淺談極化恒等式在向量數(shù)量積運(yùn)算中的應(yīng)用

李波

【摘要】19世紀(jì)末20世紀(jì)初才發(fā)展起來的“向量數(shù)學(xué)”，以其獨(dú)有的屬性，集數(shù)與形于一體，是數(shù)與形的完美結(jié)合，很快形成了一套具有優(yōu)良運(yùn)算通法的數(shù)學(xué)體系，成為數(shù)學(xué)新教材改革的一大閃光點(diǎn).探索平面向量的代數(shù)形式與幾何特征，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】向量，數(shù)量積，極化恒等式

引例：教材在證明向量數(shù)量積滿足的乘法分配律，給出了向量數(shù)量積與代數(shù)類似的完全平方和平方差展開式.

下面我們簡(jiǎn)單講解一下這兩個(gè)式子的幾何用法：

下面，本文通過幾個(gè)具體事例，談?wù)剺O化恒等式在向量數(shù)量積運(yùn)算中的應(yīng)用，感知體會(huì)一下向量運(yùn)算中數(shù)與形的完美結(jié)合，以及數(shù)化形的簡(jiǎn)潔、直觀、便捷.

小結(jié)：此解法通過極化恒等式，把向量的運(yùn)算與歐式幾何的直觀性有機(jī)地結(jié)合起來，結(jié)合圖形，直觀的探求出最值條件，動(dòng)點(diǎn)的位置，進(jìn)而通過平面幾何知識(shí)，利用同底三角形的面積關(guān)系，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似直角三角形的面積問題，借助相似比使問題高效便捷的得以解決.

小結(jié)：本題抓住圓的對(duì)稱性，在變化中尋找不變的幾何代數(shù)關(guān)系，通過向量數(shù)量積運(yùn)算的極化恒等式，將問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的橢圓焦半徑性質(zhì)問題，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化的思想，拓展了學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題，積極探索解決問題的最佳途徑.

小結(jié)：本題抓住數(shù)量接這一條件，利用極化恒等式，借助圓的定義巧妙的得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化和對(duì)高中常見曲線的定義掌握程度.

本文所述極化恒等式只是給解決向量數(shù)量積的運(yùn)算提供了一種算法途徑，其主要能解決的問題題模型是若線段的長(zhǎng)度是個(gè)定值，其中點(diǎn)為一定點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則可以考慮用極化恒等式解決范圍、最值、定值的求解.本文通過具體的實(shí)例，簡(jiǎn)單講述極化恒等式在數(shù)量積中的應(yīng)用，體現(xiàn)向量這一工具在數(shù)與形轉(zhuǎn)化中的作用，為學(xué)生拓展一個(gè)思維角度，引導(dǎo)學(xué)生探求向量的代數(shù)運(yùn)算與歐式幾何、解析幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、解決問題的能力，乃至提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力.

參考文獻(xiàn)：

【1】《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)4.必修 人民教育出版社A版》

【2】顧平聲?《談向量引入中學(xué)教學(xué)》

【3】章建躍?《幾何中的向量方法》

四川省甘孜藏族自治州康定中學(xué)校?李 波