二階擬線性中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性

李文娟, 李書海, 湯 獲

(1- 赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，赤峰 024000; 2- 赤峰學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，赤峰 024000)

1 引言

本文考慮二階擬線性中立型微分方程

其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)), r ∈C1([t0,∞),R), p 和q ∈C([t0,∞),R), α 和β 是兩個(gè)常數(shù).本文總假設(shè)下列條件成立：

(H1): α>0, β >0;

(H2): 0 ≤p(t)≤1, q(t)≥0;

(H3):

(H5):

設(shè)Tx=min{τ(T),σ(T)}, T ≥t0.若x ∈C1([Tx,∞),R)適合

r(t)ψ(x(t))|z′(t)|α?1z′(t)∈C1([Tx,∞),R),

且在[Tx,∞)上滿足方程(1)，則稱x 為方程(1)的一個(gè)解.本文僅考慮方程(1)的非平凡解，即對一切t ≥Tx，方程(1)在[Tx,∞)上的解x 滿足sup{|x(t)| : t ≥T} > 0 情形.如果方程(1)的解有任意大的零點(diǎn)，則稱其解為振動(dòng)的，否則，稱它為非振動(dòng)的.若方程(1)的一切解均為振動(dòng)的，則稱方程(1)為振動(dòng)的.

近年來，二階擬線性中立型微分方程在自然科學(xué)和工程技術(shù)中的應(yīng)用日益廣泛，許多學(xué)者對其振動(dòng)性的研究有著濃厚的興趣.2010 年，文獻(xiàn)[1]考慮了擬線性中立型微分方程

其中

2011 年，文獻(xiàn)[2]考慮了Emden-Fowler 中立型方程

其中

2012 年，文獻(xiàn)[3]考慮了擬線性中立型方程

其中

z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)), α ≥β >0.

2015 年，文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步研究了方程(4)，分別給出了當(dāng)α ≥β >0 和β ≥α>0 時(shí)，方程(4)新的振動(dòng)準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]的結(jié)果.

最近，Agarwal 等人在文獻(xiàn)[5]中考慮了半線性中立型微分方程

討論了非正則條件，即

下方程(5)新的振動(dòng)準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.我們注意到，雖然Emden-Fowler 中立型方程(3)不含在半線性方程(5)中，但它在粒子物理學(xué)中有非常重要應(yīng)用，且上述方程(2)–(5)均為本文所考慮方程(1)的某些特例.在上述工作的基礎(chǔ)上，本文通過導(dǎo)出新的Riccati 不等式，利用積分平均方法給出方程(1)新的振動(dòng)準(zhǔn)則，所得結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)中已有結(jié)果.

下面，我們分別討論在非正則條件(6)和正則條件

下方程(1)的解的振動(dòng)性.

2 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)條件(H1)–(H5)和(7)成立，且存在函數(shù)ρ ∈C1([t0,∞),R+)和0 < m ≤1，使得

成立，其中

則方程(1)振動(dòng).

證明 設(shè)x 為方程(1)的一個(gè)非振動(dòng)解.不失一般性，不妨設(shè)x 為最終正解，則存在t1≥t0，使得當(dāng)t ≥t1時(shí)，有x(t) > 0, x(τ(t)) > 0, x(σ(t)) > 0.如果x 為最終負(fù)解，可用同樣的方法來討論.由方程(1)和假設(shè)條件可得到

因此，r(t)ψ(x(t))|z′(t)|α?1z′(t)是非增函數(shù)且z′(t)最終保號，于是z′(t)僅有兩種可能.可斷言z′(t)>0，否則假設(shè)z′(t)<0, t ≥t2≥t1.

