圖形旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱(chēng)題型解析

湯文卿

一、旋轉(zhuǎn)圖形相關(guān)元素的確定

關(guān)于旋轉(zhuǎn)我們知道：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

例1（2019·山東·淄博）如圖1，在正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)三角形ABC繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0<α<180°）得到格點(diǎn)三角形A1B1C1，點(diǎn)A與A1、點(diǎn)B與B1、點(diǎn)C與C1分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則α= 度.

解析：因?yàn)樾D(zhuǎn)圖形的對(duì)稱(chēng)中心到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等，所以分別作AA1，CC1的垂直平分線，兩直線的交點(diǎn)D即為旋轉(zhuǎn)中心（注意：這是在網(wǎng)格中作圖，位置要準(zhǔn)確），如圖2，連接AD，A1D，而對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以α=∠ADA1=90°. 故應(yīng)填90.

二、旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱(chēng)圖形作圖

例2 如圖3，在4×4的方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上.

（1）在圖中畫(huà)出一個(gè)與△ABC成中心對(duì)稱(chēng)的格點(diǎn)三角形;

（2）在圖中畫(huà)出一個(gè)與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)且與△ABC有公共邊的格點(diǎn)三角形;

（3）在圖中畫(huà)出△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的三角形.

解析：根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)的判定可作圖4、圖5、圖6，△DCE、△ACF、△GCH依次為所求作的圖形.

例3 圖7是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的8×4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中將點(diǎn)D按下列步驟移動(dòng)：第一步：點(diǎn)D繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)D1;第二步：點(diǎn)D1繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D2;第三步：點(diǎn)D2繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°回到點(diǎn)D.

（1）請(qǐng)用圓規(guī)畫(huà)出點(diǎn)D →D1→D2→D經(jīng)過(guò)的路徑;

（2）所畫(huà)圖形是 對(duì)稱(chēng)圖形;

（3）求所畫(huà)圖形的周長(zhǎng)（結(jié)果保留π）.

解析：（1）點(diǎn)D →D1→D2→D經(jīng)過(guò)的路徑如圖8所示.

（2）所畫(huà)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形. 故應(yīng)填軸.

（3）所畫(huà)圖形的周長(zhǎng)等于半徑為4的圓的周長(zhǎng)，該周長(zhǎng)為8π.

三、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題

例4 將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<360°），得到矩形AEFG.

（1）如圖9，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí). 求證：FD = CD;

（2）當(dāng)α為何值時(shí)，GC = GB. 畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由.

解析：（1）由旋轉(zhuǎn)可知AE = AB，

∠AEF = ∠ABC = ∠DAB = 90°，EF = BC = AD，

∴∠AEB = ∠ABE，

∴180°-∠AEB - 90°= 180°- ∠ABE - 90°，

∴∠EDA = ∠DEF.

∵DE = ED，∴△AED ≌ △FDE（SAS），∴FD = AE，

又∵AE = AB = CD，∴FD = CD.

（2）當(dāng)GB = GC時(shí)，G在BC的垂直平分線上，分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時(shí)，如圖10，

取BC的中點(diǎn)H，連接GH交AD于M，連接GD，GC，GB.

∵GC = GB，∴GH⊥BC，∴四邊形ABHM是矩形，

∴AM = BH = ■ BC = ■ AD，∴GM垂直平分AD，

∴GD = GA= DA，∴△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG = 60°，∴α = 60°;

②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時(shí)，如圖11，

同理可得等邊三角形ADG，∴∠DAG = 60°，

∴α = 360°- 60°= 300°.

綜上可知，α 為 60°或300°時(shí)，GC = GB.

（作者單位：江蘇省海門(mén)中學(xué)初中部）