動(dòng)力增程型高超聲速飛行器的再入軌跡規(guī)劃

馮玥，王容順，梅映雪，孫洪飛，吳了泥

（廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，廈門361102）

近年來，高超聲速飛行器憑借其飛行速度快、射程遠(yuǎn)和突防能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，在軍事和民用方面普遍受到重視。高超聲速飛行器的再入返回過程一般是無動(dòng)力返回，而動(dòng)力增程型高超聲速飛行器是一類某種攜帶少量燃料動(dòng)力裝置（助推器）的飛行器。再入過程中飛行器的速度或高度減小到一定值之后，助推器點(diǎn)火對(duì)其進(jìn)行加速補(bǔ)能，從而達(dá)到增加航程的目的。由于燃料有限，飛行過程中如何分配助推器的點(diǎn)火時(shí)機(jī)、點(diǎn)火次數(shù)以及點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)以達(dá)到最遠(yuǎn)的航程，從而使燃料利用率最高，是動(dòng)力增程型高超聲速飛行器需要研究的新問題。

高超聲速飛行器的再入過程［1］速度大，受熱流、動(dòng)壓和過載等過程約束，一般還具有高精度的末端約束，因此軌跡設(shè)計(jì)是再入返回的關(guān)鍵部分。20世紀(jì)30年代德國科學(xué)家Sanger和Bredt提出擬平衡滑翔概念［2］，1948年錢學(xué)森提出了著名的錢學(xué)森彈道，為飛行器軌跡規(guī)劃問題的研究奠定了基礎(chǔ)。Lu［3］、盧寶剛［4］、張科南［5］等基于擬平衡滑翔條件提出多種軌跡規(guī)劃的方法；此外，國外Rao［6］、Elangar［7］等以及國內(nèi)呼衛(wèi)軍［8］、雍恩米［9］等基于偽譜法將再入軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題進(jìn)行求解；近年來，宋超［10］、楊鵬宇［11］等分別在軌跡優(yōu)化基礎(chǔ)上考慮了航路點(diǎn)約束問題和故障下的在線軌跡重構(gòu)問題。根據(jù)建模與求解的特點(diǎn)，飛行器軌跡規(guī)劃問題可以視作非線性、帶有狀態(tài)約束和控制約束的最優(yōu)控制問題，采用最優(yōu)控制方法進(jìn)行求解是自然的選擇。

對(duì)于動(dòng)力增程型這樣的新型高超聲速飛行器，國內(nèi)外對(duì)其軌跡規(guī)劃問題的研究缺少相關(guān)文獻(xiàn)。在美國學(xué)者Carter等［12］的研究中，證實(shí)了高超聲速飛行器的周期跳躍彈道可以實(shí)現(xiàn)減少燃料消耗從而增大航程的目的。該周期彈道通過助推器脈沖點(diǎn)火來維持飛行器跳躍運(yùn)動(dòng)的平均高度，在跳躍彈道波谷點(diǎn)火彌補(bǔ)能量消耗，最終調(diào)整飛行器狀態(tài)使其達(dá)到與上一周期相同。國內(nèi)藺君等［13］提出了改進(jìn)的高斯偽譜法（Gauss Pseudospectral Method，GPM），主要解決了分段軌跡規(guī)劃的連續(xù)性問題，但將動(dòng)力裝置的點(diǎn)火次數(shù)和點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)設(shè)為已知量不作求解，動(dòng)力裝置的增程作用也沒能顯現(xiàn)。

本文針對(duì)動(dòng)力增程型高超聲速飛行器的再入模式展開研究，發(fā)現(xiàn)GPM求解變量多、約束強(qiáng)，解算耗時(shí)長(zhǎng)甚至難以收斂；而周期跳躍彈道具有周期形式的強(qiáng)約束條件，動(dòng)力裝置的啟動(dòng)方式以及飛行器在各個(gè)周期的狀態(tài)均固定，難以靈活協(xié)調(diào)助推器燃料利用率和彈道航程大小的關(guān)系。因此，本文從周期跳躍彈道增程的本質(zhì)出發(fā)，將周期跳躍彈道的強(qiáng)約束去除，重新研究動(dòng)力裝置啟動(dòng)的最佳時(shí)機(jī)和方式，綜合考慮彈道末端落點(diǎn)的精度，提出一種新的動(dòng)力增程型高超聲速飛行器再入模式，并在該模式下提出了一種能量損失緩慢的“打水漂”彈道形式。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1.1 動(dòng)力學(xué)方程

