古印度的算術(shù)

印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一.古印度的數(shù)學(xué)家多以天文學(xué)為職業(yè)，取得的數(shù)學(xué)成果多半是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，很少給出具體的推導(dǎo)和證明，因此，古印度在算術(shù)、代數(shù)和三角知識(shí)方面取得了較大的成就.

十進(jìn)位值制記數(shù)法和印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼的出現(xiàn)，不僅在數(shù)學(xué)史上，在全人類(lèi)文化史上都具有十分重要的意義.這種記數(shù)法的產(chǎn)生和完善經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期.

在十進(jìn)位制記數(shù)系統(tǒng)建立以前，在印度出現(xiàn)過(guò)各種不同的數(shù)字和記數(shù)法，現(xiàn)在很難研究出它們之間的承襲關(guān)系.從公元前4世紀(jì)到公元3世紀(jì)，在現(xiàn)今的東阿富汗地區(qū)和旁遮普北部風(fēng)行的所謂音節(jié)數(shù)字（圖1）與當(dāng)時(shí)的古印度音節(jié)文字有關(guān).這可能是一種十進(jìn)非位值制系統(tǒng).數(shù)字1，4，10，20和100用特殊記號(hào)表示，其它數(shù)由加法原則寫(xiě)出，數(shù)字從右往左書(shū)寫(xiě).

很久以來(lái)，在印度廣大領(lǐng)土上傳播著婆羅門(mén)數(shù)字，這是十進(jìn)位記數(shù)法發(fā)展的較高階段，這種數(shù)字形式保持了一千多年（圖2），佛教和婆羅門(mén)數(shù)字一起被傳入其它國(guó)家，在個(gè)別地區(qū)，這種數(shù)字一直沿用到19世紀(jì).

一般說(shuō)來(lái)，在印度的各種數(shù)字系統(tǒng)中，至少?gòu)墓?世紀(jì)起，數(shù)字1，2，…，9就存在單獨(dú)的符號(hào)，這些特殊符號(hào)的存在是產(chǎn)生十進(jìn)位值制記數(shù)法的基礎(chǔ).單位1出現(xiàn)在表示單數(shù)事物，如“太陽(yáng)”“月亮”的詞語(yǔ)中;而數(shù)字2出現(xiàn)在“雙生子”“眼睛”“手”這類(lèi)詞語(yǔ)中;數(shù)字5出現(xiàn)在“感官”（即五官）“手掌”這類(lèi)詞語(yǔ)中;等等.數(shù)字的書(shū)寫(xiě)順序是從低位向高位，古印度歷數(shù)書(shū)中的天文表就用這樣的順序表示數(shù)字，缺位時(shí)用特殊符號(hào)標(biāo)出.

阿耶波多Ⅰ（āryabha?a，公元476年-550年）的著作中用音節(jié)表示數(shù)字，完全沒(méi)有位值制的特點(diǎn).每一個(gè)數(shù)k·10n（k=1，2，…，9;n=0，1，2，…）都被特殊音節(jié)所代替，豐富的梵文字母能夠給充分大的數(shù)字命名.但是，他的學(xué)生——婆什迦羅（Bhāskara，公元540年-629年）卻改進(jìn)了這種記數(shù)法，使數(shù)字的音節(jié)具有位值性，他還引進(jìn)了表示空位的音節(jié).

大約在6世紀(jì)上半葉，印度人改變了數(shù)字中數(shù)位的書(shū)寫(xiě)順序，開(kāi)始從高位向低位書(shū)寫(xiě)，這可能是受希臘人的影響.位值制記數(shù)原則包含這樣三個(gè)因素：1.每一位數(shù)都由該數(shù)位單位乘以相應(yīng)的數(shù)字;2.省略每個(gè)數(shù)位單位的符號(hào);3.用確定的符號(hào)（零號(hào)）表示任何數(shù)位上的空缺.所有這些因素在印度首先是局部地、口頭地應(yīng)用，然后過(guò)渡到廣泛地、文字上地普及.不晚于6世紀(jì)，在印度產(chǎn)生了新的、整數(shù)的十進(jìn)位值制記數(shù)法，即用9個(gè)數(shù)字和表示零的小圓圈可以寫(xiě)出任何數(shù)字，每個(gè)位置上的數(shù)字有明確意義，同一個(gè)數(shù)字在不同位置上則代表不同數(shù)值.

