信息技術(shù)，讓數(shù)學(xué)教學(xué)可視化

張志勇

摘要：推進(jìn)現(xiàn)代教育技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，用信息技術(shù)讓數(shù)學(xué)教學(xué)可視化是一個(gè)重要的思路。具體地，可以從抽象到直觀、從演繹到歸納，讓教學(xué)內(nèi)容可視化;在創(chuàng)設(shè)問題情境、開展實(shí)驗(yàn)探究以及拓展構(gòu)造應(yīng)用時(shí)，讓新知教學(xué)可視化;通過繪制思維導(dǎo)圖、搭建感知平臺(tái)，讓主題教學(xué)可視化。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 信息技術(shù) 可視化

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能的迅速發(fā)展，正在深刻影響著我們的課堂，為其提供了無限的可能。如何推進(jìn)現(xiàn)代教育技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合？用信息技術(shù)讓數(shù)學(xué)教學(xué)可視化，是一個(gè)重要的思路。這樣，不僅能夠充分發(fā)揮信息技術(shù)快捷、精準(zhǔn)的優(yōu)勢，而且可以讓數(shù)學(xué)變得“平易近人”，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得生機(jī)勃勃。具體地，可以從以下幾個(gè)方面入手：

一、讓教學(xué)內(nèi)容可視化

通過信息技術(shù)，將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象（概念原理、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想方法等）用直觀、具體的形式生動(dòng)、清楚地呈現(xiàn)出來，化數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”為“火熱的思考”。

（一）從抽象到直觀

抽象是數(shù)學(xué)最基本的思維方式，然而抽象的知識(shí)需要變成直觀的形式，才能夠更好地被學(xué)生感知和理解。此外，數(shù)學(xué)抽象源于數(shù)學(xué)直觀，因此，應(yīng)用信息技術(shù)將抽象的數(shù)學(xué)“還原”成直觀的數(shù)學(xué)，可以讓學(xué)生在抽象活動(dòng)中，積累抽象經(jīng)驗(yàn)、學(xué)會(huì)抽象方法。

例如，高中數(shù)學(xué)教材一般是從“周而復(fù)始”的生活現(xiàn)象抽象出函數(shù)周期性這一數(shù)學(xué)概念的，但是，要用數(shù)學(xué)語言“存在非零實(shí)數(shù)T，對(duì)于任意的x，都有f（x+T）=f（x）”來描述，學(xué)生就勉為其難了。如果利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件提供豐富的函數(shù)圖像（如下頁圖1，不限于基本三角函數(shù)的圖像），讓學(xué)生經(jīng)歷從“形”到“數(shù)”的抽象過程，學(xué)生對(duì)函數(shù)周期性概念的理解就能全面而深刻了。

再如，教學(xué)“矩陣與變換”時(shí)，有必要通過現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件中一些圖形的構(gòu)造，來建立矩陣（代數(shù)范疇）與變換（幾何內(nèi)容）的紐帶。

（二）從演繹到歸納

數(shù)學(xué)講究演繹推理，但是不能沒有歸納猜想。事實(shí)上，當(dāng)我們有了某種數(shù)學(xué)想法時(shí)，最簡單、直接的做法就是尋找一些具體的例子來證實(shí)。而有了較為充分的具體例子，就可以從中概括出一般性的結(jié)論，并且證明方法往往也已經(jīng)蘊(yùn)含在具體的例子中了。于是，化演繹為歸納，也成為讓數(shù)學(xué)（廣義的）可視化的一種可行路徑。特別地，現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件大多內(nèi)嵌符號(hào)代數(shù)系統(tǒng)（CAS），于是，有關(guān)公式、法則的學(xué)習(xí)都可以通過歸納的方式進(jìn)行。

以兩角和的正弦公式為例，可以通過CAS運(yùn)算直接給出幾個(gè)運(yùn)算結(jié)果（如圖2），讓學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果，歸納發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。有了具體事例的支持和發(fā)現(xiàn)過程的展開，運(yùn)算規(guī)則更易于“深入人心”。

事實(shí)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件中，代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)、3D繪圖區(qū)、運(yùn)算區(qū)、工作表等多模塊的關(guān)聯(lián)互動(dòng)，可以完成幾何作圖、代數(shù)運(yùn)算和數(shù)據(jù)處理等數(shù)學(xué)工作，做到很多過去課堂中完全做不到的事情，

實(shí)現(xiàn)“向技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”?？梢哉f，“懂得現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育技術(shù)，她就會(huì)給你獨(dú)到的眼光，讓你洞悉數(shù)學(xué)世界”。

二、讓新知教學(xué)可視化

（一）創(chuàng)設(shè)可視化問題情境

問題情境是新知探究的起點(diǎn)和載體，可以激發(fā)和啟動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)思維，不僅能幫助學(xué)生“入課”（通過探究獲得所學(xué)知識(shí)），而且能幫助學(xué)生“出課”（從應(yīng)用的角度認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)的價(jià)值）。創(chuàng)設(shè)問題情境時(shí)，可以充分利用信息技術(shù)，進(jìn)行可視化表征，從而通過“圖示”的方式，突破“意會(huì)”與“言傳”之間的障礙。

a2+b2≥2ab，右圖表明a+b2≥ab（更多的信息有待學(xué)習(xí)基本不等式后進(jìn)一步挖掘）。由此，可以很好地引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）開展可視化實(shí)驗(yàn)探究

