中考數(shù)學(xué)常考思想（一）

徐長(zhǎng)春

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的生命和靈魂，是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此也明確提出要求. 因此對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是中考的一個(gè)重要內(nèi)容，其中最?？嫉挠腥N：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想. 本刊將分兩期進(jìn)行介紹.

一、轉(zhuǎn)化思想

將一種研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象，具體表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.

1. 化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

例1 如圖1，四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形，∠ABC = 2∠D，連接OA，OB，OC，AC，OB與AC相交于點(diǎn)E.

（1）求∠OCA的度數(shù);

（2）若∠COB = 3∠AOB，OC = 2，求圖中陰影部分的面積. （結(jié)果保留π和根號(hào)）

解析：（1）∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC + ∠D = 180°，

∵∠ABC = 2∠D，∴∠D + 2∠D = 180°，∴∠D = 60°，

∴∠AOC = 2∠D = 120°，

∵OA = OC，∴∠OAC = ∠OCA，∴∠OCA =? = 30°;

（2）∵∠COB = 3∠AOB，∴∠AOC = ∠AOB + 3∠AOB = 120°，

∴∠AOB = 30°，∴∠COB = ∠AOC - ∠AOB = 90°，

在Rt△OCE中，OC = 2，

∴OE = OC·tan∠OCE = 2·tan 30° = 2× = 2，

∴S△OEC = OE·OC = ×2×2 = 2，

∵S扇形OBC =? = 3π，∴S陰影 = S扇形OBC - S△OEC = 3π - 2.

點(diǎn)評(píng)：求不規(guī)則的陰影部分的面積時(shí)常常將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差.

2. 化新為舊

例2（2019·遼寧·沈陽(yáng)）2019年3月12日是新中國(guó)第41個(gè)植樹(shù)節(jié)，某單位積極開(kāi)展植樹(shù)活動(dòng)，決定購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗，用800元購(gòu)買甲種樹(shù)苗的棵數(shù)與用680元購(gòu)買乙種樹(shù)苗的棵數(shù)相同，乙種樹(shù)苗每棵比甲種樹(shù)苗少6元.

（1）求甲種樹(shù)苗每棵多少元.

（2）若準(zhǔn)備用3800元購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共100棵，則至少要購(gòu)買乙種樹(shù)苗多少棵？

解析：（1）設(shè)甲種樹(shù)苗每棵x元，

根據(jù)題意得 = ，解得x = 40，

經(jīng)檢驗(yàn)：x = 40是原分式方程的解，

答：甲種樹(shù)苗每棵40元.

（2）設(shè)購(gòu)買乙種樹(shù)苗y棵，

根據(jù)題意得40（100 - y） + （40 - 6）y ≤ 3800，解得y ≥ 33，

∵y是正整數(shù)，∴y最小取34.

答：至少要購(gòu)買乙種樹(shù)苗34棵.

點(diǎn)評(píng)：學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，要將其轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的知識(shí).

二、數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合是指將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與形象直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)由抽象向具體轉(zhuǎn)化的一種思維方式，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.

1. 以形助數(shù)

例3（2018·遼寧·沈陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y = kx + b的圖象如圖2所示，則k和b的取值范圍是（ ）.

A. k > 0，b > 0 B. k > 0，b < 0 C. k < 0，b > 0 D. k < 0，b < 0

解析：∵一次函數(shù)y = kx + b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

∴k < 0，b > 0. 故選C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)所給一次函數(shù)的圖象來(lái)判斷k和b的正負(fù)，是解題的關(guān)鍵.

2. 以數(shù)助形

例4 在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y = x - 1的圖象是（ ）.

A ? B ? C ? D

解析：∵k = 1 > 0，b = -1 < 0，∴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，

故選B.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)一次函數(shù)的表達(dá)式來(lái)判斷函數(shù)所經(jīng)過(guò)的象限，是解題關(guān)鍵.