例談表格法在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用

鄭林莊

【摘要】《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：“初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。”新的課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個方面。應(yīng)用題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的重要抓手，是初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，也是近年各地中考常見的考試內(nèi)容。學(xué)生從算術(shù)到方程的思維方式的轉(zhuǎn)變，用符號表示未知量，找較多個已知量和未知量之間的關(guān)系，對于大多數(shù)初中的學(xué)生都比較困難，運(yùn)用表格法能幫助學(xué)生理清各個量之間的關(guān)系，找到等量關(guān)系，快速列出方程，從而突破列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)，使絕大部分學(xué)生輕易地掌握解題思路和方法，大大地提高了教學(xué)的有效性，樹立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

【關(guān)鍵詞】表格法;方程;應(yīng)用題

一、認(rèn)識表格法

表格法就是在實(shí)際問題中，根據(jù)題意將已知條件都找出，再進(jìn)行歸類，建立適當(dāng)?shù)谋砀?，把各個量填入表格，再根據(jù)題意反映的實(shí)際問題模型，設(shè)好未知量，再找出從已知量到未知量之間的聯(lián)系，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，從而列出方程，完成應(yīng)用題的解答方法。教學(xué)不僅是知識的傳遞，更是知識的處理與遷移，方法模型的建立過程，表格法主要體現(xiàn)兩個作用：一是表格法將引導(dǎo)學(xué)生對已知量，未知量進(jìn)行分析，歸類，再借助表格理清已知量和未知量之間的關(guān)系，對學(xué)生研究問題的思維有很好的啟迪作用;二是利用表格法，可以從一般到特殊進(jìn)行分析，便于學(xué)生觀察、探索，抽象出各變量的變化規(guī)律，使問題模型化，對于中等學(xué)生，解決應(yīng)用題能力比較薄弱、數(shù)學(xué)抽象思維能力較差的同學(xué)，能起到很好的作用。

二、表格法在數(shù)學(xué)方程應(yīng)用題中應(yīng)用廣泛

1.列表格法為初學(xué)方程類應(yīng)用題學(xué)生搭建了方法橋梁。小學(xué)階段學(xué)生高年級前學(xué)習(xí)的都是算術(shù)方法解決實(shí)際問題，經(jīng)過長期的訓(xùn)練，大部分學(xué)生對算術(shù)方法解決應(yīng)用題比較熟練，而且相當(dāng)部分學(xué)生形成思維、方法定勢，所以進(jìn)入小學(xué)高年級、初中階段后，要求使用方程模型解決應(yīng)用題，這部分同學(xué)會方程應(yīng)用題普遍感到困難，在學(xué)習(xí)當(dāng)中找不到方法，容易導(dǎo)致在數(shù)學(xué)應(yīng)用題學(xué)習(xí)中沒有信心，對方程類應(yīng)用題感到害怕，甚至害怕數(shù)學(xué)。表格法恰好為學(xué)生學(xué)習(xí)方程應(yīng)用題指明了方法和方向，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生提供了一種可模仿的模型。

例1：某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4m圓柱形儲水箱。現(xiàn)該樓進(jìn)行維修改造，為了減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4m減少為3.2m。那么，在容積不變的前提下，水箱的高度將由原來的4m變?yōu)槎嗌倜祝?/p>

分析：由題意可知，本題是等體積問題，關(guān)系到兩個對象水箱的底面積、高和體積，這些已知量和未知量之間的關(guān)系，在教學(xué)過程當(dāng)中，如果沒有歸類，6個量的關(guān)系比較混亂，中等層次的學(xué)生較難找出各量之間的具體關(guān)系。采用表格法，對這個6個量，分為新、舊水箱兩種情況，設(shè)未知量新水箱的高度為米，可以列出如下的表格，從而容易觀察，找到等題關(guān)系。

根據(jù)題意容易列出方程：2²π·4=1.6²πx

解得：x=6.25

答：水箱的高變成了6.25米。

點(diǎn)評：本例來選自于《北京師范大學(xué)出版社數(shù)學(xué)七年級上冊》第141頁《水箱變高了》，通過表格可以把兩個水箱的多個量，分類整理，再借助表格，進(jìn)行直觀呈現(xiàn)，從而表示出新舊水箱的體積，再根據(jù)體積相等，列出方程，突破了題目的難點(diǎn)，這對相當(dāng)部分的中等層次學(xué)生搭建了很好的分析各已知未知量的橋梁，對剛剛接觸列方程解應(yīng)用題的學(xué)生，思維能力還是特別強(qiáng)的七年級學(xué)生幫助很大。

2.列表格法為分式類方程應(yīng)用題提供較固定的解決方法。分式應(yīng)用題是八年級分式這一板塊的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了分式計算、分式方程之后，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用解決實(shí)際問題的能力，此類應(yīng)用題一般涉及2種情況，每一種情況是由三個關(guān)聯(lián)量進(jìn)行描述。

例2：為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號召同學(xué)們自愿捐款，已知七年級同學(xué)捐款總額為4800元，八年級同學(xué)捐款總額為5000元，八年級捐款人數(shù)比七年級多20人，而且兩個年級人均捐款額恰好相等，如果設(shè)七年級捐款人數(shù)為x人，那么x滿足怎樣的方程？

分析：由題意可得，本題反映的是七年級和八年級兩類對象，也可以看作是兩種捐款情況，捐款總額、捐款人數(shù)、人均捐款之間的被除式，除式和商之間的縱向關(guān)系，通過表格法能快速呈現(xiàn)各量之間橫向關(guān)系。七年級捐款人數(shù)為x人，依題意，八年級捐款人數(shù)為（x+20）人，其他各通過表格可以簡單清晰呈現(xiàn)出來，列表格如下：

根據(jù)表格的七八年級中的各量，容易通過人均捐款額相等，可以快速找到等量關(guān)系，列出方程4800/x=5000/（x+20），從而問題得以簡單解決。

點(diǎn)評：本例選自《北京師范大學(xué)出版社數(shù)學(xué)八年級下冊》第125頁， 書本上選用的大部分分式類型的應(yīng)用題，未知數(shù)都是分母，大多數(shù)應(yīng)用題都可以套用此類表格模型，對學(xué)生熟練掌握分式應(yīng)用題幫助非常大。

此類問題也是歷年中考各地命題熱點(diǎn)，剛剛結(jié)束的2020年中考中多地考了此內(nèi)容。如，（2020·云南）某地響應(yīng)“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型”發(fā)展理念，開展“美化綠色城市”活動，綠化升級改造了總面積為360萬平方米的區(qū)域.實(shí)際施工中，由于采用了新技術(shù)，實(shí)際平均每年綠化升級改造的面積是原計劃平均每年綠化升級改造的面積的2倍，所以比原計劃提前4年完成了上述綠化升級改造任務(wù).實(shí)際平均每年綠化升級改造的面積是多少萬平方米？

3.列表格法為方程應(yīng)用題架設(shè)了一條從特殊到一般的橋梁。一元二次方程類應(yīng)用題相比一次方程，難度提高較大，涉及2個變量，跟二次函數(shù)的內(nèi)容緊密相關(guān)，平時教學(xué)中采用常見的方法，學(xué)生課堂達(dá)成度不高，利用列表格法，搭建了從特殊到一般的橋梁，學(xué)生掌握此類問題的比例大幅增加。