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種以實(shí)際操作、觀察為特征，強(qiáng)調(diào)動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)探究、發(fā)現(xiàn)、理解活動(dòng)。它符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)從猜想到驗(yàn)證的全過程，而不是簡單地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有直觀化、具體化的特征。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以利用實(shí)物模型展開，更可以利用信息技術(shù)高效展開。

例如，學(xué)習(xí)“圓錐曲線的概念”時(shí)，學(xué)生很難將平面的橢圓、雙曲線、拋物線與立體的圓錐聯(lián)系起來;即便有足夠的空間想象力，也很難由截線定義過渡到軌跡定義。于是，可以利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件再現(xiàn)Dandelin雙球?qū)嶒?yàn)，讓學(xué)生在如圖4（其中的“代數(shù)區(qū)”內(nèi)容被略去）所示的平臺(tái)中“做”實(shí)驗(yàn)：

改變?chǔ)?、β的值（α、β分別表示母線、截面與z軸的夾角），觀察截線的形狀，生成圓錐曲線的截線定義（通常情況下，β>α?xí)r，截線為橢圓;β<α?xí)r，截線為雙曲線;β=α?xí)r，截線為拋物線）;引進(jìn)Dandelin雙球，在不同視角下觀察雙球與圓錐及截面的相對(duì)位置關(guān)系，從而凸顯球與圓錐的切線、球與截面的切點(diǎn)（即圓錐曲線的焦點(diǎn)）的關(guān)鍵作用;結(jié)合平面視圖，考察截線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到切線距離的關(guān)系，從而生成圓錐曲線的軌跡定義。

事實(shí)上，在操作過程中，也就得到了相應(yīng)的幾何證明（以橢圓為例）：構(gòu)造截線上任意一點(diǎn)M和圓錐過點(diǎn)M的母線m，設(shè)m和雙球與圓錐的切線分別交于點(diǎn)P、Q。由球外一點(diǎn)引球的切線長相等，可知MF1=MQ，MF2=MP，于是MF1+MF2=MQ+MP=PQ（PQ為定值，與點(diǎn)M的位置無關(guān)）。

（三）拓展可視化構(gòu)造應(yīng)用

問題驅(qū)動(dòng)獲得知識(shí)后，還要應(yīng)用知識(shí)（解決問題）。除了創(chuàng)設(shè)問題情境、開展實(shí)驗(yàn)探究時(shí)，可以利用信息技術(shù)開展可視化教學(xué)之外，應(yīng)用知識(shí)時(shí)，也可以充分利用信息技術(shù)進(jìn)行可視化表征——特別是構(gòu)造新的滿足概念定義或結(jié)論條件的例子時(shí)。

例如，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)周期性一般是借助三角函數(shù)來研究的，但其并非三角函數(shù)所獨(dú)有的。于是，應(yīng)用周期性“構(gòu)造”新函數(shù)（如下頁圖5所示），不僅必要，而且可能。

三、讓主題教學(xué)可視化

數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得與應(yīng)用，更要著力于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和素養(yǎng)的培育。如果學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)只是一個(gè)個(gè)的孤立的點(diǎn)的話，那么，這樣的內(nèi)容很難穩(wěn)固地保存、清晰地檢索和準(zhǔn)確地提取。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)的成分難以在單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)上表現(xiàn)出來，它往往隱藏在知識(shí)結(jié)構(gòu)（體系）中。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要從聚焦細(xì)小的知識(shí)點(diǎn)或課時(shí)中跳出來，關(guān)注更大的主

題或單元。開展主題（單元）教學(xué)，要從廣泛的角度、用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待和分析問題，引導(dǎo)學(xué)生整體地思考和認(rèn)識(shí)，連點(diǎn)成線、結(jié)線成面，建立知識(shí)聯(lián)系，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。而這一過程也離不開信息技術(shù)可視化效果的輔助。

（一）建立知識(shí)結(jié)構(gòu)

輔助主題（單元）教學(xué)的一種重要方式是，利用相關(guān)軟件引導(dǎo)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，實(shí)現(xiàn)思維過程和結(jié)果的可視化，突破思維的局限，從而厘清數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在邏輯，構(gòu)建一個(gè)個(gè)或大或小的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如，教學(xué)“三角恒等變換”后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繪制如圖6所示的知識(shí)框圖。

再如，教學(xué)“三角函數(shù)”前，教師可以引導(dǎo)學(xué)生梳理指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成如圖7所示的函數(shù)學(xué)習(xí)基本范式，從而明確三角函數(shù)的研究應(yīng)從角的概念推廣開始（解決定義域問題），并得出推廣中需要滿足新概念兼容舊概念、運(yùn)算性質(zhì)基本不變等基本要求。

（二）搭建感知平臺(tái)

輔助主題（單元）教學(xué)的另一種重要方式是，利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件，搭建感知平臺(tái)，促進(jìn)學(xué)生的理性思考。

在這一過程中，借助如圖8所示的軟件平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)感知，在獲得豐富的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行推演論證，從而保證層次清晰、意義明了的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的真正建立。

*本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期課題“可視化視角下高中數(shù)學(xué)閱讀與表達(dá)教學(xué)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：2019JK13L106）的階段性研究成果。