代數(shù)式求值面面觀

徐恒

代數(shù)式求值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年中考常見的題型。我們?nèi)绻鶕?jù)其形式多樣、思路多變的特點(diǎn)，能靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ê图记?，便很容易求?反之，不但計(jì)算量大，而且容易出錯(cuò)。下面老師介紹幾種常用的方法，供同學(xué)們參考。

一、整體代入法

整體代入法是當(dāng)待求的代數(shù)式中字母的值不能或不容易求出時(shí)，可把已知條件作為一個(gè)整體，代入到待求代數(shù)式中求值的一種方法。我們通過整體代入，可以實(shí)現(xiàn)快速約分、降次，從而求代數(shù)式的值。

例1已知a+b=12，求代數(shù)式2a+2b-3的值。

二、變形代入法

當(dāng)已知條件整體不能代入或代入不能夠求出代數(shù)式的值時(shí)，可以將要求解的代數(shù)式變形，使得條件能夠

整體代入，從而求出代數(shù)式的值。

例2若實(shí)數(shù)x滿足x2-2x-1=0，

求代數(shù)式2x3-7x2+4x-2017的值。

解：由x2-2x-1=0，得x2-2x=1。

∴2x3-7x2+4x-2017=2x3-4x2-3x2+4x-2017=2x（x2-2x）-3x2+4x-2017=2x-3x2+4x-2017=-3x2+6x-2017=-3（x2-2x）-2017

=-3-2017=-2020。

三、化簡代入法

當(dāng)代數(shù)式比較復(fù)雜，條件不能直接代入求出代數(shù)式的值時(shí)，可以將要求解的代數(shù)式化簡，使得條件能夠直接代入，從而求出代數(shù)式的值。

四、三角函數(shù)求值代入法

先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得x的值，代入代數(shù)式計(jì)算即可。

五、利用等式的基本性質(zhì)

不解方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，求出代數(shù)式整體的值。

六、幾何對稱法

利用二次函數(shù)的對稱性，得到相等關(guān)系，從而求出代數(shù)式的值。

例6已知當(dāng)x=2m+n+2和x=m+2n時(shí)，多項(xiàng)式x2+4x+6的值相等，且m-n+2=?0，則當(dāng)x=3（m+n+1）時(shí)，求多項(xiàng)式x2+4x+6的值。

解：∵當(dāng)x=2m+n+2和x=m+2n時(shí)，多項(xiàng)式x2+4x+6的值相等，

∴二次函數(shù)y=x2+4x+6的對稱軸

又∵二次函數(shù)y=x2+4x+6的對稱軸為直線x=-2，

七、消元法

把條件等式中某一個(gè)未知數(shù)（元）視為常數(shù)，表示另外一個(gè)未知數(shù)（主元），代入代數(shù)式使得未知元減少，從而求得代數(shù)式的值。

例7已知實(shí)數(shù)m、n滿足m-n2=1，求代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值。

解：由m-n2=1，得

n2=m-1≥0，

∴m≥1，

∴m2+2n2+4m-1=m2+2（m-1）+4m

-1=m2+6m-3=（m+3）2-12≥4，

即代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值為4。

初中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一就是研究“式”的構(gòu)造、變形和應(yīng)用，上述七道例題特色鮮明，是初中階段常見的求代數(shù)式值的題型，彰顯著數(shù)學(xué)的思維、方法和技巧。學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題，解數(shù)學(xué)題是一門藝術(shù)，即使面對所謂的小題，只要我們用心去思考、總結(jié)，就會(huì)有所發(fā)現(xiàn)、有所提高，甚至有所創(chuàng)造。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）