巧設輔助元 妙解應用題

王梅

列方程解應用題是初中數(shù)學學習的重點，也是難點。怎樣列方程解應用題？除了找出題中的相等關(guān)系外，關(guān)鍵還在于如何設元（未知數(shù)）。設什么為元，需根據(jù)具體問題的條件來確定。

對未知元的選擇，有時可將所求的量設為未知元，稱為直接設元;有時需要將要求的量以外的其他量設為未知元，稱為間接設元。有些應用題中隱含一些未知的量，這些與求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，則難求其解，這時需把這些未知的量設元，以便建立等量關(guān)系，稱為設輔助元。恰當?shù)卦O輔助元，設而不求，能起到化難為易、化繁為簡的作用，從而提高解題效率。

例1小王到集貿(mào)市場買香蕉，買每千克3元的香蕉用去所帶錢數(shù)的一半，而其余的錢都買了每千克2元的香蕉，求小王所買的香蕉的平均價格。

【分析】香蕉的平均價格=總價格÷總數(shù)量，如果能求出總價格和總數(shù)量之間的比值，就能得到香蕉的平均價格。

解：設小王買了每千克3元的香蕉x千克，每千克2元的香蕉y千克，所用的錢數(shù)都是所帶錢數(shù)的一半。

3所以3x=2y，即y=2x。

因此，小王共買了x+y千克香蕉，花去了3x+2y=6x（元）。

所以所買的香蕉的平均價格是每千克3x+2y=6x=2.4（元）。答略。

x+y2.5x

【點評】根據(jù)已知條件設輔助元，建立兩個方程，巧妙地將兩個未知數(shù)轉(zhuǎn)化為一個未知數(shù)，并利用關(guān)系式求出比值，從而得到平均價格。

例2某班春游，上午8時從學校出發(fā)，先沿平路到山腳下，再爬到山頂，在山頂停留1.5h，沿原路返回學校時已是下午3時30分。已知平路每小時行4km，上山速3度是平路的4，下山速度是上山的2倍，求所行全程。

【分析】依據(jù)題意可知全程行走所用時間為15.5-8-1.5=6h。設平路為xkm，坡路為ykm，根據(jù)平路所用的時間，加上山所用時間，再加下山所用時間，再加平路所用的時間為總時間，得到方程，從而求解。

解：設平路為xkm，坡路為ykm。

依題意，得4x+3y+6y+4x=6。

化簡得x+y=12，

所以2x+2y=24。

所以全程為24km。答略。

【點評】本題并沒有求出平路與坡路的路程，而是設出輔助元，再巧妙地通過關(guān)系式，求得它們的關(guān)系。

例3有人問一位老師：“你教的班有多少學生？”老師說：“一半學生在學數(shù)學，四分之一的學生在學音樂，七分之一的學生在念外語，還剩不足6名學生正在操場踢足球?！闭垎栠@個班共有學生多少人？

【分析】題目中要求學生數(shù)，這里的學生數(shù)是整數(shù)，是2、4、7的倍數(shù);操場上的學生數(shù)不足6人，說明操場上的學生數(shù)大于或等于1且小于6。

解：設這個班共有學生x人，在操場踢足球的學生有a人。

依條件可知x、a都是自然數(shù)，且1≤a<6。

因為a、x均為自然數(shù)，3與28互質(zhì)，所以a是3的整數(shù)倍。

而a又只能取1、2、3、4、5這五個數(shù)，所以a=3，因此x=28。

答：這個班共有28名學生。

【點評】本題設了一個輔助元a用來表示操場上的學生數(shù)。根據(jù)人數(shù)為整數(shù)且操場上的學生數(shù)不足6人，可以推斷出方程的整數(shù)解。

例4甲、乙兩個公共汽車站相向發(fā)車。假設一人在街上勻速行走，他發(fā)現(xiàn)每隔4分鐘就迎面開來一輛公交車，每隔12分鐘從背后開來一輛公交車。如果車站發(fā)車的間隔時間相同，各車的速度也相同，求兩車站發(fā)車的間隔時間。

【分析】可根據(jù)行程問題中“路程=速度×時間”這個等量關(guān)系，設出相關(guān)輔助元，列出方程。

解：設車站前后兩車發(fā)車的間隔時間為x分鐘，公交車的速度為a米/分，人步行的速度為b米/分，前后相鄰兩車相距m

【點評】此題涉及速度、路程等數(shù)量，這些數(shù)量在題目中沒有具體告知，但等量關(guān)系又需要它們，所以可設其為輔助元，使數(shù)量關(guān)系易于表達，給解題帶來方便。

通過對上述幾個問題的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，有些應用題，看起來似乎條件不充分，但可巧設“輔助元”，借助“輔助元”溝通量與量之間的關(guān)系，列出方程，在解方程的過程中，消去“輔助元”即可解決問題。

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）