根據(jù)壓強的變化量建立微分方程，將壓強隨時間的變化離散到每個進油周期，利用隱式歐拉法求解微分方程。

關(guān)鍵詞：微分方程;質(zhì)量守恒;隱式歐拉算法;優(yōu)化模型

0? 引言

燃油進入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動機工作的基礎(chǔ)，燃油經(jīng)過高壓油泵從A處進入高壓油管，再由噴口B噴出。燃油進入和噴出的間歇性工作過程會導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動機的工作效率。為維持油管內(nèi)壓強穩(wěn)定，我們著重研究以下兩個問題：確定單向閥開啟的時長，以保證油管內(nèi)的壓強盡可能穩(wěn)定在100MPa;調(diào)整單向閥開啟的時長，使油管內(nèi)的壓強分別經(jīng)過2s，5s和10s的調(diào)整過程穩(wěn)定在150MPa。

1? 模型假設(shè)

①不考慮各部件彈性變形。

②不考慮溫度變化對壓力，體積的影響。

③不考慮壓力變化時間，同一腔室內(nèi)燃油壓力及密度處處相同。

2? 符號說明

①t0單向閥開啟時長;

②ρ燃油密度;

③P燃油壓力;

④Q進出油流量;

⑤m燃油質(zhì)量;

⑥E彈性模量。

3? 問題分析

求給出壓強維持在100MPa和壓強從100MPa上升到150MPa的情況下的單向閥開啟時長，根據(jù)壓強變化量與密度變化量成正比，建立微分模型，將壓強隨時間的變化離散到各個進油周期，用隱式歐拉算法進行迭代求解微分方程數(shù)值解，表示出壓強隨時間的變化，最后使其穩(wěn)定在一定值求解出單向閥每次開啟的時間。對于壓強調(diào)整過程也是如此求解，調(diào)整過程后的保持穩(wěn)定的過程則與前述的穩(wěn)定過程求解一樣。

4? 模型建立與求解

4.1 模型分析

問題一需要求解單向閥開啟的時長，根據(jù)壓強變化量與密度變化量成正比，表示出進出油與壓強的關(guān)系，建立微分方程模型，求解壓強隨時間的變化關(guān)系，保持壓強不變的情況下，取出油周期100ms，以100ms末的壓強值與100MPa的差值最小為目標，對t0遍歷搜索，求解維持穩(wěn)定的單向閥開啟時長t0（ms）。對于壓強從100MPa增加到150MPa的調(diào)整過程，在t1（s）的調(diào)整時長內(nèi)，將壓強隨時間的連續(xù)變化離散化為每一個進油的周期t0+10內(nèi)，同樣求解微分方程， 以t1末的壓強值與150MPa的差值最小為目標，求解調(diào)整過程單向閥開啟t0。而t1后的穩(wěn)定過程的單向閥開啟時長同第一子問相同。

4.2 公式推導(dǎo)

4.2.1 燃油壓力與密度的關(guān)系式

根據(jù)注1，燃油壓力變化量與密度變化量成正比，且已知比例系數(shù)，初始條件得到：

根據(jù)數(shù)據(jù)彈性模量與壓力的關(guān)系，對與進行二次擬合得到擬合關(guān)系式：

將（2）式代入（1）式求解此微分方程得到：

4.2.2 流量與管內(nèi)壓力，時間的關(guān)系

進油處壓力穩(wěn)定在160MPa，則進油處密度也為恒定值，代入（3）式得到：

由注2，進出油流量：

此時小孔面積A0=0.49π。

則在單向閥開關(guān)的一個周期內(nèi)t0+10：

根據(jù)噴油速率，以及出油頻率，可以得到1個周期（100ms）：

4.2.3 關(guān)于壓強的微分方程[1]

根據(jù)注1，有油管連續(xù)性方程：

容器體積為V0，可以得到[2]：

其中

將式（2）（7）（6）代入式（8），得到：

其中Q入由式（6）給出，Q出由式（7）給出。

4.3 壓強維持100MPa時的模型建立與求解

4.3.1 模型建立

①目標函數(shù)的確立。

根據(jù)優(yōu)化目標需要使壓強穩(wěn)定在100MPa，我們?nèi)〕鲇椭芷?00ms，將周期末的壓強值作為優(yōu)化目標，得到：

P（100）表示100ms對應(yīng)的壓強值。

②約束條件的表示。

對于上述過程，其約束條件為壓強值關(guān)于時間的微分方程求解。

因為一次出油的周期明顯長于一次進油周期，故考慮一次出油周期，即100ms末的壓強與100MPa的差值最小，對應(yīng)求出單向閥開啟時長即可。

在時間起點的第一個t0+10內(nèi)，不考慮壓強變化時對t0做估計其值應(yīng)在0.2到2.2s之間，即恒定出油的時候。根據(jù)進出油的周期性，在一個出油周期內(nèi)得到：