由于高升阻比特性，高超聲速飛行器再入階段的氣動(dòng)力和地球重力分別約為科氏慣性力和地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的100倍和1 000倍［8］，因此可以假設(shè)地球?yàn)閳A球不旋轉(zhuǎn)模型，進(jìn)而得到無量綱三自由度運(yùn)動(dòng)方程［14］為

無量綱升力L、阻力D分別為

式中：Sref為飛行器氣動(dòng)參考面積；CL、CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，通常由飛行器的迎角α和馬赫數(shù)決定；ρ（H）為大氣密度，H為海拔高度。

本文大氣密度模型采用式（3）計(jì)算：

式中：β為決定大氣密度指數(shù)衰減的常數(shù)；ρ0為海平面的大氣密度；Θ為常值。

1.1.2 控制量

在高超聲速飛行器動(dòng)力學(xué)方程（1）中，迎角α、傾側(cè)角υ和助推器點(diǎn)火產(chǎn)生的推力F為3個(gè)控制量，作為模型的輸入。為滿足飛行器控制能力要求，一般有如下約束形式：

式中：αmax、αmin為攻角取值范圍的上、下限；κ為傾側(cè)角取值范圍的上、下限的絕對(duì)值；Is為助推器的比沖；tb和mb為助推器工作的總時(shí)長(zhǎng)和助推器攜帶燃料的總質(zhì)量。

1.2 問題描述

在本文動(dòng)力增程型高超聲速飛行器再入模式的研究中，需要解決的問題是設(shè)計(jì)合理的控制量，使航程盡可能得大。沒有輸入量F的情況下，上述問題可看作無動(dòng)力返回的軌跡規(guī)劃問題，工程上普遍使用GPM來求解最優(yōu)控制問題的數(shù)值解。輸入量F的存在使軌跡規(guī)劃問題復(fù)雜化，助推器點(diǎn)火的時(shí)機(jī)、點(diǎn)火次數(shù)以及每次點(diǎn)火持續(xù)的時(shí)長(zhǎng)均需要設(shè)計(jì)，此時(shí)GPM 求解難度大，算法不易收斂；而周期跳躍彈道不能合理利用助推器點(diǎn)火補(bǔ)償?shù)哪芰?。再有，單純的跳躍彈道在末端由于跳躍勢(shì)必會(huì)影響末端落點(diǎn)精度。如何利用“點(diǎn)火次數(shù)”、“點(diǎn)火時(shí)機(jī)”、“點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)”和“末端落點(diǎn)精度”這4個(gè)因素來設(shè)計(jì)動(dòng)力增程型再入彈道是本文主要的研究?jī)?nèi)容。

2 再入彈道的解析解

下面分析助推器無點(diǎn)火情況下再入彈道的解析解形式，以此作為提出動(dòng)力增程型再入彈道軌跡規(guī)劃策略的理論依據(jù)。

飛行器再入彈道的解析解一般難以獲得，通常需要相當(dāng)苛刻的假設(shè)條件，為得到再入彈道的航程解析解，需做如下假設(shè)：

假設(shè)1飛行器在大氣層內(nèi)運(yùn)動(dòng)空域假設(shè)處在同溫層，空氣密度變化為式（3）所示，大氣層邊緣距地面為常值Θ（稱距地球表面高度超過Θ的空間為“大氣層外”）。

