基于Copula函數(shù)的撫河流域廖坊與洪門水庫豐枯遭遇分析

劉沁薇

（江西省水文局，江西 南昌330009）

0 引言

撫河位于江西省東部，為江西省第二大河，是鄱陽湖水系主要河流之一，域內(nèi)現(xiàn)有廖坊與洪門兩座大型水庫，其供水情況支撐著撫河流域城鄉(xiāng)生活、生產(chǎn)及生態(tài)用水安全。近年來，兩大水庫已在實際工作中逐步實施聯(lián)合調(diào)度，但目前依然缺乏系統(tǒng)的技術(shù)支撐，而全面掌握其入庫流量豐枯遭遇特性，將有利于水利管理部門更好開展水庫調(diào)度工作。作為在目前研究變量相關(guān)性領(lǐng)域運用較為靈活的方法，Copula函數(shù)在多種水文事件分析中愈加受到重視[1，2]，在徑流豐枯遭遇分析領(lǐng)域也有較多應(yīng)用，劉祖發(fā)等[3]利用Copula函數(shù)構(gòu)建了東江流域3大水庫的聯(lián)合分布，獲得了各水庫在特定概率下入庫流量的可能組合，石衛(wèi)等[4]構(gòu)建了Copula聯(lián)合分布模型并分析了三峽工程與天然徑流量豐枯遭遇特性與變化規(guī)律，丁志宏等[5]構(gòu)造了南水北調(diào)西線一期工程調(diào)水區(qū)徑流與黃河上游來水之間的聯(lián)合分布并分析其豐枯遭遇頻率，可為工程實施提供參考依據(jù)。鑒此，本研究基于廖坊與洪門水庫入庫流量資料，使用Copula函數(shù)構(gòu)建二維聯(lián)合分布并分析其豐枯遭遇特性，以期為撫河流域水庫群聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度提供一定的決策依據(jù)與支撐。

1 研究區(qū)域概況及資料

1.1 研究區(qū)域概況

廖坊水庫是一座以防洪、灌溉為主，兼顧發(fā)電、供水、航運等綜合利用的大（二）型水庫，總庫容4.32億m3，位于撫河干流中游，距離撫州市45km左右，地處洪門水庫與南城水文站所處支流匯合處下游，控制流域面積7 060km2。洪門水庫是一座以發(fā)電為主，兼顧防洪、灌溉等的大（一）型水庫，總庫容12.14億m3，位于撫河主要支流黎灘河下游，經(jīng)黎川縣至南城縣匯入撫河干流，距南城縣洪門鎮(zhèn)上游2km處，控制流域面積為2 376km2。

1.2 資料

本研究選取廖坊水庫2006～2018年、洪門水庫1952～2018年入庫流量資料，在經(jīng)還原分析后[6]，因廖坊水庫僅有2006年下閘蓄水后的資料，故將廖坊水庫入庫流量序列與廖家灣水文站2006～2018年流量序列建立相關(guān)關(guān)系并進行延長，廖家灣水文站位于廖坊水庫下游40km處，為撫河中游控制站，控制流域面積為8 723km2，圖1位廖家灣水文站與廖坊水庫多年月平均流量相關(guān)圖，經(jīng)檢驗相關(guān)性較高，經(jīng)資料延長后以此得到廖坊與洪門水庫在1952～2018年間三大時間尺度（全年、汛期、非汛期）的入庫流量序列。

圖1 廖坊水庫與廖家灣水文站多年流量相關(guān)關(guān)系圖

2 研究方法

2.1 Copula函數(shù)

1959年，Sklar提出Copula理論[7]，其基本形式為：設(shè)X，Y為連續(xù)的隨機變量，F(xiàn)x和Fy分別為其邊緣分布函數(shù)，X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）。若Fx和Fy連續(xù)，那么存在唯一的Copula函數(shù)Cθ（u，v）滿足：

式中，θ為待定參數(shù)，Copula函數(shù)可分為二次型、橢圓型和Archimedean型3種類型。

2.2 確定邊緣分布函數(shù)

本研究選取皮爾遜Ⅲ型（P-III）分布、廣義極值（GEV）分布和對數(shù)（LOGN）正態(tài)分布對變量進行擬合，KS檢驗[8]評價分布的可行性，均方根誤差（RMSE）法[9]檢查擬合程度，并根據(jù)AIC信息準(zhǔn)則[10]確定出最優(yōu)的邊緣分布。

假設(shè)有樣本X，n為樣本大小，F(xiàn)（nx）i為其經(jīng)驗分布，則KS檢驗的計算公式：

若D大于臨界值Dc，則拒絕該假設(shè)。

RMSE計算公式：

AIC計算公式：

式中，m為分布函數(shù)參數(shù)個數(shù)，AIC越小，則擬合效果越好。

2.3 Copula函數(shù)參數(shù)估計與優(yōu)選

Copula函數(shù)通常采用適線法、非參數(shù)估計法和極大似然法[11]來進行參數(shù)估計，Clayton、Frank與Gumbel-Hougard為3種常用的Archimedean型Copula函數(shù)[12]。AIC信息準(zhǔn)則法與離差平方和準(zhǔn)則法（OLS）常用于對Copula函數(shù)進行擬合優(yōu)選，AIC計算公式見式（5）。

OLS的計算公式：

式中，n為樣本個數(shù)；m為模型維數(shù)；k為參數(shù)個數(shù)；Fem（pxi1，xi2，……，xim）、C（ui1，ui2，……，uim）為樣本的經(jīng)驗頻率和理論頻率。

