拋物線中面積的求法

許生友

與拋物線相結(jié)合的三角形面積的最值問(wèn)題是中考常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題. 為幫助同學(xué)們掌握此類(lèi)問(wèn)題的解題思路，本文舉例進(jìn)行剖析.

例（2019·四川·綿陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y = ax2（a > 0）的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到如圖1所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），OA = 1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)y = kx + b（k≠0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5.

（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式;

（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);

（3）若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在（2）的結(jié)論下，求PE + PA的最小值.

分析：（1）先寫(xiě)出平移后的拋物線解析式，根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），可求得a的值，由△ABD的面積為5可求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，由A，D的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)解析式;（2）如圖2，作EM∥y軸交AD于M，利用三角形面積公式，由S△ACE = S△AME - S△CME構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;（3）如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)P，則∠BAE = ∠HAP = ∠HFE，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出PE + AP = FP + HP，當(dāng)FP與HP共線時(shí)，F(xiàn)P + HP最小.

解：（1）將二次函數(shù)y = ax2（a > 0）的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線解析式為y = a（x - 1）2 - 2，

∵OA = 1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），代入拋物線的解析式得4a - 2 = 0，∴a = .

∴拋物線的解析式為y = （x - 1）2 - 2，即y = x2 - x - .

令y = 0，解得x1 = -1，x2 = 3. ∴B（3，0）. ∴AB = OA + OB = 4.

∵△ABD的面積為5，∴S△ABD = AB·yD = 5.

∴yD = ，代入拋物線解析式得 = x2 - x - . 解得x1 = -2，x2 = 4. ∴D4，

.

設(shè)直線AD的解析式為y = kx + b，∴4k + b

= ，

-k + b = 0. 解得k

= ，

b =

.

∴直線AD的解析式為y = x + .

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EM∥y軸交AD于M，交x軸于F，設(shè)Ea，

a2 - a

- ，則Ma，

a

+ ，∴EM = -a2 + a + 2.

∴S△ACE = S△AME - S△CME = ×EM×AF - ×EM×OF = ×EM×1

= -

a2 +

a + 2×1 = -（a2 - 3a - 4） = -a -

2 + .

∴當(dāng)a = 時(shí)，△ACE的面積有最大值，最大值是，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為

，

-.

（3）如圖3，作E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接EF交x軸于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE于H，交x軸于P.

∵E

，

-，OA = 1，∴AG = 1 +? = ，EG = . ∴ =? = .

∵∠AGE = ∠AHP = 90°，∴sin∠EAG =? =? = . ∴PH = AP.

∵E，F(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴PE = PF. ∴PE + AP = FP + HP = FH，此時(shí)FH最小.

∵EF = ×2 = ，∠AEG = ∠HEF，∴ = sin∠HEF = sin∠AEG =? = .

∴FH = × = 3. ∴PE + PA的最小值是3.

點(diǎn)評(píng)：如果三角形的三邊都不與坐標(biāo)軸平行，可以經(jīng)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，作y軸（或x軸）的平行線，通過(guò)這條平行線把該三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有公共底邊的三角形的和或差，從而運(yùn)用公共底邊長(zhǎng)度與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之和（或差）的絕對(duì)值的積的一半求出該三角形的面積. 對(duì)于最大值問(wèn)題，可運(yùn)用二次函數(shù)關(guān)系式中的平方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求最值.