假設(shè)2地球?yàn)橘|(zhì)量分布均勻的不旋轉(zhuǎn)圓球體，忽略地球自轉(zhuǎn)。

假設(shè)3飛行器飛行中保持側(cè)滑角為零，傾側(cè)角為常值，即飛行器在某個(gè)縱向平面飛行。

假設(shè)4飛行器在Sanger彈道的跳躍階段大氣層內(nèi)所受空氣動(dòng)力作用遠(yuǎn)大于重力作用。

定義1以飛行軌跡點(diǎn)不再出大氣層的起點(diǎn)為分界點(diǎn)，整個(gè)再入過程以此分界點(diǎn)為界，被分為2個(gè)階段。該分界點(diǎn)前的再入軌跡稱作“再入前期”，該分界點(diǎn)后的再入軌跡稱作“再入后期”。

圖1為不考慮助推器點(diǎn)火的情況下，高超聲速飛行器再入彈道的示意圖，圖中V0和θ0分別為飛行器第1次離開大氣層的初始速度和初始彈道傾角；G點(diǎn)為再入前期與再入后期的分界點(diǎn)，設(shè)G點(diǎn)處是飛行器第N次進(jìn)入大氣層，那么由定義1可知，再入前期飛行器共進(jìn)入大氣層N次。

圖1 再入彈道Fig.1 Reentry trajectory

2.1 能量轉(zhuǎn)換分析

在假設(shè)2前提下，研究助推器不工作情況時(shí)飛行器的受力情況和能量轉(zhuǎn)換，則再入過程中以下2個(gè)事實(shí)顯然成立。

1）飛行器在大氣中僅受3個(gè)力作用，分別是空氣阻力、升力以及重力。由各個(gè)力的方向與速度方向的角度關(guān)系可知，阻力始終做負(fù)功、升力不做功、重力雖然做功但不改變飛行器的機(jī)械能。

2）飛行器進(jìn)入大氣層后由于空氣阻力的作用，速度和動(dòng)能逐漸減小，此時(shí)影響機(jī)械能的唯一因素是空氣阻力。也就是說，飛行器由起點(diǎn)到終點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)能的消耗都用來克服空氣阻力做功。

結(jié)合式（3）的大氣密度模型，由事實(shí)1）和2）可知，當(dāng)V0和θ0以及末端速度、高度固定，飛行器可以通過多次跳出大氣層使能量消耗緩慢，從而達(dá)到增程的目的。

由定義1可知，飛行器在再入后期階段不再跳出大氣層?？梢姡偃肭捌诘能壽E設(shè)計(jì)是動(dòng)力增程型再入彈道的關(guān)鍵部分，下面推導(dǎo)再入前期彈道的解析解。

2.2 Sanger彈道解析解

再入前期彈道可近似為Sanger彈道，關(guān)于Sanger彈道的解析解形式文獻(xiàn)［12，15］已有研究，現(xiàn)作如下總結(jié)。

如圖1所示，將彈道的每一次跳躍分為2種軌跡：稱每一次穿越大氣層時(shí)對(duì)應(yīng)大氣層外的軌跡為彈道軌跡（Ballistic Trajectory）；相應(yīng)地稱大氣層內(nèi)的軌跡為跳躍軌跡（Skip Trajectory）。2種彈道由于物理特性不同需分別求解，那么再入前期的總航程角解析解可以表示為2個(gè)航程角分量的和，如式（5）所示：

