圓中計(jì)算問題的模型探究

徐杰 左效平

圓中計(jì)算問題是圓的代表性考題之一，也是中考的熱點(diǎn).下面向同學(xué)們介紹一個(gè)圓中?？嫉挠?jì)算模型.

一、模型探索

考題再現(xiàn)：（2019·貴州·畢節(jié)）如圖1，點(diǎn)P在⊙O外，PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，直線PO與⊙O相交于點(diǎn)A，B.

（1）若∠A = 30°，求證：PA = 3PB;

（2）小明發(fā)現(xiàn)，∠A在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，始終有∠BCP = [12]·（90° - ∠P）成立，請你寫出推理過程.

解析：（1）∵AB是直徑，∴∠ACB = 90°，

∵∠A = 30°，∴∠ABC = 60°，

∴△OBC是等邊三角形，AB = 2BC，∠COB = ∠OCB = 60°.

如圖1，連接OC，∵PC是⊙O切線，∴∠OCP = 90°，

∴∠BCP = ∠P = ∠A = 30°，∴PB = BC = OB = OA，∴PA = 3PB.

（2）∵∠A + ∠P + ∠ACB + ∠BCP = 180°，且∠ACB = 90°，∴∠A + ∠BCP = 90° - ∠P，

由（1）知，∠BCP = ∠A，∴2∠BCP = 90° - ∠P，∴∠BCP = [12]（90° - ∠P）.

反思：此題還凸顯了一般與特殊的數(shù)學(xué)思想，解完題后我們不禁要問：問題具有一般性嗎？∠A在一定范圍內(nèi)變化，這個(gè)范圍是怎樣的？不在這個(gè)范圍時(shí)，結(jié)論還成立嗎？會有新結(jié)論嗎？于是產(chǎn)生了如下模型構(gòu)想.

二、模型構(gòu)建

模型：如圖2，點(diǎn)P在⊙O外，PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，直線PO與⊙O相交于點(diǎn)A，B. 當(dāng)0 < ∠A< 45°時(shí)，始終有∠A = ∠BCP = [12]（90° - ∠P）成立.（請同學(xué)們自己完成證明.）

三、模型運(yùn)用

1. 探求角的大小

例1（2019·江蘇·無錫）如圖3，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P = 40°，則∠B的度數(shù)為（ ）.

A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°

解析：根據(jù)模型，得∠B = [12]（90° - ∠P）= [12] × （90° - 40°） = 25°. 故選B.

點(diǎn)評：熟記模型的構(gòu)造條件和模型的基本結(jié)論，能大大提高選擇題或填空題的解題效率.

2.探求等角

例2（2019·江蘇·宿遷）在Rt△ABC中，∠C = 90°.

（1）如圖4，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F. 求證：∠1 = ∠2.

（2）在圖5中作⊙M，使它滿足以下條件：①圓心在邊AB上;②經(jīng)過點(diǎn)B;③與邊AC相切.（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法.）

[A][B][C][圖5] [A][B][E][C][F][D][O] [1][2][圖4]

解析：（1）根據(jù)模型得∠2 = [12]（90° - ∠A），即2∠2 = 90° - ∠A，∵直角三角形的兩個(gè)銳角互余，∴∠1 + ∠2 = 90° - ∠A，∴∠1 + ∠2 = 2∠2，∴∠1 = ∠2.

（2）如圖6所示，⊙M為所求. ①作∠ABC平分線交AC于F點(diǎn)，②作BF的垂直平分線交AB于M，以MB為半徑作圓，則⊙M為所求.

證明：∵M(jìn)在BF的垂直平分線上，

∴MF = MB，

∴∠MBF = ∠MFB，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠MBF = ∠CBF，∴∠CBF = ∠MFB，∴MF[?]BC，

∵∠C = 90°，∴FM⊥AC，

∴⊙M與邊AC相切.

點(diǎn)評：掌握模型，不僅提供了一條靈活的解題思路，而且提高了解題效率，第（2）問熟練掌握連接圓心和切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵.