顆粒材料底面動摩擦系數(shù)特征研究*

劉宏偉 楊情情 蘇志滿

（①西南交通大學地球科學與環(huán)境工程學院，成都610031，中國）

（②中國科學院水利部成都山地災害與環(huán)境研究所，中國科學院山地災害與地表過程重點實驗室，成都610041，中國）

0 引 言

顆粒物質(zhì)是由大量離散態(tài)固體顆粒聚集而成的復雜物質(zhì)體系，在自然界、人類生活和工程實踐中普遍存在（De Gennes，1999；陸坤權等，2004）。近些年來，泥石流、山體滑坡和碎屑流等自然災害日益頻發(fā)，顆粒物質(zhì)作為這些地質(zhì)過程的實際載體，其摩擦性質(zhì)是影響地質(zhì)散體運動狀態(tài)的關鍵因素（Legros，2002；張明等，2010）。因此，加強顆粒物質(zhì)摩擦特性的研究對深入理解自然災害的形成、演化機理具有重要的科學意義。

關于顆粒物質(zhì)的研究可以追溯到18世紀，法國物理學家Coulomb把顆粒物質(zhì)的屈服視為摩擦過程，提出了經(jīng)典的庫侖摩擦定律。Nasuno et al.（1997）研究了滑塊在顆粒層表面作低速剪切運動時的周期性黏滑現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)滑動摩擦力隨著瞬時速度的增加而不斷減小。Géminard et al.（2001）通過開展類似的滑動剪切試驗進一步研究了雙分散顆粒體系中混合比例對界面摩擦系數(shù)的影響。胡林等（2003）通過提拉插入顆粒物質(zhì)中的圓棒，研究了圓棒受到的靜摩擦力與顆粒物質(zhì)填充高度以及圓棒直徑的關系；杜學能等（2006）測量了探測棒在顆粒物質(zhì)內(nèi)部勻速運動時所受的滑動摩擦力，發(fā)現(xiàn)滑動摩擦力隨時間作非線性振動；孫姍姍等（2009）通過顆?；瑒樱瓭L動摩擦試驗，定性地分析了顆粒表面粗糙度和幾何形態(tài)對顆粒摩擦力的影響，初步研究了顆粒滾動－滑動摩擦的轉(zhuǎn)換機制；El Cheikh et al.（2018）通過將顆粒物質(zhì)置于勻速運動的凹槽平板上作相對滑動，研究了摩擦界面處固體顆粒的運動狀態(tài)。Jop et al.（2005，2006）基于顆粒物質(zhì)的快速平板剪切試驗，提出了密集顆粒流的本構關系模型，該模型中的底面摩擦系數(shù)能很好地反映顆粒物質(zhì)與平板滑面之間的摩擦性質(zhì)。

上述研究成果為顆粒物質(zhì)的摩擦特性分析奠定了較好的基礎，但相關研究中多采用相同粒徑的球形顆粒，未考慮顆粒級配條件對界面摩擦特性的影響。自然界中的山體滑坡、碎屑流等地質(zhì)散體的顆粒組成都極為復雜，粒徑范圍通常在數(shù)微米至數(shù)米之間，而且顆粒形狀更多的呈現(xiàn)出不規(guī)則形態(tài)（楊情情等，2015；胡厚田等，2018；蘭恒星等，2019；汪發(fā)武，2019）。在目前階段，關于復雜級配條件下顆粒物質(zhì)界面摩擦特性的試驗研究較少，而且基于單一粒徑顆粒物質(zhì)的試驗結果是否適用于復雜組成的顆粒物質(zhì)仍有待研究。

對于不同級配的顆粒材料，其界面摩擦特性的規(guī)律性認識目前仍然較少，本文利用傾斜儀開展不同級配顆粒材料的滑動摩擦試驗，基于視頻圖像解析和曲線擬合方法推算底面動摩擦系數(shù)，分析顆粒粒徑、質(zhì)量配比等級配因素對顆粒材料底面動摩擦系數(shù)的影響，旨在初步揭示不同級配顆粒材料的底面動摩擦特性。

