考慮應(yīng)力分布約束的壓電全向加速度計梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

王 巖，趙 劍，夏 陽，劉蓬勃

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備分析國家重點實驗室 汽車工程學(xué)院，遼寧 大連 116081)

1 引 言

全向、多軸及多個單軸加速度計可以實現(xiàn)加速度信息的全向敏感，廣泛應(yīng)用于各類運載工具、人體的慣量信息采集[1-5]。與單軸加速度計相比，全向或多軸加速度計可以大量減少慣性單元數(shù)量，降低多慣性器件的累計誤差、布放及線路成本。

彈性梁是目前加速度計常用的結(jié)構(gòu)形式[6-12,22-24]，通過設(shè)計不同形式的細(xì)長梁結(jié)構(gòu)，利用功能敏感材料來測量其局部應(yīng)力、應(yīng)變或由應(yīng)變產(chǎn)生的位移，實現(xiàn)對加速度的敏感。例如，壓電或壓阻加速度計，將壓電或壓阻片貼于懸臂梁或正交懸臂梁端部附近，實現(xiàn)單軸或多軸加速度敏感[6,11,13]。電容加速度計采用“之”字形細(xì)長梁或細(xì)長平行梁，利用徑向受力易產(chǎn)生應(yīng)變的特性實現(xiàn)單軸或多軸高靈敏度[12,14-15]。然而，該高靈敏結(jié)構(gòu)通常在梁端部附近會產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。如果彈性梁結(jié)構(gòu)設(shè)計不合理，易在截面或者曲率突變部位出現(xiàn)因應(yīng)力集中而導(dǎo)致的破壞現(xiàn)象，從而降低傳感器的可靠性、抗沖擊性。另外，由于局部應(yīng)力過大，也會制約器件的最大線性測量范圍(量程)。

然而，若僅采取措施降低梁式加速度計結(jié)構(gòu)局部應(yīng)力集中的問題，也會同時影響器件靈敏度。例如，常用的加粗懸臂梁端部方法，雖然可以降低其應(yīng)力集中，但傳感器的靈敏度也會下降。鮮有直接改變加速度計梁結(jié)構(gòu)形式以降低其應(yīng)力的報道。另外，高g值壓阻加速度計采用間接方法降低梁結(jié)構(gòu)應(yīng)力[16-20]，即采用大尺度的支撐梁與細(xì)長壓阻梁組合結(jié)構(gòu)。通過粗大支撐梁來支撐慣性質(zhì)量塊并減小細(xì)長敏感梁的應(yīng)變，以避免其應(yīng)力過大而失效。該方法借助細(xì)小梁狀壓阻器與支撐梁共存結(jié)構(gòu)以平衡梁結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布與靈敏度之間的制約關(guān)系，提升了結(jié)構(gòu)抗沖擊性。但粗大的支撐梁限制了器件靈敏度的提升。而對于非高g值的梁結(jié)構(gòu)加速度計，仍缺少有效提升靈敏度并降低梁應(yīng)力的設(shè)計方法。因此，提高靈敏度并降低梁結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中現(xiàn)象是梁式加速度計存在的設(shè)計難題。

本文以壓電加速度計高靈敏度為目標(biāo)，建立了考慮應(yīng)力分布狀態(tài)的新型全向加速度計柔性支撐結(jié)構(gòu)(壓電梁)優(yōu)化設(shè)計模型。通過協(xié)同優(yōu)化初始長度為15 .0 mm的壓電梁不同部位的曲率和直徑，設(shè)計了具有變截面特征的壓電曲梁全向加速度計。優(yōu)化后的曲梁加速度計全向靈敏度較初始直梁加速度計顯著提升，其最大應(yīng)力低于初始直梁加速度計，有效驗證了所提出的靈敏度與應(yīng)力分布協(xié)同優(yōu)化方法的有效性。

2 壓電梁應(yīng)變-電荷轉(zhuǎn)化關(guān)系

構(gòu)型和極化方向是影響壓電梁傳感器敏感性能的關(guān)鍵因素。通過描述空間軸向極化梁的應(yīng)變-電荷轉(zhuǎn)化關(guān)系有助于說明構(gòu)型影響敏感性能的機理。