式中：Vs為第一宇宙速度；Φt為總航程角；g為引力加速度；n為飛行器進(jìn)入大氣層的次數(shù)。

由航程Rt與航程角Φt的關(guān)系Φt=Rt/R0，可得到再入前期彈道的總航程解析解。推導(dǎo)過程如下：

令

為方便敘述，以下約定變量的下標(biāo)e和d分別指進(jìn)入大氣層和跳出大氣層，n作上標(biāo)表示次數(shù)。

式中：dθ／d s=-1／rc，rc為地球曲率半徑，s為航程。

將d H／d s=-sinθ與式（3）代入式（8）中，并對(duì)θ進(jìn)行積分有

將d s／d t=V代入式（9）中，并對(duì)s進(jìn)行積分，有

結(jié)合假設(shè)1，不難得到

則式（11）變?yōu)?/p>

最終，結(jié)合式（7）、式（12）和式（13），可知Sanger彈道N個(gè)彈道軌跡總航程角為

取R0＋H≈R0，將式（15）表示為密度的方程為

由式（10）可知，跳躍軌跡上的點(diǎn)與起點(diǎn)滿足如下規(guī)律：

在波谷點(diǎn)有θv=0。取θ=θv，將式（16）、式（3）代入式（17），求解可得

式中：ys=Hj-Hv為跳躍深度。

當(dāng)跳躍深度最大時(shí)，假設(shè)滿足如下關(guān)系式：

那么第1個(gè)跳躍軌跡航程的最大值可近似表達(dá)為

式中：R1為第1個(gè)跳躍軌跡的航程。

將式（18）代入式（20），進(jìn)而得到第1個(gè)跳躍軌跡的最大航程角為

類似地，結(jié)合式（12）和式（13）可以得到Sanger彈道全部N-1次跳躍軌跡的總航程角為

將式（14）與式（22）代入式（6），即可得到Sanger彈道總航程角的解析解。至此，式（5）的推導(dǎo)完畢。

注1對(duì)式（5）進(jìn)行分析可知，Sanger彈道的航程完全取決于V0、θ0以及飛行器的升阻比；在不超過第一宇宙速度的前提下，初始速度越大航程越大，同時(shí)升阻比越大航程也越大。因此，再入前期彈道軌跡的最大航程一定是在合適的初始彈道傾角、最大升阻比和最大初始速度的條件下實(shí)現(xiàn)。

3 動(dòng)力增程型彈道再入描述

為給出動(dòng)力增程型高超聲速飛行器再入模式，將整個(gè)再入過程分為再入前期和再入后期2個(gè)階段，根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)的不同，需要分段進(jìn)行規(guī)劃。再入前期通過助推器點(diǎn)火形成等高類周期跳躍彈道，利用注1結(jié)論得到動(dòng)力裝置的啟動(dòng)方式，保證了航程最遠(yuǎn)；再入后期采用擬平衡滑翔形式，解決了跳躍彈道帶來的難跟蹤、機(jī)動(dòng)性能差以及落點(diǎn)精度低等問題。

針對(duì)以上描述，給出如圖2所示的動(dòng)力增程型彈道再入模式（記第i次上升至波峰的點(diǎn)為Pi）。下面將分別介紹再入前期和再入后期的彈道特征以及需要解決的問題。

圖2 動(dòng)力增程型彈道再入模式Fig.2 Range-extended trajectory reentry mode

3.1 再入前期

為了方便對(duì)再入前期彈道進(jìn)行研究，除上述提出的假設(shè)外，還需做以下補(bǔ)充：

假設(shè)5地面推進(jìn)系統(tǒng)已經(jīng)足夠好，其能夠保證飛行器在最佳初始彈道傾角狀態(tài)脫離，順利將其送至預(yù)定最大高度，在達(dá)到最大高度前，助推器無需點(diǎn)火。

假設(shè)6助推器所攜帶的燃料充足，產(chǎn)生的推力為常值推力，其方向與飛行器空速方向的夾角為0°。

設(shè)Vc為高度Θ 處的臨界速度，它代表飛行器在該高度下能夠繞地球飛行的最大速度，這個(gè)值略低于第一宇宙速度，超過速度Vc飛行器將脫離地球引力束縛。

根據(jù)2.1節(jié)可以知道，再入前期的軌跡需采用跳躍彈道，在該階段助推器點(diǎn)火，使飛行器盡可能多地跳出大氣層，從而減少能量消耗，獲得更遠(yuǎn)的航程。

彈道初期為等高類周期跳躍彈道，助推器點(diǎn)火結(jié)束后，彈道呈現(xiàn)自由跳躍的Sanger彈道形式。該階段的軌跡規(guī)劃策略是基于彈道解析解得到的，研究動(dòng)力裝置的最佳啟動(dòng)方式（包括助推器的點(diǎn)火次數(shù)nb、點(diǎn)火時(shí)刻τi以及單次點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)σi，帶下標(biāo)i的物理量表示其第i次點(diǎn)火的值，i=1，2，…，nb）是該階段彈道設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。

