兩類有趣的新數(shù)

王廣崇

數(shù)學(xué)大世界里有形形色色的數(shù)，它們已成為中考命題的新素材.下面就來介紹兩類新數(shù).

例1（2019·重慶）《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出自然數(shù)的特征. 在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等. 現(xiàn)在我們來研究另一種特殊自然數(shù)——“純數(shù)”.

定義：對(duì)于自然數(shù)n，在計(jì)算n+（n+1）+（n+2）時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”，

例如：32是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算32+33+34時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位;23不是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算23+24+25時(shí)，個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位.

（1）判斷2019和2020是否是“純數(shù)”，請(qǐng)說明理由;

（2）求出不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù).

分析：（1）根據(jù)題目中的新定義解答，注意各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位的自然數(shù)才是“純數(shù)”;（2）不大于100的數(shù)分為一位數(shù)、兩位數(shù)和三位數(shù)，可借助于不等式和列舉法求解.

解：（1）2019不是“純數(shù)”，2020是“純數(shù)”.

理由如下：因?yàn)樵谟?jì)算2019+2020+2021時(shí)，個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位，而計(jì)算2020+2021+2022時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，所以2019不是“純數(shù)”，2020是“純數(shù)”.

（2）由題意：不大于100的“純數(shù)”包含一位數(shù)、兩位數(shù)和三位數(shù)100.

①若n為一位數(shù)，則有n + （n + 1） + （n + 2）<10，解得n<[73]，所以小于10的“純數(shù)”有0，1，2，共3個(gè);

②兩位數(shù)須滿足：十位數(shù)可以是1，2，3，個(gè)位數(shù)可以是0，1，2，共有9個(gè)，分別是10，11，12，20，21，22，30，31，32.

③三位數(shù)為100，共1個(gè).

所以不大于100的“純數(shù)”共有13個(gè).

例2（2019·湖北·隨州）若一個(gè)兩位數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為m，n，我們可將這個(gè)兩位數(shù)記為[mn]，易知[mn]=10m + n，同理，一個(gè)三位數(shù)、四位數(shù)等均可以用此記法，如[abc]=100a + 10b + c.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）解方程填空：①若[2x]+[x3]=45，則x=______;②若[7y]-[y8]=26，則y=______;③若[t93]+[5t8]=[13t1]，則t=______.

【能力提升】

（2）交換任意一個(gè)兩位數(shù)[mn]的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字，可以得到一個(gè)新數(shù)[nm]，則[mn]+[nm]一定能被______整除，[mn]-[nm]一定能被______整除，[mn]·[nm] - mn一定能被______整除.（請(qǐng)從大于5的整數(shù)中選擇合適的數(shù)填空）

【探索發(fā)現(xiàn)】

（3）北京時(shí)間2019年4月10日21時(shí)，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛，數(shù)學(xué)中也存在有趣的黑洞現(xiàn)象：任選一個(gè)三位數(shù)，要求個(gè)、十、百位的數(shù)字各不相同，把這個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字按大小重新排列，得出一個(gè)最大的數(shù)和一個(gè)最小的數(shù)，用得出的最大的數(shù)減去最小的數(shù)得到一個(gè)新數(shù)（例如若選的數(shù)為325，則用532-235=297），再將這個(gè)新數(shù)按上述方式重新排列，再相減，像這樣運(yùn)算若干次后一定會(huì)得到同一個(gè)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，這個(gè)數(shù)稱為“卡普雷卡爾黑洞數(shù)” .①該“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”為_____;②設(shè)任選的三位數(shù)為[abc]（不妨設(shè)a>b>c），試說明其均可產(chǎn)生該黑洞數(shù).

分析：（1）根據(jù)[mn]=10m + n，[abc]=100a + 10b + c，分別代換可得到關(guān)于x，y，t的一元一次方程，解方程即可分別得出結(jié)果;（2）將[mn]，[nm]分別根據(jù)定義寫成10m + n和10n + m，然后再依據(jù)整式運(yùn)算性質(zhì)便可看出一定能被誰整除;（3）①依據(jù)“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”的定義反復(fù)推算可得出;②由a>b>c，[abc]=100a + 10b + c，重新排列得到最小的數(shù)為[cba]=100c + 10b + a，第一次運(yùn)算可得到99（a-c），結(jié)果必為99的倍數(shù)，再依據(jù)a，b，c的大小關(guān)系，以及各數(shù)位上的數(shù)至少相差1的特點(diǎn)，可以得出a-c的取值范圍，從而寫出第一次運(yùn)算后所有可能的結(jié)果，再將這些數(shù)字依據(jù)“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”的定義進(jìn)行推算，便可得到結(jié)果.

以后均重復(fù)運(yùn)算，則都可以得到該“卡普雷卡爾”黑洞數(shù)為495.