圖1 梁結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.1 Beam structure coordinate systems

圖1通過分別定義全局坐標(biāo)系x-y-z和局部坐標(biāo)系t-n-b描述一個典型的空間梁結(jié)構(gòu)?？刂品匠淘诰植孔鴺?biāo)系中進(jìn)行定義。位移矢量u和旋轉(zhuǎn)矢量θ用于描述梁的運動學(xué)狀態(tài)。式(1)用于描述廣義位移ε(軸向和剪切)應(yīng)變和廣義旋轉(zhuǎn)χ(扭轉(zhuǎn)和彎曲)應(yīng)變。

ε=u′-θ×t

χ=θ′，

(1)

其中：′表示對弧長求導(dǎo)，t表示梁的單位切向矢量(不表示時間)。在線彈性本構(gòu)方程(2)中，N和M分別表示廣義內(nèi)力和力矩。

N=Cε,M=Qχ,

(2)

其中：C=[EA，GA1，GA2],Q=[GJ，EI1，EI2]，均為材料矩陣。

梁平衡狀態(tài)表示為：

(3)

3-方向表示軸向方向，在圖1局部坐標(biāo)系中用t-方向表示。當(dāng)壓電梁極化和產(chǎn)生的電場都在3-方向時，可采用式(4)描述其線性本構(gòu)關(guān)系[21]：

(4)

當(dāng)壓電梁被用作傳感器時，由外載荷產(chǎn)生的E3為極小值量，在式(4)中認(rèn)為是零。式(5)表示壓電梁微段Δs兩端的電勢差：

(5)

其中：Q為微段Δs兩端的電荷，ΔC為微段Δs兩端的電容，A為截面面積，μ為泊松比。式(5)描述了U和ε3的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可知電勢差與軸向應(yīng)變成正比。式(6)描述了壓電梁兩端的電勢差：

(6)

3 壓電梁全向加速度計初始構(gòu)型

3. 1 初始構(gòu)型

論文采用ANSYS中的Beam189梁單元(鐵木辛柯梁)對加速度計中的梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，采用實體單元對加速度計中的質(zhì)量塊建模，采用諧響應(yīng)分析計算加速度計在加速度載荷下的應(yīng)力應(yīng)變。采用COMSOL Multiphysics軟件計算由梁應(yīng)變產(chǎn)生的電壓。

圖2 初始壓電直梁加速度計及優(yōu)化模型Fig.2 Initial piezoelectric straight-beam accelerometer and optimization model

3.2 全向加速度計解算方法

根據(jù)第2節(jié)結(jié)論：軸向極化的壓電梁輸出電壓與軸向應(yīng)變成正比，本節(jié)建立了全向加速度計解算方法。表3中U1x,U2x,U3x,U1y,U2y,U3y,U1z,U2z,U3z分別為加速度計在x,y,z軸方向，相同大小加速度下梁1，2，3輸出電壓和軸向應(yīng)變比例。

因為U1y為極小值，令U1y=0。根據(jù)以下規(guī)律：U1x+U2x+U3x=U1y+U2y+U3y=0，U1z=U2z=U3z，可以得到解算3D加速度方向和大小的計算方法，該方法適用于初始和優(yōu)化加速度計。

假設(shè)U1,U2,U3為在3D加速度下梁1，2，3的輸出電壓或軸向應(yīng)變。Ux,Uy,Uz分別為輸出電壓或軸向應(yīng)變矢量在x,y,z軸的分量。

由3D加速度產(chǎn)生的電壓或軸向應(yīng)變矢量在x,y,z軸的分量比例為：

(7)

其中：β是一個系數(shù)，初始加速度計中β=1。當(dāng)三梁的構(gòu)型和直徑都改變，β的數(shù)值通常會發(fā)生改變。

式(8)反映3D加速度產(chǎn)生的電壓或軸向應(yīng)變矢量的大小(全向靈敏度Sc)：

(8)