3.1.1 等高類周期跳躍

如圖2所示，等高類周期是指該階段彈道的每個(gè)相位周期都具有相同最大高度。助推器的點(diǎn)火發(fā)生在此階段，高度限制的存在使得助推器的燃料不能在第一次點(diǎn)火時(shí)全部耗盡，因而出現(xiàn)等高類周期跳躍的形式，類周期重復(fù)的次數(shù)由助推器所帶燃料以及該階段的最大速度共同決定。

因此，該階段需要合理設(shè)計(jì)助推器的工作方式，使得飛行器速度達(dá)到臨界速度Vc前，每個(gè)類周期具有爬升至與發(fā)射上升段波峰高度Pt相等的能力，如果無法做到一次性耗盡所有燃料，則下次點(diǎn)火耗盡所有燃料，以此類推，最終形成等高類周期跳躍彈道。

注2助推器點(diǎn)火補(bǔ)能的前提是該階段的速度不超過Vc，因此，在飛行器速度大于Vc前，助推器能夠工作至燃料耗盡；否則應(yīng)在速度達(dá)到Vc時(shí)，停止助推器繼續(xù)工作。

3.1.2 自由跳躍

助推器最后一次點(diǎn)火結(jié)束，飛行器由于沒有能量補(bǔ)充而呈現(xiàn)自由跳躍，來回穿梭大氣層使得飛行器能量逐漸消耗，形成波峰高度逐漸減小的Sanger彈道形式。該階段的彈道形式可以根據(jù)等高類周期跳躍彈道的最大速度是否達(dá)到Vc分為兩類。

若在上一階段燃料耗盡，仍不能使飛行器速度達(dá)到臨界速度Vc，那么由于沒有能量補(bǔ)充，速度衰減很快，最終將不再跳出大氣層，此時(shí)表現(xiàn)為普通的Sanger彈道。若在上一階段飛行器經(jīng)多次點(diǎn)火后，速度能夠達(dá)到臨界速度Vc，當(dāng)軌跡滿足一定彈道傾角時(shí)，將出現(xiàn)一種特殊的Sanger彈道形式——“打水漂”彈道。該模式下，飛行器以Θ高度的大氣層為分界面，進(jìn)入大氣后在極短的時(shí)間內(nèi)“反彈”到大氣層外，這種跳躍能量損失少，速度減小緩慢，飛行器能夠重復(fù)多次這種“打水漂”跳躍，以基本不變的速度飛行足夠遠(yuǎn)的航程，直至速度減小到不足以再跳出大氣層，作為再入前期結(jié)束的標(biāo)志。

3.1.3 軌跡規(guī)劃策略

再入前期的首要任務(wù)是保證足夠的航程，該階段再入彈道的軌跡規(guī)劃需要設(shè)計(jì)的輸入量為迎角α、助推器點(diǎn)火次數(shù)nb、助推器點(diǎn)火時(shí)刻τi以及每次助推器點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)σi。

助推器點(diǎn)火次數(shù)nb取決于助推器攜帶的燃料以及等高類周期跳躍彈道的最大速度。結(jié)合假設(shè)5、假設(shè)6和Sanger彈道解析解的結(jié)論，再入前期彈道的航程最優(yōu)一定是在滿足以下條件的情況下實(shí)現(xiàn)：

條件2 推器點(diǎn)火時(shí)刻τi取每個(gè)類周期波峰對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，第1次點(diǎn)火發(fā)生在飛行器達(dá)到發(fā)射上升段的波峰。

在上述條件下，由皮卡-林德洛夫定理可知，助推器每次的點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)σi有唯一解。

3.2 再入后期

由于再入后期沒有助推器的點(diǎn)火過程，待設(shè)計(jì)的控制量中不用再考慮動(dòng)力裝置的啟動(dòng)參數(shù)，問題相對(duì)比較簡(jiǎn)單。

這樣看來，再入后期的軌跡規(guī)劃問題可描述為一個(gè)多約束軌跡優(yōu)化問題，其本質(zhì)上可以看作最優(yōu)控制問題，可以使用求解最優(yōu)控制問題的一般方法來解決，本文使用GPM進(jìn)行再入后期軌跡優(yōu)化問題的求解。

