分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制下時(shí)間優(yōu)化問題的可解性

練婷婷, 李 剛

(1. 鹽城工學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 江蘇 鹽城 224003; 2. 揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

本文主要討論如下分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)控制下時(shí)間優(yōu)化可行解的存在性:

(1)

其中1<α<2,x(·)取值于Banach空間X, Dα是α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),A:D(A)?X→X是X上預(yù)解{Sα(t)}t≥0的無(wú)窮小生成元, 控制函數(shù)u(·)取值于可分自反Banach空間Y,B:Y→X為有界線性算子,Uad是滿足一定條件的可容許控制集．

1 預(yù)備知識(shí)

利用拉普拉斯變換, 類似于文獻(xiàn)[5]的證明,可得系統(tǒng)(1)的適度解如下:

2 主要結(jié)果

假設(shè): (H1)A生成的預(yù)解{Sα(t)}t>0是緊的, 且按照一致算子拓?fù)溥B續(xù), 記M=supt∈J‖Sα(t)‖; (H2)f:J×X→X連續(xù), 且對(duì)所有的(t,x)∈J×X存在常數(shù)N1>0, 使得‖f(t,x)‖≤N1; (H3)B:Y→X是線性有界算子, 記‖B‖=MB．定義可容許控制集Uad={u∈Lp(J,Y):u(t)∈U(t),a,t∈J}, 其中p>1/α; 集值映射U:J→Pf(Y)(Y中非空閉凸子集的全體)滿足條件: (H4)映射U是圖像可測(cè)的, 且對(duì)幾乎處處的t∈J, 存在m∈Lp(J,R+)(p>1/α)使得‖U(t)‖=sup{‖μ‖:μ∈U(t)}≤m(t)．根據(jù)文獻(xiàn)[6], 若此條件滿足, 則Uad≠?, 且易見Uad為L(zhǎng)p(J,Y)中的有界閉凸集．進(jìn)一步, 對(duì)任意u∈Uad, 有 ‖u‖Lp(J)≤‖m‖Lp(J), 且Bu∈Lp(J,X)(p>1/α)．

引理3若以上條件均滿足, 則控制系統(tǒng)(1)在區(qū)間[0,b]上至少有一個(gè)適度解．

證明 利用預(yù)解{Sα(t)}t>0及相關(guān)算子{Cα(t)}t≥0與{Pα(t)}t≥0的緊性和一致算子拓?fù)溥B續(xù)性, 結(jié)合Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理, 類似于文獻(xiàn)[4]中引理3.5的證明可得結(jié)論成立．

引導(dǎo)基金是由政府設(shè)立并按照市場(chǎng)化方式運(yùn)作的政策性基金，不以營(yíng)利為目的，通過財(cái)政性資金投入，引導(dǎo)社會(huì)資本支持科技型企業(yè)發(fā)展，促進(jìn)科技成果轉(zhuǎn)化和產(chǎn)業(yè)化，全面提升科技型中小企業(yè)的創(chuàng)新能力。引導(dǎo)基金的資金來(lái)源包括市級(jí)財(cái)政專項(xiàng)資金，引導(dǎo)基金資金存放銀行或者購(gòu)買國(guó)債所得收益，引導(dǎo)基金投資退出返回的本金及收益，個(gè)人、企業(yè)或者社會(huì)機(jī)構(gòu)無(wú)償捐贈(zèng)的資金等。

定理4若假設(shè)條件均滿足, 則問題(P)至少存在一個(gè)時(shí)間優(yōu)化可行解．

證明 根據(jù)引理3, 對(duì)任意的u∈Uad, 系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)適度解xu∈B(0,R)使得(xu,u)∈Ad,證明過程分為兩步:

(2)

(3)

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(5)

ii) 根據(jù)第一步, 對(duì)任意的u∈U0, 問題(P)存在優(yōu)化時(shí)間tu, 令t*=infu∈U0tu,下面將證明存在u*∈U0以及x*∈SW(u*)使得x*(t*)∈W．若集合U0中含有有限個(gè)元素, 則結(jié)論顯然成立; 若否, 則存在非增的時(shí)間極小化序列{tun}n≥1使得

limn→∞tun=t*,

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(7)

(8)

本文通過構(gòu)造兩次時(shí)間極小化序列的方法彌補(bǔ)了控制系統(tǒng)適度解存在但不唯一這一不足之處, 進(jìn)一步減弱了對(duì)非線性函數(shù)的Lipschitz連續(xù)性假設(shè)條件．本文的結(jié)論改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[3-5,7-10]等相關(guān)結(jié)果．