7世紀(jì)中葉，印度的記數(shù)法開(kāi)始向西方傳播.8世紀(jì)末，這種記數(shù)法傳入巴格達(dá)哈利發(fā)的宮廷中，經(jīng)阿拉伯人的改進(jìn)傳入歐洲后就被稱(chēng)為印度—阿拉伯?dāng)?shù)字了.

印度的算術(shù)文獻(xiàn)中記載了整數(shù)和分?jǐn)?shù)的八種運(yùn)算：加法、減法、乘法、除法、平方、開(kāi)平方、立方和開(kāi)立方.某些運(yùn)算是有明確定義的.

例如，阿耶波多Ⅱ（AryabhataⅡ）定義加法是把一些數(shù)合并為一個(gè)數(shù)，而減法則是從一個(gè)數(shù)中拿掉其中一部分.婆什迦羅Ⅱ認(rèn)為乘法和除法可以相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為加法和減法.

古印度廣泛使用計(jì)算板.梵文中“算術(shù)”一詞就是由“計(jì)算”和“板”兩個(gè)詞復(fù)合而成的.但是在更早的時(shí)期，稍復(fù)雜的運(yùn)算是在用貝殼作成的古算盤(pán)上進(jìn)行的.計(jì)算人員手拿一個(gè)裝有幾百個(gè)長(zhǎng)形貝殼的口袋，在算盤(pán)各欄中擺出數(shù)字1，2，…，9;還有12個(gè)圓形貝殼，用來(lái)表示零.例如數(shù)字52077被擺成圖3的形狀.斜線表示長(zhǎng)形貝殼，圓圈表示零.現(xiàn)在正統(tǒng)的佛教徒——婆羅門(mén)學(xué)者還使用這種方法進(jìn)行計(jì)算.

使用算盤(pán)計(jì)算需要熟記一些法則，即加法的進(jìn)位和減法的借位.乘、除法則在加、減法的基礎(chǔ)上進(jìn)行.

記載算式的文獻(xiàn)很晚才出現(xiàn).在古代，凡是書(shū)寫(xiě)出來(lái)的數(shù)字不是為了進(jìn)行計(jì)算，而是為記錄經(jīng)文中出現(xiàn)的年代.后來(lái)出現(xiàn)了文字運(yùn)算，但只給出結(jié)果而沒(méi)有中間運(yùn)算步驟.這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)的計(jì)算工具是一個(gè)鋪滿(mǎn)沙土的盤(pán)和一根削尖的木棍.字要寫(xiě)得比較大才能認(rèn)清，這樣一個(gè)數(shù)在完成它的作用后就被擦掉，以保留書(shū)寫(xiě)的空地.

加法是從最高數(shù)位開(kāi)始進(jìn)行計(jì)算.例如345+488是這樣進(jìn)行的：把一個(gè)數(shù)寫(xiě)在另一個(gè)數(shù)的下面，對(duì)齊數(shù)位，并在書(shū)寫(xiě)板的上端留出一些空地.3+4=7，把7寫(xiě)在最左一列的上頭;然后4+8=12，把7改為8，后面寫(xiě)上2，因此7被擦去，而改為82;最后5+8=13，把82中的2改為3，后面再寫(xiě)個(gè)3，就得到結(jié)果833”（圖4）.

做乘法有幾種不同的方式.比如，在沙土板上寫(xiě)出

首先將5×12，把5擦掉，寫(xiě)上60， 再把乘數(shù)12向左移動(dòng)一位，得到

然后將3×12，得36，把6加在1360的6上，擦去其中的6，寫(xiě)上2，往3上加1，把1360中的3改為4，再移動(dòng)乘數(shù)12，得到

最后將1×12，把2加在4上，擦掉4，寫(xiě)上6，1字保留不動(dòng)，得乘積為1620.