下面結(jié)合具體約束與性能指標(biāo)，給出了該非線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。

3.2.1 約束形式

再入后期由于沒有動(dòng)力裝置的啟動(dòng)，飛行過中以飛行攻角α和傾側(cè)角υ為控制變量。那么，為了滿足飛行器控制能力要求，通常有式（4a）、式（4b）的控制量約束形式，此外還需滿足式（1）的模型約束［18］。除上述2種約束類型外，本文還考慮了如下過程約束和終端約束。

為保證將飛行器以指定的角度、速度和高度到達(dá)彈道終端，還需加上如下終端約束：

式中：tf為終端時(shí)刻，帶下標(biāo)f的物理量表示其在終端時(shí)刻的值。

3.2.2 性能指標(biāo)

再入后期的性能指標(biāo)綜合考慮航程大小和彈道平滑程度。這里采用式（25）作為再入后期彈道的性能指標(biāo)：

式中：t0為初始時(shí)刻；J為性能指標(biāo)；w1、w2、w3為權(quán)重系數(shù)，用于調(diào)節(jié)優(yōu)化指標(biāo)中飛行器飛行航程以及彈道平滑性最優(yōu)之間的權(quán)重，且w1、w2、w3滿足w1＋w2＋w3=1。

最終，所要研究的多約束問題可描述為：在滿足動(dòng)力學(xué)方程約束式（1）、控制約束式（4a）、式（4b）、過程約束式（23）以及終端約束式（24）情況下，尋找合適的狀態(tài)軌跡和控制輸入，使得性能指標(biāo)式（25）最小。

4 仿真結(jié)果及分析

仿真在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行，首先給出了燃料充足情況下的動(dòng)力增程型再入彈道的仿真實(shí)現(xiàn)，證實(shí)了“打水漂”彈道的可實(shí)現(xiàn)性，仿真結(jié)果表明本文所提出的再入模式具有足夠遠(yuǎn)的飛行能力；進(jìn)而將本文提出的動(dòng)力增程型再入彈道與已有研究做出對(duì)比，仿真結(jié)果顯示，本文提出的再入模式能夠充分利用助推器點(diǎn)火補(bǔ)充的能量，使飛行器能夠以更少的燃料飛行更遠(yuǎn)的距離，同時(shí)獲得更高的末端能量。

4.1 實(shí)現(xiàn)流程

第3節(jié)中提出的動(dòng)力增程型彈道再入模式，其計(jì)算流程如圖3所示，其中x0為狀態(tài)量的初值。

4.2 動(dòng)力增程型再入彈道的仿真實(shí)現(xiàn)

為驗(yàn)證本文所提出的動(dòng)力增程型再入彈道的可實(shí)現(xiàn)性，在燃料充足的情況下進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真參數(shù)如下所述。

2）初始狀態(tài)量：z0=6451004 m，V0=7100 m/s，λ0=0°，φ0=0°，θ0=2.1°，ψ0=0°。

圖3 動(dòng)力增程型彈道再入模式流程圖Fig.3 Flowchart of range-extended trajectory reentry mode

圖4～圖7為該仿真條件下的動(dòng)力增程型再入彈道的高度、推力、速度、迎角及過程約束隨時(shí)間的變化。

圖4 高度、推力隨時(shí)間的變化Fig.4 Variations of altitude and thrust changing with time

圖5 速度隨時(shí)間的變化Fig.5 Variation of velocity changing with time

圖6 迎角隨時(shí)間的變化Fig.6 Variation of angle of attack changing with time

圖7 過程約束隨時(shí)間的變化Fig.7 Variations of process constraints changing with time

為方便分析，給出助推器2次點(diǎn)火分別消耗的燃料，以及再入過程中各個(gè)階段的航程大小和飛行時(shí)間，如表1、表2所示。

表1 助推器點(diǎn)火消耗的燃料Table 1 Fuel consumed by booster ignition

表2 動(dòng)力增程型再入彈道的基本參數(shù)Table 2 Basic parameters of range-extended reentry trajectory