1 模型試驗概況

1.1 試驗裝置

整個模型試驗裝置由試樣桶、傾斜儀、數(shù)碼測角儀、標尺和攝像機組成（圖1）。試樣筒為上下開口的PC圓柱，尺寸為：高度10icm，內(nèi)徑10.8icm，外徑11icm，其下邊緣面積僅占總面積的4%，所以兩者之間的摩擦作用可以忽略不計。在試樣桶的外側作有黑色標線，標注顆粒材料的中心位置。傾斜儀由傾斜板和頂升設備構成。其中，傾斜板為表面光滑的透明PC板，其表面固定有標尺，便于觀察試樣桶的中心沿平行傾斜板面方向的位移。傾斜板的頂升設備為螺旋千斤頂，通過手動轉(zhuǎn)動搖桿，使傾斜板緩慢、勻速地抬升，傾角在0°～50°之間任意調(diào)節(jié)，并由數(shù)碼測角儀精確測得。在傾斜儀前方放置一臺攝像機（50ifps），以記錄試樣桶運動的整個過程。

圖1 試驗裝置示意圖Fig.1 Experimental device

1.2 試驗材料

試驗中采用的顆粒材料是由兩種不同粒徑范圍的石英砂（圖2）按一定的質(zhì)量配比混合后得到，總質(zhì)量1ikg。石英砂是經(jīng)由機械破碎、篩分后得到的機制砂，硬度較大，棱角明顯，形狀不規(guī)則。為方便敘述，按不同的粒徑范圍將其分別稱為細顆粒和粗顆粒。

圖2 試驗材料Fig.2 Experimental materials

1.3 試驗工況

本次試驗的主要目的是探究不同級配條件下顆粒材料的底面動摩擦特性。其中，顆粒材料的粒徑和質(zhì)量配比是影響顆粒級配條件的兩個重要參數(shù)。根據(jù)細顆粒和粗顆粒的不同質(zhì)量配比，共設計11種工況，可分為兩種類型，即單粒徑材料類型和雙粒徑材料類型（表1）。

1.4 試驗過程與數(shù)據(jù)分析

試驗開始之前，先將試樣桶放置在傾斜板面上，黑色標線靠近并對齊標尺某固定刻度處，以便于觀察和記錄試樣桶滑動過程中的位移變化。試樣的制備過程如圖3所示，采用分層裝樣的原則，按照試驗方案先稱取少量的顆粒材料進行混合，混合均勻后通過置于試樣桶上方一定高度的漏斗緩慢倒入試樣桶，使其在重力作用下自然堆積。先后分5次倒入總質(zhì)量1ikg的顆粒材料，堆積完成后撫平表面。然后緩慢抬升傾斜板，直至試樣筒由靜止狀態(tài)開始沿傾斜板面滑動，此時停止抬升傾斜板，由測角儀讀取傾角，記作初始啟動角α。試樣桶的整個運動過程通過攝像機來記錄，記錄時間間隔為0.02is。

表1 試驗方案Table 1 Experimental programs

圖3 試樣制備過程Fig.3 Sample preparation process

逐幀讀取視頻圖像，分別記錄每幀圖像中的位移S和時間t兩組數(shù)據(jù)，并用此數(shù)據(jù)作為y，x坐標，繪制散點圖。選擇合適的曲線類型對數(shù)據(jù)點進行擬合，可以得到顆粒材料滑動位移的擬合函數(shù)S（t）。值得注意的是，由于視頻資料前幾幀圖像中試樣桶的位移變化不明顯（相鄰兩幀圖像的位移變化小于1imm），同時受限于傾斜板面的尺寸，所以11種工況中位移S的讀取是從第6幀圖像開始，直到位移S達到20icm。

通過對擬合函數(shù)S（t）求時間t的二階導數(shù)，可以得到顆粒材料滑動過程中的擬合加速度a。假設試樣桶從A點開始下滑，如圖4所示，根據(jù)牛頓第二定律F＝ma，在AB段加速度為：

式中：α為傾斜板傾角（初始啟動角）；g為重力加速度，取值9.8im·s－2；μd為顆粒材料與傾斜板面之間的動摩擦系數(shù)。由式（1）可得：

通過式（2）可以計算出顆粒材料在傾斜板面上滑動時的底面動摩擦系數(shù)。

圖4 加速度分析Fig.4 Analysis of acceleration

2 試驗結果與分析

2.1 曲線擬合

由于顆粒材料的位移S和時間t存在明顯的非線性關系，因此，本文利用函數(shù)繪圖軟件Origin9.0對工況1中顆粒材料（100%細顆粒）的實測數(shù)據(jù)點分別進行冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和多項式函數(shù)擬合，并對擬合結果進行比較（圖5）。