4 高靈敏低應(yīng)力構(gòu)型優(yōu)化

以初始直梁加速度計作為初始構(gòu)型，以梁不同部位的曲率和直徑作為設(shè)計變量，借助遺傳算法，優(yōu)化設(shè)計得到了具有到高靈敏低應(yīng)力特性的加速度計梁構(gòu)型。由式(6)可知，軸向極化壓電梁的輸出電壓與軸向應(yīng)變成正比，優(yōu)化中將軸向應(yīng)變作為優(yōu)化目標(biāo)，壓電梁最大應(yīng)力作為約束條件。在優(yōu)化中采用ANSYS進(jìn)行諧響應(yīng)分析計算50 Hz的3D加速度下梁的應(yīng)力應(yīng)變，并借助COMSOL計算由應(yīng)變產(chǎn)生的輸出電壓。

(9)

|χmaxEr|為三梁最大彎曲應(yīng)力絕對值，χmax為三梁全部單元中最大彎曲應(yīng)變，E為彈性模量，r為梁截面半徑。α為設(shè)定的應(yīng)力上限。目標(biāo)函數(shù)是為了找到在三梁最大應(yīng)力約束條件下，具有最大軸向應(yīng)變靈敏度的優(yōu)化構(gòu)型。變量1：t為6個控制點的x，y坐標(biāo)參數(shù)，用于改變控制點的位移建立新構(gòu)型。變量2：φ為梁6個部分的直徑，每一部分均獨立變化。圖2中三梁高度相同(顏色相同)的部分直徑相同(彩圖見期刊電子版)。變量1和2總共12個變量數(shù)目。pj為三梁6個控制點的縱坐標(biāo)，取值依次為0.0, 2.5, 5.0, 7.5, 10.0及12.5。

(10)

圖2中采用θ1和θ2描述3D加速度的方向。θ1為俯仰角，即z軸正方向與加速度矢量的夾角；θ2為方位角，即x軸正方向與加速度在面內(nèi)投影的夾角。θ1的數(shù)值周期為[0°, 180°]。由于三梁關(guān)于構(gòu)型中心軸對稱，所以θ2數(shù)值周期為[0°, 120°]。θ1和θ2的取值如圖4所示。為了將周期[0°, 120°]12等分，θ2的取值為0°～110°，為了將周期[0°, 180°]近似12等分，θ2的取值為15°～178°。

表1 MATLAB中遺傳算法關(guān)鍵參數(shù)取值

基于遺傳算法優(yōu)化中的關(guān)鍵參數(shù)列于表1和表2。為了使優(yōu)化結(jié)果在3D加速度下具有普適性，優(yōu)化中采用了如下3個α值及其對應(yīng)的3D加速度方向：3.40(θ1=105°，θ2=60°)，3.50(θ1=60°，θ2=30°)，2.30(θ1=150°，θ2=90°)，如表2和圖4所示。

將通過式(9)得到的優(yōu)化曲梁加速度計軸向極化，如圖3所示。在3種不同方向的加速度下得到的優(yōu)化構(gòu)型相同，這在一定程度上說明優(yōu)化加速度計對3D加速度具有普適性。

表2 優(yōu)化模型參數(shù)數(shù)值

表3 初始梁和優(yōu)化梁加速度計在x，y，z軸載荷下三梁輸出電壓和軸向應(yīng)變比例

圖3 優(yōu)化曲梁加速度計Fig.3 Optimized curved-beam accelerometer

5 性能對比

5.1 輸出電壓和軸向應(yīng)變解算比例

由于優(yōu)化加速度計構(gòu)型發(fā)生變化，與直梁支撐加速度計相比，其輸出電壓和軸向應(yīng)變比例也發(fā)生了變化。由表3可知，在x，y軸方向，優(yōu)化加速度計輸出電壓較初始加速度計提升了2倍以上；在z方向，優(yōu)化加速度計輸出電壓有所降低。由于曲率和直徑的變化，對于優(yōu)化加速度計，式(7)和式(8)中β=0.4。