從仿真結(jié)果可以看出，再入前期的等高類周期跳躍彈道共點(diǎn)火2次，在第2次點(diǎn)火后，飛行器以合適的彈道傾角達(dá)到臨界速度，順利進(jìn)入“打水漂”狀態(tài)。直至速度減小至飛行器不再跳出大氣層，進(jìn)入再入后期的擬平衡滑翔段，最后以約束的高度和速度結(jié)束整個(gè)再入過程。最終，仿真得到的動(dòng)力增程型高超聲速飛行器再入彈道軌跡平滑，飛行器狀態(tài)在整個(gè)再入過程中滿足各項(xiàng)約束。

4.3 多種彈道形式的仿真對(duì)比

為證實(shí)本文提出的飛行模式具有高的燃料利用率、驗(yàn)證彈道解析解推導(dǎo)得出的結(jié)論，本節(jié)將等高類周期跳躍彈道（記為“彈道1”）分別與以下3種彈道作對(duì)比：“彈道2”為文獻(xiàn)［12］中所提的周期跳躍彈道；“彈道3”為在波谷處點(diǎn)火的跳躍彈道；“彈道4”為文獻(xiàn)［12］中提出的GPM 分段優(yōu)化算法解算出的彈道，選取航程最遠(yuǎn)為性能指標(biāo)，需預(yù)設(shè)σi與nb。各個(gè)彈道仿真條件相同，參數(shù)見3.1節(jié)。

圖8為彈道1分別與彈道2～彈道4的高度、推力隨時(shí)間變化的對(duì)比。助推器的啟動(dòng)方式為本文主要研究?jī)?nèi)容，因此以下針對(duì)助推器發(fā)生點(diǎn)火的再入前期彈道進(jìn)行對(duì)比。圖8中，彈道1與彈道4明顯呈現(xiàn)類周期跳躍，而彈道2與彈道3呈現(xiàn)相位周期跳躍。

圖8 不同飛行模式下高度、推力隨時(shí)間變化的對(duì)比Fig.8 Comparison of variations of altitude and thrust changing with time under different flight modes

同樣地，給出各個(gè)彈道的點(diǎn)火次數(shù)和每次點(diǎn)火消耗的燃料質(zhì)量，以及航程大小、再入前期的末端速度和飛行時(shí)間對(duì)比如表3、表4所示。

表3 不同飛行模式下助推器點(diǎn)火消耗的燃料對(duì)比Table 3 Comparison of fuel consumed by booster ignition under different flight modes

表4 不同飛行模式下彈道參數(shù)對(duì)比Table 4 Comparison of trajectory parameters under different flight modes

下面分別從燃料消耗、航程大小以及能量損耗3個(gè)方面進(jìn)行分析。

1）燃料消耗：結(jié)合圖8、表3數(shù)據(jù)可知，彈道1共點(diǎn)火2次，燃料消耗主要在第1次點(diǎn)火；彈道2、彈道3以及彈道4的前3次點(diǎn)火，燃料消耗量基本相同。彈道1的燃料消耗量以及點(diǎn)火次數(shù)均最少，總?cè)剂舷牧考s為其他彈道的95%。

2）航程大?。罕?中數(shù)據(jù)顯示，彈道1的類周期彈道航程明顯大于其他彈道，約為其他彈道的3.47～3.84倍。

3）能量損耗：再入前期結(jié)束時(shí)，各個(gè)彈道高度相同、質(zhì)量接近（燃料剩余量不同），可以忽略勢(shì)能變化的差異，僅考慮動(dòng)能。由表4可知，彈道1的末端動(dòng)能大于其他彈道，約為其他彈道的1.04～1.18倍；彈道3具有最大的能量損耗。

所有彈道形式中，彈道1使用的助推器啟動(dòng)方式，最大限度地將助推器點(diǎn)火補(bǔ)充的能量轉(zhuǎn)化為飛行航程以及飛行器機(jī)械能（體現(xiàn)在末端速度中）；而其余彈道形式為了獲得航程，在消耗助推器能量的同時(shí)，還損失了飛行器本身的機(jī)械能。為了衡量各個(gè)彈道的燃料利用能力，本文提出式（26）來計(jì)算各個(gè)彈道的燃料利用率ηc，彈道編號(hào)c=1，2，3，4。