本文采用相關系數(shù)R2、均方根誤差（RMSE）作為評估函數(shù)擬合精度的指標。其中，均方根誤差主要用來衡量實測值與擬合值之間的偏差，其值越小，擬合精確度越高，相關函數(shù)的擬合結果見表2。

由表2可以看出，多項式函數(shù)的擬合效果最好，R2＝0.999，均方根誤差（RMSE）最小，擬合曲線與實測數(shù)據(jù)之間能夠達到最大程度的近似吻合。

比較表明，提高多項式階數(shù)到4、5階反而會降低擬合精度。綜上考慮，本文選擇3階多項式函數(shù)作為最佳的曲線擬合函數(shù)，分別對11種工況條件下顆粒材料的實測數(shù)據(jù)進行擬合。根據(jù)顆粒材料中細顆粒與粗顆粒的不同質(zhì)量配比，進而可以將擬合結果分為兩種類型（圖6、圖7），即單粒徑材料類型（工況1～工況2）和雙粒徑材料類型（工況3～工況11）。

圖5 擬合結果的對比分析Fig.5 Comparative analysis of different function fitting results

表2 函數(shù)擬合方程及相關指標Table 2 Fitting equations and related indexes

圖6 三階多項式擬合曲線及相關系數(shù)R2（單粒徑材料）Fig.6 The 3rd order polynomial fitting and correlation coefficient R2（monodisperse granular materials）

圖6 和圖7的擬合結果表明，3階多項式函數(shù)具有較高的擬合精度，可以作為標準擬合函數(shù)分析兩變量間的關系。通過對擬合函數(shù)S（t）求時間t的二階導數(shù)，可以得到顆粒材料的擬合加速度a，進而通過式（2）求得顆粒材料的底面動摩擦因數(shù)μd。

圖7 三階多項式擬合曲線及相關系數(shù)R2（雙粒徑材料）Fig.7 The 3rd order polynomial fitting and correlation coefficient R2（bidisperse granular materials）

2.2 動摩擦系數(shù)

2.2.1 單粒徑材料

圖6表明，在相同的時間內(nèi)，粗顆粒比細顆粒能夠運動更遠的距離，反映出粗顆粒材料具有更小的底面動摩擦系數(shù)。由于顆粒材料的側面完全被試樣筒限制，顆粒之間嵌入咬合緊密，所以顆粒材料在滑動過程中其內(nèi)部沒有出現(xiàn)明顯的剪切流動?；瑒幽Σ磷枇χ饕饔糜诘讓宇w粒，摩擦底面的粗糙程度直接影響顆粒材料的底面摩擦性質(zhì)?，F(xiàn)代摩擦理論（溫詩鑄等，2008）認為，任何摩擦表面都具有許多不同形狀的凸峰和凹谷，滑動摩擦過程就是克服表面粗糙峰的機械嚙合和分子吸引力的過程。在本次模型試驗中，摩擦界面的接觸狀態(tài)主要為點面接觸，分子吸引力可以忽略不計。根據(jù)試驗結果推測，在相同的底面積條件下，與粗顆粒相比，細顆粒的底面具有類似于圓錐體的粗糙峰以及更多的接觸峰點（圖8）。因此細顆粒在滑動過程中需要克服由犁溝效應產(chǎn)生的更大的摩擦阻力，從而表現(xiàn)出較大的動摩擦系數(shù)，這與之前的研究成果相符（Davies et al.，1999；Goujon et al.，2007）。

圖8 摩擦界面處的峰點接觸狀態(tài)以及犁溝效應Fig.8 Peak contact state at frictional interface and plough effect