利用函數(shù)r(t)ψ(x(t))|z′(t)|α?1z′(t)是非增函數(shù)可知，存在正常數(shù)h，使得

即

對上式從t2到t 積分，得

另一方面，由于r(t)ψ(x(t))|z′(t)|α?1z′(t)是非增函數(shù)且z′(t)>0，故有

r(t)ψ(x(t))(z′(t))α≤r(σ(t))ψ(x(σ(t)))(z′(σ(t)))α, t ≥t1,

即

又由τ(t)≤t 和z′(t)>0，可得

再由條件(H4)、方程(1)和(13)式，得

其中Q(t)=q(t)[1 ?p(σ(t))]β.定義函數(shù)

顯然W(t)>0.利用(13)–(15)式，可得

接下來，我們分兩種情況討論(16)式：

1) 當(dāng)α ≤β 時(shí)，由(12)式和(16)式可得

令

又

故有

2) 當(dāng)α>β 時(shí)，由(14)式得

(r(t)ψ(x(t))(z′(t))α)′≤?kQ(t)zβ(σ(t))≤0,

即

由(18)式可得z′′(t)≤0，從而有

再由z′(t)≤z′(σ(t))和(16)式可得

即

由條件(H3)知r′(t)≥0，又由(16)式知W′(t)≤0.綜上，由(17)式和(19)式，我們有

其中

將(20)式兩端同時(shí)乘以ρ ∈C1([t0,∞),R+)，并從t1到t 積分，可得

即

借助不等式

和(21)式，可得

由(22)式可得

當(dāng)t →∞，易知上式與條件(8)矛盾，故x 是方程(1)的振動(dòng)解.

注1定理1 是將二階線性微分方程

(r(t)x′(t))′+q(t)x(t)=0

的Leighton-Wintner 振動(dòng)定理推廣到擬線性中立型微分方程(1)情形，從而使前者成為定理1 的特例.另外，在本文中，若令方程(1)中的ψ(x(t)) = 1, f(x) = |x|β?1x，則方程(1)退化為文獻(xiàn)[3]中的方程(1).但不同的是，文獻(xiàn)[3]中的定理2.1 僅考慮方程(1)在α ≥β > 0 條件下的振動(dòng)結(jié)果，而本文的定理1 則考慮方程(1)在α > 0, β >0 條件下的振動(dòng)結(jié)果.

定理2設(shè)條件(H1)–(H5)和(7)成立，存在0

其中

證明 設(shè)x 是方程(1)的非振動(dòng)解.不失一般性，設(shè)x 為[t0,∞)上的最終正解.令W(t)定義如(15)式，則由定理1 中的(20)式知

其中t1由定理1 給出.對上式從t 到∞積分，可得

令

并對上式兩邊同時(shí)除以Q1(t)，可得

令

由條件(23)可知，存在常數(shù)δ >0，使得

則由(25)式，得

即

又根據(jù)不等式

可得

注2文獻(xiàn)[3]中的定理2 和文獻(xiàn)[4]中的定理3.2 都是本文定理2 的特例，文獻(xiàn)[3,4]分別研究了當(dāng)0 < β ≤α 和0 < α ≤β 時(shí)方程的解的振動(dòng)性，而本文得到了對任意α>0 和β >0 方程(1)的一切解振動(dòng)的條件.

證明 設(shè)x 是方程(1)的非振動(dòng)解.不失一般性，設(shè)x 為[t0,∞)上的最終正解，則z(t)最終為正.由(9)式知z′(t)最終保號且僅有兩種可能.

情況1假設(shè)z′(t)最終為正，則由定理1 的證明得出矛盾，知方程(1)在[t0,∞)上無最終正解.

情況2假設(shè)z′(t)最終為負(fù)，則存在t1≥t0，使得當(dāng)t ≥t1時(shí)，有x(t)>0, x(τ(t))>0, z(t)>0 和z′(t)<0.因?yàn)?/p>

τ′(t)>0, p′(t)≥0, z′(t)=x′(t)+p′(t)x(τ(t))+p(t)x′(τ(t))τ′(t)<0,

即存在t2≥t1和正數(shù)M，使得當(dāng)t ≥t2時(shí)，有xβ(σ(t)) > M.又由條件(H4)和方程(1)，得

可得

定義V(t) = ?(t)r(t)ψ(x(t))(?z′(t))α，其中? ∈C1([t0,∞),R+)，當(dāng)t ≥t2時(shí)，顯然有V(t)≥0，且

對(28)式從t2到t 積分，可得

即

由(29)式，得

再對上式從t2到t 積分，可得

注3本文定理3 改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]中的定理3.1，即當(dāng)ψ(x(t)) ≡1, p(t) ≡0 時(shí)，定理3 即為文獻(xiàn)[6]中的定理3.1.