而在t0+10到100ms內(nèi)，

其中：T進=t0+10，表示進油周期。代入（9）式微分方程求解。

綜合以上分析，建立優(yōu)化模型：

4.3.2 模型求解

歐拉算法[4]

對于問題一中的微分方程，由于微分方程比較復(fù)雜，難以求解其解析解，故利用matlab用隱式歐拉法求解其數(shù)值解。對于上述微分方程，微分方程模型為：

計算P（t）在[a，b]區(qū)間上N個等間距點的近似值。

隱式歐拉算法如下：

Step1 計算N個等間距點構(gòu)成的區(qū)間長度

Step2輸出（t，P）

Step3對i=1，2，…N重復(fù)step4和Step5

Step4 計算下一時刻壓強值

Step5 輸出每個（ti，Pi）

求解結(jié)果：

根據(jù)隱式歐拉算法，即向后差分的思想對t0遍歷后，求解100ms末的壓強得到，t0取0.31（ms）時壓強最接近100MPa。以0.01s為步長，求解得到部分結(jié)果見表1。

利用求解到的每個t與P的關(guān)系作出壓強隨時間變化的圖像如圖1。

從表1和圖1上可以看出：

①壓強隨時間是一個波動的過程，在100ms時壓強值為100.4423，趨近于100MPa。

②在剛開始的一段時間內(nèi)，壓強迅速降低是因為在2.4ms內(nèi)出油迅速，而進油很少使管內(nèi)質(zhì)量下降，導(dǎo)致壓強下降。

③2.4ms以后壓強有波動的回升是因為在接下來的時間內(nèi)，出油量為0，而進油量還在經(jīng)歷周期性的過程，即進油量的周期性增加導(dǎo)致壓強回升。

④壓強回升呈現(xiàn)類似于階梯狀反映了在t0=0.31ms的單向閥開啟時間內(nèi)，燃油迅速流入，沒有流出，故壓強增大得較快，而在余下的10ms內(nèi)沒有進出油故壓強保持不變。且“階梯”的分布也反映了單向閥開啟時間相較關(guān)閉時間較短的特點，即反映在：“階梯”圖形的上升段很陡，時間短，持平段時間長，壓強不變。

4.4 壓強經(jīng)歷調(diào)整過程的模型建立與求解

4.4.1 模型建立

同樣我們的優(yōu)化目標在于調(diào)整過程結(jié)束后的壓強值穩(wěn)定在150MPa。

優(yōu)化模型：

4.4.2 模型求解

同理對于（9）式建立的微分模型，用壓力穩(wěn)定在100MPa時的方法，在100ms內(nèi)討論每個進油周期，但對于由多個100ms組成的過程，由于進出油周期的不一致，100ms結(jié)束后不一定能回到初始狀態(tài)，但由于單向閥開啟的時長相較于關(guān)閉的時長比較短，故我們總是假設(shè)經(jīng)過100ms的循環(huán)后能回到與0時刻相同的狀態(tài)。在此條件下求解模型。

同樣用隱式歐拉法求解微分方程，得到不同調(diào)整時長下單向閥最佳開啟時長。

結(jié)果如表2。

從表格可以看出：

①隨著調(diào)整時長的增加，單向閥開啟時長減少，反映了調(diào)整時間內(nèi)油管總體質(zhì)量的增加應(yīng)該是一個較為穩(wěn)定的量，從壓強增加值保持穩(wěn)定量來看，因為壓強變化量與密度變化量成正比，而體積不變，故質(zhì)量變化量也應(yīng)該是較為穩(wěn)定。

②調(diào)整時長越長，穩(wěn)定壓強與150MPa越接近，說明調(diào)整過程是一個漸變的波動過程，逐漸趨于穩(wěn)態(tài)。

同樣，作出2s，5s調(diào)整過程中的壓力隨時間變化的曲線，得到圖2。

觀察圖2并進行對比，可以得出：

①2秒時壓強變化呈現(xiàn)波動，漸趨穩(wěn)定，反映了2s內(nèi)每個100ms的進出油的特性。當調(diào)整時長變長時曲線更加平滑，反映了更長的調(diào)整時長內(nèi)，進出油周期性變化被削弱。

②調(diào)整時長增加時，達到穩(wěn)定的時間值也逐漸增長，說明壓強的調(diào)整過程是一個對時間敏感的量，對應(yīng)于我們求解微分方程時用隱式歐拉法的時間上的迭代也有很好的說明效果。

5? 結(jié)論

根據(jù)壓強穩(wěn)定的條件得出維持壓強在100MPa保持穩(wěn)定的單向閥每次開啟時長為0.31ms。同理求解出經(jīng)歷2s，5s，10s調(diào)整時長過程中的單向閥每次開啟時長分別為：0.81ms，0.62ms，0.60ms。經(jīng)過調(diào)整時長之后保持150MPa穩(wěn)定壓強的單向閥每次開啟時長如前面一致為0.31ms。

參考文獻：

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