通過式（2）推算，兩種顆粒材料的底面動摩擦系數(shù)均呈現(xiàn)出隨時間增加而降低的變化趨勢，但變化幅度有較大差異（圖9）。工況1中細顆粒的底面動摩擦系數(shù)介于0.320～0.337之間，降低趨勢較平緩，變化幅度??；工況2中粗顆粒的底面動摩擦系數(shù)介于0.276～0.349之間，降低趨勢明顯較快，變化幅度大。在滑動區(qū)間內(nèi)，粗、細兩種顆粒的動摩擦系數(shù)曲線存在交叉，細顆粒的動摩擦系數(shù)在早期低于粗顆粒，而在后期高于粗顆粒。在運動時間t＝0.6is時，細顆粒動摩擦系數(shù)的最終值0.320高于粗顆粒動摩擦系數(shù)的最終值0.276。

圖9 動摩擦系數(shù)的變化趨勢（單粒徑材料）Fig.9 Variation of dynamic friction coefficient（monodisperse granular materials）

2.2.2 雙粒徑材料

圖10表明，雙粒徑材料的動摩擦系數(shù)總體介于0.139～0.403之間，具有類似于單粒徑材料的底面動摩擦特性，呈現(xiàn)出隨時間增加而降低的變化趨勢。其中，工況8（60%細顆粒）的動摩擦系數(shù)介于0.183～0.403之間，降低幅度最大。工況3（10%細顆粒）的動摩擦系數(shù)介于0.259～0.280之間，降低幅度最小。由于雙粒徑材料中不同含量的細顆粒能夠改變摩擦底面的接觸狀態(tài)，進而影響顆粒材料整體的動摩擦特性，因此，本文以不同級配顆粒材料的動摩擦系數(shù)平均值為研究對象，對動摩擦系數(shù)平均值與細顆粒含量的關系進行分析（圖11）。

由圖11可以看出，雙粒徑材料的底面動摩擦系數(shù)平均值隨著細顆粒含量的增加作非線性振動變化。隨著細顆粒含量由0增加至40%，粗顆粒含量相對逐漸減少，導致底層顆粒中粗顆粒與傾斜板面的接觸摩擦作用減弱，雖然不斷增多的細顆?？梢云鸬揭欢ǔ潭鹊哪Σ磷饔茫蟛糠旨氼w粒存在于粗顆粒架構的空隙中，顆粒間嵌入咬合不緊密，或者完全處于自由狀態(tài)，無法傳遞剪切力，所以顆粒材料底面的動摩擦系數(shù)平均值呈現(xiàn)急劇降低趨勢（圖12a）；在細顆粒含量由40%增加至60%的過程中，持續(xù)增多的細顆粒之間通過宏觀咬合和摩擦作用能夠形成穩(wěn)定的力鏈網(wǎng)絡，可以承受較大的剪切力，同時，隨著細顆粒含量的增多，犁溝效應產(chǎn)生的摩擦阻力不斷增強，導致顆粒材料的動摩擦系數(shù)平均值急劇增加（圖12b）；在細顆粒含量超過60%之后，少量粗顆粒的接觸摩擦作用影響甚微，摩擦界面的接觸狀態(tài)近似于100%細顆粒與傾斜板面的界面接觸狀態(tài)。因此，動摩擦系數(shù)平均值的增加趨勢明顯變緩并逐漸趨近于100%細顆粒含量時的動摩擦系數(shù)平均值。

3 討 論

圖10 動摩擦系數(shù)的變化趨勢（雙粒徑材料）Fig.10 Variation of dynamic friction coefficient（bidisperse granular materials）

圖11 動摩擦系數(shù)平均值與細顆粒百分含量的關系Fig.11 Relationship between average coefficient of dynamic friction and percentage content of fine particle