另一種計(jì)算乘積的方法，與我們現(xiàn)在的程序語(yǔ)言很接近.在計(jì)算板上畫(huà)出彼此垂直的方格，再把每個(gè)格子都用同個(gè)一方向的對(duì)角線分開(kāi)，沿著格子的兩個(gè)邊寫(xiě)上乘數(shù)，將中間的乘積寫(xiě)在右下方三角形中，在需要進(jìn)位時(shí)將所得的結(jié)果記在左上方三角形中，然后依對(duì)角線進(jìn)行加法運(yùn)算.還是以135×12為例，這種方法的程序?yàn)?/p>

有時(shí)為了化簡(jiǎn)運(yùn)算，古印度人會(huì)采取一些簡(jiǎn)單變換，如135×12=135×（12+8）-135×8或135×12=135×（12-2）+135×2.

印度人的算術(shù)運(yùn)算方法，后來(lái)被阿拉伯人和歐洲人所采用.

帶有數(shù)字0的運(yùn)算是位值制系統(tǒng)計(jì)算的重要內(nèi)容.印度人不僅僅把0看作是“一無(wú)所有”或空位，而且把0看成是一個(gè)數(shù).這是對(duì)印度算術(shù)作出的一大貢獻(xiàn).這種做法在3世紀(jì)時(shí)已經(jīng)出現(xiàn).在天文學(xué)家瓦拉哈米希拉的《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》（約505年）中記載了對(duì)零實(shí)行的加、減運(yùn)算.

一個(gè)多世紀(jì)以后，婆羅摩笈多在他的著作中給出了比較完整的敘述：“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)，正數(shù)減去零是正數(shù)，零減去零還是零;零乘正數(shù)、負(fù)數(shù)或零都是零……零除以零空無(wú)一物，正數(shù)或負(fù)數(shù)除以零是一個(gè)以零為分母的數(shù).”婆什迦羅Ⅱ把a(bǔ)÷0稱(chēng)為Khahara，與無(wú)窮大的含義相似.

在印度算術(shù)中，分?jǐn)?shù)也有較完整的理論.分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法與中國(guó)古代算籌分?jǐn)?shù)記法一樣，分子在上，分母在下，沒(méi)有分?jǐn)?shù)線.若是帶分?jǐn)?shù)，則需將整數(shù)部分寫(xiě)在分子之上.例如

在進(jìn)行整數(shù)與分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)，把整數(shù)寫(xiě)成分母是1的分?jǐn)?shù).分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算用下列法則：

在某些情況下，需要把一個(gè)分?jǐn)?shù)化為幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，然后進(jìn)行計(jì)算.

在印度，關(guān)于開(kāi)平方和開(kāi)立方的最早記錄出現(xiàn)在阿耶波多Ⅰ的著作中.他把運(yùn)算法則用詩(shī)歌的形式寫(xiě)出來(lái)，這是很難理解的.9世紀(jì)數(shù)學(xué)家施里德哈拉所敘述的法則較為詳細(xì).我們以54756的開(kāi)平方為例說(shuō)明他的方法.

寫(xiě)出數(shù)字54756，在其奇數(shù)位的上方畫(huà)出豎線，在偶數(shù)位的上方畫(huà)出橫線，得到

找出不超過(guò)5的最大平方數(shù)，即4，把它寫(xiě)在下一行，并從5中減去4 ，得到

用14除以4，商3余2，擦去14，寫(xiě)上2，得到

從27中減去3的平方，即9，余18，擦去27，寫(xiě)上18.把3加倍后寫(xiě)在4的后面，得到

重復(fù)上面步驟.185除以46，商4余1，擦去185寫(xiě)上1，得到

從16中減去4的平方，得零，擦去16，把4加倍寫(xiě)在46后面，最后把468除以2得234.這就是54756的平方根.

