精彩的代換 別樣的方程

于華虎

一元二次方程是初中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，與它有關(guān)的題型形式多樣、變幻莫測. 其中有一種題是已知方程，求含有這個方程的根的代數(shù)式的值，這類題要求同學們必須能熟練轉(zhuǎn)換一元二次方程的形式，運用整體代換的方法解決問題. 下面通過中考中的五個典型例題進行講解，希望對同學們有所幫助.

一、將方程變換成一種形式代入

例1 已知方程[x2+x-5=0]，不解方程求[x3-6x+4]的值.

解析：因為[x2+x-5=0]，所以[x2+x=5]，

故[x3-6x+4]=[x3+x2-x2-x-5x+4]=x（x2 + x） - （x2 + x）-[5x+4]=[x·5-5-5x+4]=-1.

例2 若[n]是關(guān)于[x]的一元二次方程[x2+mx+n=0]的一個根（[n≠0]），求[m+n]的值.

解析：因為[n]是關(guān)于[x]的一元二次方程[x2+mx+n=0]的一個根，

所以有[n2+mn+n=0]，提公因式得[n（n+m+1）=0]，

∵[n≠0]，故[m+n+1=0]，

于是[m+n=-1].

點評：上面兩題如果按照慣性思維，先求方程的根再代入求值，其復雜程度可想而知，而采用將方程變形再整體代入的方法使問題得以巧妙解決！

二、將方程變換成兩種以上的形式代入

例3 若[a]是一元二次方程[x2-x-1=0]的一個根，求代數(shù)式[a4+2a+1a52020]的值.

解析：因為[a]是一元二次方程的一個根，所以有[a2-a-1=0]，

將其變形可得①[a+1=a2]，②[2a+1=a2+a]，

于是[a4+2a+1a52020=a4+a2+aa52020=a3+a+1a42020=a3+a2a42020=]? [a+1a22020]= [a2a22020]= 1.

例4 設(shè)[a]是一元二次方程[x2-2020x+1=0]的一個實數(shù)根，求代數(shù)式[a2-2019a+2020a2+1]的值.

解析：由于[a]是一元二次方程[x2-2020x+1=0]的一個實數(shù)根，

則[a2-2020a+1=0]，

將其變形為①[a2+1=2020a]，②[a2-2020a=-1]，

則[a2-2019a+2020a2+1=a2-2020a+a+2020a2+1=] [-1+a+] [20202020a] [=-1+a+1a] [=a2+1-aa][ =2020a-aa] [=2019].

例5 已知方程[x2+3x+1=0]，不解方程，求[x3+3x2+3x2+1]的值.

解析：將[x2+3x+1=0]變形，得到如下三種情形：

①[x2+3x=-1];②[x2+1=-3x];③[x+1x]=-3，

故[x3+3x2+3x2+1]=[xx2+3x+3x2+1=x·-1+3-3x]=[-x-1x]=[-x+1x]=-（- 3）=3.

點評：將方程變換成兩種以上的不同形式，通過多次整體代入，使煩瑣的問題變得簡單.

1. 已知[x=1]是一元二次方程[ax2+bx-40=0]的一個根，且[a≠b]，求[a2-b22a-2b]的值.

提示：由[x=1]是一元二次方程[ax2+bx-40=0]的一個根可得[a+b-40=0]，則有[a+b=40]，可得答案為[20].

2. 已知[x]是一元二次方程x2 +3x -1 = 0的實數(shù)根，求代數(shù)式[x-33x2-6x÷x+2-5x-2×3x2-1] ÷ [x]的值.

提示：將一元二次方程變形為兩種形式：①[x2-1=-3x]，②[x2+3x=1]，則有

[x-33x2-6x÷x+2-5x-2×3x2-1÷x=x-33x（x-2）×x-2x2-9×3x2-1÷x] = [13（x2+3x）×3x2-1÷x] [=13×3x2-1÷x=x2-1÷x=-3x÷x=-3].