圖12 底層顆粒的相互作用機制Fig.12 Interaction mechanism of bottom particles

顆粒材料的底面動摩擦系數(shù)與顆粒的尺寸及形狀、法向載荷、滑動速度以及摩擦界面特性等各種因素有關，這就使得動摩擦系數(shù)隨著工況條件的變化很大。目前顆粒物質(zhì)的摩擦試驗中較多采用相同粒徑的顆粒和粗糙滑面形式，摩擦界面處的顆粒層受到來自粗糙滑面的強烈剪切作用，通過顆粒之間的摩擦和碰撞引起顆粒層內(nèi)部的結構重組，從而影響顆粒材料的界面摩擦特性。在本次模型試驗中，采用的石英砂顆粒棱角明顯，形狀不規(guī)則，顆粒之間嵌入咬合緊密，粒間摩擦作用較強。同時，由于傾斜板表面光滑，顆粒材料運動過程中底層顆粒只能受到相對較弱的剪切作用，所以試樣桶中的顆粒材料在側面整體受限的情況下，其內(nèi)部未出現(xiàn)明顯的結構重組現(xiàn)象。根據(jù)模型試驗結果和宏觀摩擦理論，可以認為各工況顆粒材料底面動摩擦系數(shù)的不同變化趨勢可能與摩擦界面處接觸峰點的分布特點有關。對于單粒徑材料，在相同的底面積條件下，細顆粒的摩擦底面具有更多的接觸峰點，在運動過程中需要克服由犁溝效應產(chǎn)生的更大的摩擦阻力，因而表現(xiàn)出較大的底面動摩擦系數(shù)。對于雙粒徑材料，兩種顆粒均勻混合后，細顆粒的含量變化可以影響其在底層顆粒中的數(shù)量分布。一方面，隨著細顆粒含量的增多，摩擦界面處的接觸峰點增多，進而在運動過程中產(chǎn)生更大的摩擦阻力。另一方面，作者認為由于粗、細兩種顆粒的粒徑差異，隨著雙粒徑材料中細顆粒含量的增加，粗顆粒與細顆粒之間存在著復雜的相互作用，由此導致雙粒徑材料的底面動摩擦系數(shù)作非線性振動變化。但是這種不規(guī)則顆粒之間的相互作用是如何引起底面動摩擦系數(shù)的非線性振動變化尚不得而知，有待進一步的試驗研究。

此外，各工況顆粒材料的初始啟動角α不等（圖13），分布范圍在17.5°～22.7°之間，最大值與最小值的差值可達5°。由于顆粒材料的初始啟動位置均位于相同的標尺刻度處，初始啟動角度越大，相對的位置越高，顆粒材料具有的初始勢能就越大。作者認為，在顆粒材料的運動過程中，主要發(fā)生著勢能向動能、摩擦能等能量形式的轉(zhuǎn)化。這種能量轉(zhuǎn)化關系表明，初始啟動角α、底面動摩擦系數(shù)μd和滑動速度v之間存在著復雜的相互影響關系。同時，由本文用以推算底面動摩擦系數(shù)的式（2）也可以看出，底面動摩擦系數(shù)μd受到初始啟動角α和滑動加速度a兩者共同的影響。然而，本次試驗中未考慮顆粒形狀、滑面粗糙度、初始啟動角等因素對顆粒材料底面動摩擦系數(shù)的影響。因此，在以后的研究中可以通過控制顆粒形狀，比如制備六面體、球體等規(guī)則形體的顆粒，以及通過改變滑面粗糙度、設置多種滑動角度等方式進行多重影響因素的試驗分析，并在此基礎上進一步探究復雜級配條件下顆粒材料的底面動摩擦特性。

圖13 各工況顆粒材料的初始啟動角Fig.13 The initial start angle of granular materials

4 結 論

通過傾斜儀開展不同級配顆粒材料的滑動摩擦試驗，基于視頻圖像解析和曲線擬合方法推算底面動摩擦系數(shù)，進而分析顆粒粒徑、質(zhì)量配比等級配因素對底面動摩擦系數(shù)的影響，旨在初步揭示不同級配顆粒材料的底面動摩擦特性。主要得到以下結論：

（1）各級配顆粒材料的底面動摩擦系數(shù)均呈現(xiàn)出隨運動時間增加而不斷減小的線性變化趨勢。

（2）對于單粒徑材料，細顆粒動摩擦系數(shù)隨時間增加的變化不大，粗顆粒動摩擦系數(shù)則急劇降低。細顆粒動摩擦系數(shù)的最終值高于粗顆粒動摩擦系數(shù)的最終值。

（3）隨著細顆粒含量的增加，混合顆粒材料的動摩擦系數(shù)平均值先急劇減小至最小值，后急劇增大。當細顆粒含量超過60%之后，動摩擦系數(shù)平均值的增大趨勢明顯變緩并逐漸趨近于100%細顆粒含量時的動摩擦系數(shù)。

（4）在以后的研究工作中，將進一步開展不同顆粒磨圓度、表面風氧化情況等條件下的滑動摩擦試驗，并考慮滑面粗糙度的影響，以期獲得更為全面、合理的底面動摩擦系數(shù)變化規(guī)律。