2.4 豐枯遭遇

本研究按豐、平、枯三級對入庫平均流量對應(yīng)頻率進行劃分，X≤25%為豐水年，25%＜X＜75%為平水年，X≥75%為枯水年，可將兩大水庫豐枯遭遇分為以下9種情況：①豐-豐型；②豐-平型；③豐-枯型；④平-豐型；⑤平-平型；⑥平-枯型；⑦枯-豐型；⑧枯-平型；⑨枯-枯型。

3 結(jié)果及分析

3.1 確定邊緣分布函數(shù)

在三大時間尺度上，分別對廖坊與洪門水庫進行3種邊緣分布（P-III分布、GEV分布和LOGN正態(tài)分布）的擬合檢驗，見表1。根據(jù)擬合結(jié)果，三種邊緣分布的DK-S值均小于臨界值Dc（0.1644），即3種分布在三大時間尺度上均通過了KS檢驗。對于廖坊水庫，在三大時間尺度上P-III分布的DK-S、RMSE與AIC值均最小，故P-III分布的擬合效果最優(yōu)；對于洪門水庫，在汛期和非汛期兩大尺度上P-III分布的擬合效果最優(yōu)，在全年尺度上P-III分布的RMSE與AIC值最小，GEV分布的DK-S值最小，而鑒于P-III分布與GEV分布的DK-S值相差很小，且P-III分布在我國水文頻率分析計算中運用較為廣泛，經(jīng)分析考慮選取P-III分布作為最優(yōu)邊緣函數(shù)。綜上，兩大水庫在三大時間尺度上均選取P-III分布作為最優(yōu)邊緣分布函數(shù)進行豐枯遭遇分析。

表1 廖坊與洪門水庫入庫流量邊緣分布擬合檢驗結(jié)果

3.2 確定最優(yōu)Copula函數(shù)

本研究選取Gumbel、Clayton與Frank三種 Copula函數(shù)進行擬合對比分析，在對計算分布與經(jīng)驗點據(jù)比較后，發(fā)現(xiàn)3種函數(shù)的擬合度均較高，為選擇適應(yīng)度最優(yōu)的Copula函數(shù)，則需進一步采用AIC信息準(zhǔn)則法與離差平方和準(zhǔn)則法（OLS）進行擬合優(yōu)選，結(jié)果見表2。由計算結(jié)果可知，在三大時間尺度上Clayton Copula函數(shù)的AIC和OLS值均最小，故選擇該函數(shù)作為本次研究的連接函數(shù)。

3.3 兩大水庫豐枯遭遇分析

根據(jù)已選取的Clayton Copula函數(shù)對廖坊與洪門水庫開展豐枯遭遇分析，根據(jù)設(shè)定的豐枯劃分標(biāo)準(zhǔn)，可將9種豐枯遭遇情況分為豐枯同步（同豐、同平、同枯）與豐枯異步（豐-平、豐-枯、平-豐、平-枯、枯-豐、枯-平）兩種情況，由于 Copula函數(shù)具有對稱性，豐-枯與枯-豐、豐-平與平-豐、平-枯與枯-平的概率相等。從有利于水庫調(diào)度的角度分析，枯-枯遭遇是在調(diào)度分析中應(yīng)避免的情形，即為對調(diào)度不利的情形。具體計算結(jié)果見表3。

表2 Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果

分析表3可以得到如下結(jié)論：（1）在三大時間尺度（全年、汛期、非汛期）上，因為廖坊與洪門水庫地理位置較為接近，豐枯特性基本類似，豐枯同步頻率（80%～85%）遠大于豐枯異步頻率（15%～20%），其中在非汛期尺度上豐枯同步頻率最高（84.74%），說明兩大水庫來水同步性較高，在同豐、同平豐枯遭遇組合時開展對撫河流域的聯(lián)合梯級調(diào)度是有利的；（2）在豐枯同步情形中，同平的頻率（40%～42%）最高，大于同枯的頻率（22%～25%）與同豐的頻率（17%～19%），說明兩大水庫在所有豐枯遭遇組合中同為平水年的可能性最大；（3）在豐枯異步情形中，三大時間尺度上豐-枯與枯-豐組合的遭遇都接近于零，進一步說明兩大水庫來水同步性較高，幾乎不可能發(fā)生來水情況完全相反的情況；（4）在三大時間尺度兩大水庫同枯的頻率為22%～25%，而在非汛期尺度上同枯的頻率最高（24.68%），故在實際調(diào)度過程中，尤其是非汛期更應(yīng)兼顧兩大水庫豐枯同步性。

表3 廖坊水庫與洪門水庫入庫流量豐枯遭遇表 %

圖2 兩大水庫入庫平均流量在三大時間尺度上豐枯遭遇聯(lián)合分布（左）與等值線圖（右）

圖2為三大時間尺度上兩大水庫豐枯遭遇聯(lián)合分布與等值線圖，可為撫河流域調(diào)水提供決策支持。

4 結(jié)論

（1）在全年、汛期、非汛期三大時間尺度上，撫河流域兩大重要水庫——廖坊與洪門水庫的豐枯遭遇特性基本類似，豐枯同步的頻率均在80%以上，豐枯組合的頻率接近于零，來水情況完全相反幾乎不可能發(fā)生。

（2）兩大水庫在非汛期尺度上同枯的頻率最高，故在實際調(diào)度過程中，尤其是枯水年份應(yīng)特別兼顧其豐枯同步性。

（3）本研究成果可為撫河流域水庫群聯(lián)合調(diào)度提供一定的理論依據(jù)，并可在江西省境內(nèi)跨流域調(diào)水中進行深一步的研究。