一類時(shí)滯SIRS微信信息傳播模型穩(wěn)定性和Hopf分岔

曹 春，門秀萍，張子振

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠233030）

根據(jù)中國互聯(lián)網(wǎng)中心第43次中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計(jì)，截至2018年12月，我國手機(jī)網(wǎng)民規(guī)模達(dá)8.17 億，其中手機(jī)即時(shí)通信用戶達(dá)7.80 億，占手機(jī)網(wǎng)民的95.5%[1]。微信及WeChat 月活躍賬戶總計(jì)達(dá)10.825億，微信成為了亞洲用戶量最多的即時(shí)通訊軟件。然而，隨著微信平臺(tái)用戶的不斷增多以及微信使用過程中產(chǎn)生的信息量的不斷增加，公共部門管控非法網(wǎng)絡(luò)信息和防護(hù)網(wǎng)絡(luò)信息安全變得更加困難[2-3]，這給社會(huì)和個(gè)人帶來了不可忽視的安全風(fēng)險(xiǎn)[4]。因此，研究微信信息傳播過程的特點(diǎn)對管控微信輿論、維護(hù)網(wǎng)絡(luò)安全具有重要意義。

為了研究微信信息傳播規(guī)律，一些研究者從傳染病病毒模型的角度構(gòu)建信息傳播模型以描述微信信息的傳播過程。文獻(xiàn)[5]以微信朋友圈為研究對象，構(gòu)建了一種SEIR信息傳播動(dòng)力學(xué)模型，以解釋朋友圈信息傳播規(guī)律。文獻(xiàn)[6]結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和傳染病動(dòng)力學(xué)，研究了一類SIR信息傳播模型，從用戶接受閾值和關(guān)系動(dòng)機(jī)方面分析微信信息傳播的過程。文獻(xiàn)[7]在SIR模型的基礎(chǔ)上考慮了微信朋友圈緊密度、免疫以及策略改變機(jī)制等因素，提出了微信朋友圈信息傳播演化規(guī)則，構(gòu)建了微信朋友圈信息傳播演化模型。文獻(xiàn)[8]基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)角度，對微信信息傳播過程構(gòu)建Agent模型，分析了微信信息傳播演進(jìn)的過程。上述文獻(xiàn)的傳播模型均沒有考慮在信息傳播過程中微信平臺(tái)用戶數(shù)量的變化情況，而用戶數(shù)量對于信息傳播過程有著重要影響。最近，文獻(xiàn)[9]研究了一類具有輸入人群的SIRS微信信息傳播模型：

模型（1）中，S表示微信平臺(tái)上接收到信息的信息敏感用戶，I表示接收信息并傳播的信息活躍用戶，R表示接收到信息但不傳播的信息免疫用戶，r表示信息的傳播率，μ表示用戶接收到信息但不再傳播的概率，A表示注冊到具有該信息的微信平臺(tái)的用戶數(shù)量，δ表示不傳播該信息的用戶回到具有該信息的微信平臺(tái)的概率，d表示用戶接收但不關(guān)注該信息的概率。

本文以文獻(xiàn)[9]提出的SIRS信息傳播模型為基礎(chǔ)，引入微信用戶的信息臨時(shí)免疫期時(shí)滯，研究了下列具有時(shí)滯的SIRS信息傳播模型：

其中τ為信息臨時(shí)免疫期時(shí)滯。

1 局部漸近穩(wěn)定性

計(jì)算模型（2）的平衡點(diǎn)，當(dāng)Ar＞μd時(shí)，模型（2）存在唯一的平衡點(diǎn)E(S*,I*,R*)，其中S*=μ r，R*=(Ar-μd)rd，I*=(δ+d)R*μ。對模型（2）進(jìn)行線性化處理，即S(t)、I(t)、R(t)做平移變換，令μ1(t)=S(t)-S*，μ2(t)=I(t)-I*，μ3(t)=R(t)-R*，仍然將μ1(t)，μ2(t)，μ3(t)記作S(t)，I(t)，R(t)。

通過計(jì)算，可以得到模型（2）在平衡點(diǎn)E(S*,I*,R*)處的線性化部分為

其中，a1=-(rI*+d)，a2=-rS*，a3=rI*，a4=rS*-μ，a5=μ，a6=-d，b1=δ，b2=-δ。進(jìn)而，計(jì)算模型（3）的特征方程，得到：

其 中 ，P0=a2a3a6-a1a4a6，P1=a1a4-a2a3+a1a6+a4a6，P2=-(a1+a4+a6)，Q0=a2a3b2-a1a4b2-a3a5b1，Q1=a1b2+a4b2，Q2=-b2。

當(dāng)時(shí)滯τ=0 時(shí)，方程（4）轉(zhuǎn)化為λ3+P02λ2+P01λ+P00=0,其中，P00=P0+Q0，P01=P1+Q1，P02=P2+Q2。如果勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)成立，即條件（H1）：Det1=P02＞0，Det2=P02×P01-P00＞0 ，Det3=P00×Det2＞0，成立，即矩陣的主子式均為正，那么，模型（2）的平衡點(diǎn)E(S*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)時(shí)滯τ＞0時(shí)，令λ=iω(ω＞0)為特征方程（4）的根，代入（4）式進(jìn)行化簡計(jì)算，可以得到下列等式

