具有時滯狀態(tài)導數(shù)反饋的一階多智能體系統(tǒng)的收斂速度分析

晉守博

（宿州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽宿州234000）

多智能體系統(tǒng)是一種特殊的分布式系統(tǒng)，被廣泛應用于飛行器編隊控制、機器人編隊控制和集群控制等方面，對于復雜問題具有較強的處理能力。目前，一致性控制是多智能體系統(tǒng)研究的核心問題，許多學者都在關注如何提高多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的收斂速度，研究表明，影響收斂速度的主要因素包括通信拓撲結(jié)構(gòu)、通訊協(xié)議和協(xié)議權(quán)值等[1-5]。Olfati-Saber等證明了多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的收斂速度正比于拉普拉斯矩陣的第二最小特征值，指出了代數(shù)連通度是提高收斂速度的決定因素[6]。隨后，Olfati-Saber發(fā)現(xiàn)在小世界網(wǎng)絡中，通過幾個智能體經(jīng)過不多的步數(shù)就與相鄰智能體連接的方法，實現(xiàn)一致性的收斂速度會更快[7]。Xiao等證明了改變拓撲結(jié)構(gòu)的權(quán)重可以提高收斂速度，并給出了收斂速度最大時對應的最優(yōu)權(quán)重[8]。Kim等提出利用最佳頂點配置的方法增大拓撲結(jié)構(gòu)的代數(shù)連通性，從而加快收斂速度[9]。Jin 等證明了不改變權(quán)重，只改變信息傳遞方式同樣能夠提高收斂速度[10]。上述文獻主要是從拓撲結(jié)構(gòu)、通訊協(xié)議和協(xié)議權(quán)值方面研究如何提高實現(xiàn)一致收斂的速度，本文將給出一種具有加權(quán)項的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋一致性協(xié)議，研究多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致收斂的速度，在一定程度上完善了文獻[11]的方法。本文主要研究下面一階多智能體系系統(tǒng)

這里xi(t)∈?表示智能體i的狀態(tài)，ui(t)代表智能體i的輸入變量。

對于具有時滯的多智能體系統(tǒng)，Olfati-Saber等提出了線性一致性協(xié)議[6]

并證明了在無向連通網(wǎng)絡下，系統(tǒng)實現(xiàn)漸近平均一致的充要條件是通訊時滯τ＜π 2λN，這里λN對應拉普拉斯矩陣的最大特征值，文獻[11]用xi(t-τ+β)替換協(xié)議（2）中的xi(t-τ)，并通過近似計算提出了一類具有時滯狀態(tài)導數(shù)反饋的線性一致性協(xié)議，證明了對于無向連通網(wǎng)絡拓撲，在不改變拓撲結(jié)構(gòu)的條件下，通過調(diào)節(jié)反饋強度，能夠同時提高系統(tǒng)的時滯魯棒性和實現(xiàn)一致性的收斂速度，但是他們采用的方法對于較大的反饋強度存在誤差偏大的問題。為了降低誤差，本文令xi(t-τ+β)≈v1xi(t-τ)+v2βx˙i(t-τ)，提出如下具有加權(quán)項的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋的一致性協(xié)議

其中反饋強度β滿足0 ＜β＜τ，權(quán)重常數(shù)v1＞v2＞0。

定 義 1[11]將通訊時滯τ∈(0,τmax)分割為(0,τ1],(τ1,τ2),[τ3,τ4],…,[τk-1,τk],(τk,τmax)，當τ∈(τ1,τ2)?(τ3,τ4)?…?(τk,τmax)時，多智能體系統(tǒng)（1）稱為超臨界時滯多智能體系統(tǒng)；當τ∈(0,τ1]?[τ2,τ3]?…?[τk-1,τk]時，多智能體系統(tǒng)（1）成為亞臨界時滯多智能體系統(tǒng)。

多智能體系統(tǒng)（1）在一致性協(xié)議（3）下的閉環(huán)形式為

下面討論具有加權(quán)項的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋的一致性協(xié)議對實現(xiàn)一致性收斂速度的影響。

1 主要結(jié)論

為了分析具有加權(quán)項的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋對多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的收斂速度的影響，需要討論反饋強度對閉環(huán)形式（4）極點的影響，記x(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]，將閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為如下緊湊形

這里L是相應的拉普拉斯矩陣。

定理1當多智能體系統(tǒng)（1）為超臨界時滯多智能體系統(tǒng)時，存在正常數(shù)β*，使得當時滯狀態(tài)導數(shù)反饋強度β∈(0,min{τ,β*})時，多智能體系統(tǒng)（1）在一致協(xié)議（3）下能夠提高實現(xiàn)一致收斂的速度。

證明對（5）式兩邊進行拉普拉斯變換，可以得到特征方程det[sI+e-sτ(v1+v2βs)L]=0，利用網(wǎng)絡拓撲的連通性，經(jīng)過計算可以得到