式中：Rt0=4782.6 km為助推器不點(diǎn)火時(shí)的航程；mr為助推器燃料剩余質(zhì)量；sgn（）為符號(hào)函數(shù)。

結(jié)合表4數(shù)據(jù)，將計(jì)算結(jié)果歸一化后分別為：η1=0.699 7，η2=0.099 4，η3=0.044 3，η4=0.156 6?？梢姡瑥椀?的燃料利用率最高，在式（26）定義下，為其余彈道的4.47～15.79倍；同時(shí)，2個(gè)類周期彈道的ηc值均高于周期彈道，彈道3值最小。

綜上，本文提出的動(dòng)力增程型彈道再入模式無論從燃料消耗、航程大小、能量損耗以及燃料利用方面均優(yōu)于其他彈道，并且優(yōu)勢(shì)是十分顯著的。因此，該飛行模式是相對(duì)于其余彈道形式更優(yōu)的選擇，該模式下的助推器燃料利用率與航程都是在文獻(xiàn)［12-13］基礎(chǔ)上取得了很大的進(jìn)步。

5 結(jié) 論

1）本文設(shè)計(jì)了一種針對(duì)增強(qiáng)型高超聲速飛行器的動(dòng)力增程型再入彈道，該彈道再入前期通過設(shè)計(jì)助推器點(diǎn)火方式形成等高類周期彈道保證了航程最優(yōu)，再入后期看作無動(dòng)力返回的非線性軌跡優(yōu)化問題以滿足各項(xiàng)約束條件。

2）從再入彈道的解析解出發(fā)，得出了Sanger彈道達(dá)到航程最大的條件；進(jìn)而提出再入前期軌跡規(guī)劃策略；最終給出形成等高類周期跳躍彈道的動(dòng)力裝置啟動(dòng)方式的解，解決了“高度受限”以及“末端落點(diǎn)精度高”條件下，“點(diǎn)火次數(shù)”、“點(diǎn)火時(shí)機(jī)”和“點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)”的計(jì)算問題。

3）再入后期提出以各項(xiàng)性能指標(biāo)的加權(quán)和作為GPM算法的總性能指標(biāo)，在航程足夠遠(yuǎn)的同時(shí)，保證了優(yōu)化軌跡的平滑程度，通過優(yōu)化算法求解的彈道符合各項(xiàng)約束條件。

4）綜合考慮每單位質(zhì)量的燃料燃燒對(duì)增程和轉(zhuǎn)化為飛行器機(jī)械能的貢獻(xiàn)；相應(yīng)地提出評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

5）相對(duì)于現(xiàn)有研究成果、不同點(diǎn)火時(shí)機(jī)形成的彈道以及優(yōu)化算法迭代的結(jié)果，本文提出的動(dòng)力增程型再入彈道能夠以95% 的燃料獲得3.47～3.84倍的航程和1.04～1.18倍的末端動(dòng)能，燃料利用率高達(dá)4.47～15.79倍。

6）從彈道跳躍方式上重新分析數(shù)據(jù)，可知，無論形成方式為何，相對(duì)于周期跳躍的規(guī)則彈道，類周期跳躍的彈道總是能夠更好地將助推器點(diǎn)火產(chǎn)生的能量轉(zhuǎn)化為機(jī)械能儲(chǔ)存在飛行器中，并獲得更高的末端速度和燃料利用率。

7）在大氣密度分層、彈道傾角合適并且燃料充足的條件下，仿真實(shí)現(xiàn)了“打水漂”彈道。事實(shí)上，這樣的彈道僅僅是理想化彈道，因?yàn)閷?shí)際的空氣環(huán)境不可能存在一個(gè)曲面將大氣層和真空環(huán)境嚴(yán)格區(qū)分開。但是，這樣的“打水漂”彈道作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，為實(shí)際工程提供了努力的方向。