陳建東
翻閱歷年中考數(shù)學(xué)試卷,不難發(fā)現(xiàn)有這樣一類應(yīng)用問題:題目中只能找到一個等量關(guān)系,但又涉及兩個未知量,也就是說未知量多于等量. 是命題專家出錯了試題嗎?其實不然,求解時我們只需從等量關(guān)系的實際意義出發(fā),先引進(jìn)兩個未知數(shù),再利用整數(shù)的性質(zhì)求解即可. 現(xiàn)舉四例進(jìn)行說明.
一、整數(shù)法
例1(2019·黑龍江·齊齊哈爾)學(xué)校計劃購買A和B兩種品牌的足球,已知一個A品牌足球60元,一個B品牌足球75元. 學(xué)校準(zhǔn)備將1500元錢全部用于購買這兩種足球(兩種足球都買),該學(xué)校的購買方案共有( ).
A. 3種 B. 4種 C. 5種 D. 6種
解析:此類問題的求解一定要考慮到足球的個數(shù)是正整數(shù).
設(shè)購買A品牌足球x個、B品牌足球y個,
根據(jù)總價=單價 × 數(shù)量,可得60x + 75y=1500,∴y=20 - [45]x.
故應(yīng)選B.
二、整體法
例2(2019·浙江·寧波)小慧去花店購買鮮花,若買5支玫瑰和3支百合,則她所帶的錢還剩下10元;若買3支玫瑰和5支百合,則她所帶的錢還缺4元. 若只買8支玫瑰,則她所帶的錢還剩下( ).
A. 31元 B. 30元 C. 25元 D. 19元
三、列舉法
故應(yīng)選B.
四、討論法
例4(2019·江蘇·鹽城)體育器材室有A,B兩種型號的實心球,1只A型球與1只B型球的質(zhì)量共7千克,3只A型球與1只B型球的質(zhì)量共13千克.
(1)每只A型球、B型球的質(zhì)量分別是多少千克?
(2)現(xiàn)有A型球、B型球的質(zhì)量共17千克,則A型球、B型球各有多少只?
解析:(1)設(shè)每只A型球x kg,每只B型球y kg,有兩個等量關(guān)系:1只A型球的質(zhì)量+1只B型球的質(zhì)量=7千克,3只A型球的質(zhì)量+1只B型球的質(zhì)量=13千克,列出方程組[x+y=7,3x+y=13,]解得[x=3,y=4,]則每只A型球3 kg,每只B型球4 kg.
(2)考慮到A型球、B型球的質(zhì)量共17千克,這樣可引進(jìn)一個未知數(shù),進(jìn)而通過分類討論解決問題.
設(shè)A型球1只,B型球a只,根據(jù)題意得3 + 4a = 17,解得a=[72],不符合題意;
設(shè)A型球2只,B型球b只,根據(jù)題意得6 + 4b = 17,解得b=[114],不符合題意;
設(shè)A型球3只,B型球c只,根據(jù)題意得9 + 4c = 17,解得c=2,符合題意;
設(shè)A型球4只,B型球d只,根據(jù)題意得12 + 4d = 17,解得d=[54],不符合題意;
設(shè)A型球5只,B型球e只,根據(jù)題意得15 + 4e = 17,解得e=[12],不符合題意;
設(shè)A型球6只,B型球f只,根據(jù)題意得18 + 4f = 17,解得f=-[14],不符合題意;……
于是符合題意的情況只有A型球3只、B型球2只這一種情況,則A型球有3只,B型球有2只.
(2020·黑龍江·龍東)學(xué)校計劃用200元購買A,B兩種獎品,A種獎品每個15元,B種獎品每個25元,在錢全部用完的情況下,有多少種購買方案.( )
A. 2種 B. 3種 C. 4種 D. 5種
答案:B
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版2020年11期