從（6）式可以看出，s=0為其單根，當s≠0時，分析方程s+λie-τs(v1+v2βs)=0的根。

令s=pi+jqi，其中pi,qi∈?和j2=-1，經(jīng)過計算可得

于是，由（7）式進一步計算可得

對（7）式兩邊關于β分別求導可得

和

利用克萊姆法則得

由（7）式，將λi,β,v1,v2,τ看作常量，理論上可以求出pi=pi(β;λi,v1,v2,τ),qi=qi(β;λi,v1,v2,τ)，將此式代入到（11）式，可以求出但是，在一般情況下，很難求出的具體表達式，下面將考慮特殊情況下的符號。

實際上，由文獻[11]可知，多智能體系統(tǒng)（1）在協(xié)議（3）下保證實現(xiàn)一致收斂的最大通訊時滯為τmax=且當τ=τimax時，pi=0，此時（7）、（8）式變?yōu)?/p>

從（9）和（10）式入手，并利用克萊姆法則和（12）式可得：

上式進一步化簡后得

所以Ψ(α)=0有且僅有一個解，記為，而且當時，Ψ(αi)＞0；當αi=α*i時，Ψ(αi)=0；當αi＞時 ，Ψ(αi)＜ 0。 由可知存在，使得且 當時 ，關于變量τ的連續(xù)性可知，存在使得對任意則對任意β∈(0,β*)和τ∈(τmax-,τmax)，有故當τ接近最大通訊時滯τ時，通過給定imax恰當強度的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋可以提高實現(xiàn)一致收斂的速度。

（2）通信時滯τ=0的情況

令τ=0，則（7）式變?yōu)?/p>

故當通訊時滯τ充分小時，對于帶有任意強度的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋，減少了一致收斂的速度。

（3）超臨界和亞臨界時滯多智能體系統(tǒng)

設正函數(shù)V=V(p2,p3,…,pN)為多智能體系統(tǒng)的收斂速度，理論上將pi=pi(β;λi,τ,v1,v2)代入函數(shù)V可以得到收斂速度顯示表達式V=V(p2(β;λi,τ,v1,v2),p3(β;λi,τ,v1,v2),…,pN(β;λi,τ,v1,v2) )，但是計算方式過于復雜，一般情況下無法使用該方法估計收斂速度。然而利用多智能體系統(tǒng)的收斂速度和閉環(huán)極點關系仍然可得，對于任意i∈{2 ,3,…,N}有由情況（1）和（2）的結(jié)論，并使用復合函數(shù)求導法則可知，當τ∈(0,τ0min)和β∈和β∈(0,β*)時。

綜上所述，當多智能體系統(tǒng)（1）為超臨界時滯多智能體系統(tǒng)時，引入時滯狀態(tài)導數(shù)反饋可以提高實現(xiàn)一致收斂的速度；當多智能體系統(tǒng)（1）為亞臨界時滯多智能體系統(tǒng)時，引入時滯狀態(tài)導數(shù)反饋不能提高實現(xiàn)一致收斂的速度。

2 實例分析

考慮具有如下通信拓撲結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，如圖1所示，該系統(tǒng)的拉普拉斯陣為

在具有加權(quán)項的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋一致性協(xié)議（3）下，當通訊時滯τ=0.58 時，對于不同反饋強度β=0 和β=0.13，多智能體系統(tǒng)（1）仿真結(jié)果如圖2 所示。從圖2 可以看出，對于具有加權(quán)的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋的多智能體系統(tǒng)，假定通訊時滯τ=0.58，當反饋強度β=0時，圖2(a)顯示多智能體在t＞10后才能消除震蕩；然而，當反饋強度β=0.13時，圖2(b)顯示多智能體在t＞5后就能消除震蕩；當t=5時，利用所有智能體的狀態(tài)與平均一致狀態(tài)之間的誤差函數(shù)可知，此時不同反饋強度下的誤差為E(0.13)=0.040 1 ＜E(0)=0.256 2。因此引入適當反饋強度β=0.13可以有效提高多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的收斂速度。

圖1 多智能體系統(tǒng)的無向加權(quán)連通圖

圖2 多智能體系統(tǒng)應用協(xié)議（3）在τ=0.58 及不同反饋強度β=0 和β=0.13下的狀態(tài)

3 總 結(jié)

研究發(fā)現(xiàn)，在無向通訊拓撲下，當一階時滯多智能體系統(tǒng)具有加權(quán)項的時滯狀態(tài)導數(shù)反饋協(xié)議時，通過對該系統(tǒng)閉環(huán)形式極點的討論可以得出，超臨界時滯多智能體系統(tǒng)必定存在恰當?shù)姆答亸姸?，使得系統(tǒng)（1）在一致協(xié)議（3）下能夠有效提高實現(xiàn)一致收斂的速度。