消除（5）式中的三角函數(shù)，則

為了得到本文主要結(jié)果，給出假設(shè)（H2）：方程（6）至少存在一個(gè)正根。

若假設(shè)（H2）成立時(shí)，方程（6）存在一個(gè)正根ω0使得方程（4）存在一對純虛根±iω0。對方程（5）進(jìn)行消除sin函數(shù)處理，可以計(jì)算得到時(shí)滯τ的臨界點(diǎn)表達(dá)式為

對方程（4）的左右兩端分別對τ進(jìn)行求導(dǎo)，得到

對上面的表達(dá)式進(jìn)行取實(shí)數(shù)計(jì)算，得到實(shí)數(shù)部分為

顯然，如果假設(shè)（H3）：f′(v*)≠0 成立，那么根據(jù)上述分析結(jié)果和文獻(xiàn)[10]中Hopf分岔理論，可以得到以下結(jié)論。

對于模型（2），如果提出的假設(shè)（H1）～（H3）均成立，那么當(dāng)時(shí)滯τ∈[0,τ0)時(shí)，模型（2）的平衡點(diǎn)E(S*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的；而當(dāng)時(shí)滯τ=τ0時(shí)，模型（2）在平衡點(diǎn)E(S*,I*,R*)處失去穩(wěn)定性并產(chǎn)生Hopf分岔。

2 Hopf分岔方向和分岔周期解

令τ=τ0+μ,μ∈?，那么模型（2）在μ=0 處產(chǎn)生Hopf 分岔。通過定義連續(xù)實(shí)值函數(shù)的空間為C=C([-1,0],?3)，Lμ:C→ ?3，F(xiàn):? ×C→ ?3，令μ1(t)=S(t)-S*，μ2(t)=I(t)-I*，μ3(t)=R(t)-R*，再對時(shí)間延遲進(jìn)行歸一化處理t→(t/τ)，可以將模型（2）轉(zhuǎn)換為下列等價(jià)模型：μ˙(t)=Lμ μt+F(μ,μt)，其中，

由黎茲表示定理可知，存在η(θ,μ)，θ∈[-1,0]滿足對于φ∈C，可以選擇η(θ,μ)=(τ0+μ)(Amaxδ(θ)+Bmaxδ(θ+1))，其中δ(θ)是狄拉克德爾塔函數(shù)。

對于φ∈C([-1,0],?3)，給出定義

則模型（2）可以轉(zhuǎn)換成下列形式˙(t)=A(μ)μt+R(μ)μt，對于φ∈C1([0,1],(?3)*)，則可得A(0)的伴隨算子A*

A和A*的雙線性內(nèi)積滿足

其中η(θ)=η(θ,0)。

設(shè)A(0)的特征值為+iω0τ0時(shí)，對應(yīng)的特征向量為ρ(θ)=(1,ρ2,ρ3)Teiω0τ0θ；A*(0)的特征值為-iω0τ0時(shí)，對應(yīng)的特征向量為計(jì)算可以得到

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的算法，可以得到Hopf 分岔方向和分岔周期解穩(wěn)定性系數(shù)：

計(jì)算可得Hopf分岔性質(zhì)系數(shù)

通過上述分析，可以得到下列結(jié)論：在模型（2）中，若μ2＞0(μ2＜ 0)，Hopf 分岔是超臨界的（亞臨界的）；若β2＜ 0(β2＞0)，分岔周期解是穩(wěn)定的（不穩(wěn)定的）；若T2＞0(T2＜ 0)，分岔周期是增大的（減小的）。

3 仿真分析

本文用Matlab軟件對建立的時(shí)滯微信信息傳播模型進(jìn)行數(shù)值模擬分析。對于模型（2）中的參數(shù)，取A=2.3，δ=0.4，r=0.9，d=0.15，μ=0.25，可以得到下列信息傳播模型：

將參數(shù)代入求得的平衡點(diǎn)表達(dá)式，得到模型（8）唯一的平衡點(diǎn)為E(0.277 8,33.122 2,15.055 6)，將參數(shù)代入ω0和時(shí)滯τ0的表達(dá)式，計(jì)算得到ω0=0.217 8，τ0=13.909 5。當(dāng)τ=8.232 7∈[0,τ0)時(shí)，仿真的結(jié)果如圖1 所示，模型（8）是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)τ=16.352＞τ0時(shí)，仿真的結(jié)果如圖2所示，這時(shí)模型（8）失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分岔。

圖1 當(dāng)時(shí)滯τ=8.272 3∈[0,τ0)時(shí)，模型（8）漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)時(shí)滯τ=16.352＞τ0時(shí)，模型（8）失去穩(wěn)定并產(chǎn)生Hopf分岔

4 結(jié) 論

本文在文獻(xiàn)[9]研究工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了微信平臺(tái)用戶的信息臨時(shí)免疫期時(shí)滯對信息傳播的影響，分析了具有時(shí)滯的SIRS微信信息傳播模型，了解了微信信息的動(dòng)態(tài)傳播過程。通過討論模型特征根的分布，得到了該時(shí)滯SIRS模型的局部漸近穩(wěn)定性和產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件。研究和仿真表明，微信信息傳播中，用戶的信息臨時(shí)免疫期時(shí)滯超過臨界值時(shí)會(huì)使模型失去穩(wěn)定性，使得模型中的三類用戶以周期震蕩的形式存在，不利于對微信信息傳播過程進(jìn)行控制。因此，為了有效控制微信信息的傳播過程，提高信息監(jiān)管的時(shí)效性，應(yīng)當(dāng)關(guān)注用戶的信息臨時(shí)免疫期時(shí)滯，以盡早采取措施應(yīng)對Hopf分岔的產(chǎn)生。