這種程序與中國(guó)《九章算術(shù)》中開(kāi)平方的計(jì)算步驟有所不同.對(duì)于分?jǐn)?shù)a/b，如果分母b不是完全平方數(shù)，那么需要將其變換為ab/b，再進(jìn)行計(jì)算.為了提高精確度，古印度數(shù)學(xué)家在分子上乘上10的偶數(shù)次冪.

由于在計(jì)算板上運(yùn)算不能保留中間運(yùn)算的步驟，所以印度學(xué)者采用一種被稱(chēng)為棄9法的驗(yàn)算方法，它的依據(jù)是這樣的一個(gè)事實(shí)：任何整數(shù)和它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同.阿拉伯算術(shù)中也采用棄9法驗(yàn)算，這來(lái)源于印度，后來(lái)又傳入歐洲.

在印度的算術(shù)著作中，有大量豐富多彩的以詩(shī)歌形式表述的算術(shù)問(wèn)題.這些問(wèn)題涉及了假位法（單設(shè)法和雙設(shè)法）、三位法、百分率和級(jí)數(shù)等.其中還有大量來(lái)源于實(shí)踐的問(wèn)題，也有一些是純粹作為消遣和娛樂(lè)的題目.

在這些問(wèn)題中單設(shè)法占相當(dāng)?shù)谋壤?印度數(shù)學(xué)家馬哈維拉（Mahāvīra）?用單設(shè)法解決了大量的代數(shù)和幾何問(wèn)題.婆什迦羅Ⅱ也研究過(guò)這種方法，他的《麗羅娃提》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“從一束清潔的蓮花取出其三分之一、五分之一和六分之一，分別獻(xiàn)給濕婆、毗瑟拏和蘇利耶，再給布赫瓦尼四分之一，只剩下6只蓮花，送給尊敬的教師，請(qǐng)說(shuō)出蓮花的數(shù)目.”婆什迦羅Ⅱ設(shè)所求數(shù)為60，即3，4，5，6的最小公倍數(shù)，由此可術(shù)得出應(yīng)剩3只蓮花，則所求的的解為60*6/3=120.

在被發(fā)掘的古印度數(shù)學(xué)手稿《巴赫沙里手稿》中，單設(shè)法不僅用于解形如ax=c的方程，還應(yīng)用于解形如ax+b=c的方程.如設(shè)x1為所求數(shù)，由此得出

三位法在印度算術(shù)中占核心地位，它能夠簡(jiǎn)便地解決各種實(shí)際問(wèn)題.三位法就是求下列具有三個(gè)已知數(shù)a，b，c的比例式中的x.婆羅摩笈多認(rèn)為：“在三位法中，第一項(xiàng)與第三項(xiàng)必須是同類(lèi)的（單位相同的數(shù)量），第二項(xiàng)、第三項(xiàng)相乘，以第一項(xiàng)除得結(jié)果.”

婆羅摩笈多還提出了“反三位法”.即求比例中的x.例如中世紀(jì)著名的工程問(wèn)題：“a個(gè)人完成一項(xiàng)工作要用b天，問(wèn)同一項(xiàng)工作c個(gè)人做要用多少天？”后來(lái)還出現(xiàn)了“五位法”“七位法”“九位法”和“十一位法”.

以“五位法”為例，五位法就是求滿(mǎn)足比例式中的x，易求出x=abd/ce.顯然，五位法解決了兩個(gè)三位法的問(wèn)題.同理，七位法中就有三個(gè)三位法，如此類(lèi)推.

三位法從印度傳到西方，在幾個(gè)世紀(jì)之內(nèi)都是解決算術(shù)問(wèn)題的主要方法，直到19世紀(jì)，歐洲學(xué)校的教材才逐漸取消了三位法.

縱觀古印度的數(shù)學(xué)發(fā)展，不難發(fā)現(xiàn)印度的算術(shù)簡(jiǎn)單實(shí)用，數(shù)學(xué)家也并不多.和中國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程有很多相似之處.