5.2 全向靈敏度與最大應(yīng)力

為了表征加速度計的全向敏感及應(yīng)力變化特性，施加了12種不同方向，1 g大小50 Hz的3D加速度。圖4為兩加速度計各梁在12種不同方向加速度下的電壓絕對值(下文簡稱電壓)曲線。優(yōu)化加速度計三梁電壓曲線變化趨勢與初始加速度計基本一致，這是由于優(yōu)化和初始加速度計的3梁均關(guān)于器件結(jié)構(gòu)中心軸對稱所致。在大多數(shù)各個方向的3D加速度下優(yōu)化加速度計三梁電壓在1.0～8.0 V內(nèi)，均顯著高于初始加速度計，大約為其1.5～3.0倍。而優(yōu)化加速度計部分梁在個別載荷下的輸出電壓低于初始加速度計，如梁1在載荷10，11，12下，梁2在載荷4下，梁3在載荷12下的輸出電壓。由表5和表6可知，即使優(yōu)化加速度計部分梁電壓略低于初始加速度計，但由于其他梁的高電壓輸出，經(jīng)過解算后的全向靈敏度依然保持不變。可見部分梁輸出電壓降低不會影響優(yōu)化加速度計的全向靈敏度一致性。另外，兩加速度計3梁的電壓最大值分別位于不同載荷，這是由于3梁關(guān)于器件中心軸對稱的結(jié)構(gòu)布局在不同的俯仰角θ1、方位角θ2加速度下呈現(xiàn)出的特定電壓數(shù)值規(guī)律。12種載荷下優(yōu)化和初始加速度計三梁輸出電壓見表5。兩加速度計通過三梁電壓解算的電壓矢量方向和大小見表6?？芍獌杉铀俣扔媽?D加速度的大小和方向均具有良好的解算精度，且都具有良好的全向靈敏度一致性。優(yōu)化加速度計全向靈敏度Sc為0.8 V/g，為初始加速度計的2.5倍。

優(yōu)化加速度計同時實現(xiàn)了對全向加速度的低應(yīng)力響應(yīng)，如圖5所示。除在載荷12下，優(yōu)化加速度計最大應(yīng)力略高于初始加速度計，其他11種載荷下，優(yōu)化加速度計最大應(yīng)力均低于初始加速度計。在其中9種載荷下，優(yōu)化加速度計最大應(yīng)力為初始加速度計的70%～90%。且優(yōu)化加速度計最大應(yīng)力只位于其中一根梁，而初始加速度計三根梁具有相同的最大應(yīng)力。由于較低的最大應(yīng)力且該應(yīng)力只位于單根梁，優(yōu)化加速度計結(jié)構(gòu)可靠性顯著高于初始加速度計。12種載荷下兩加速度計最大應(yīng)力數(shù)值見表5。

通過同時改變?nèi)翰煌课坏那屎椭睆剑瑑?yōu)化壓電曲梁的軸向應(yīng)變和彎曲應(yīng)力的分布，協(xié)同設(shè)計了梁結(jié)構(gòu)軸向應(yīng)變和彎曲應(yīng)力對3D加速度的不同響應(yīng)特性。通過高軸向應(yīng)變響應(yīng)(即電壓輸出)，優(yōu)化加速度計實現(xiàn)了對3D加速度的高探測靈敏度；通過低彎曲應(yīng)力響應(yīng)，降低了優(yōu)化加速度計梁最大應(yīng)力，且該應(yīng)力只位于單根梁。利用軸向極化的壓電梁軸向應(yīng)變與輸出電壓成正比的特定關(guān)系和特定的變截面曲梁構(gòu)型，優(yōu)化加速度計實現(xiàn)了梁結(jié)構(gòu)加速度計的高靈敏、低應(yīng)力設(shè)計。同時優(yōu)化壓電梁不同部位的曲率與截面直徑，是得到高靈敏低應(yīng)力構(gòu)型的關(guān)鍵。其中優(yōu)化曲率和截面直徑對提高靈敏度都有作用；而優(yōu)化截面直徑對降低應(yīng)力起主要作用。該設(shè)計解決了傳統(tǒng)梁結(jié)構(gòu)加速度計通過直接改變梁結(jié)構(gòu)形式無法實現(xiàn)高靈敏、低應(yīng)力響應(yīng)的問題。

表4 前四階固有頻率

表5 在12種不同方向大小為1 g的50 Hz加速度下解算得到的電壓矢量大小及方向

圖4 在12種不同方向50 Hz的3D加速度下3梁電壓Fig.4 Voltages of three beams under 12 various directional 3D accelerations in 50 Hz

圖5 12種不同方向1 g大小50 Hz的3D加速度下最大應(yīng)力Fig.5 The maximum stresses of three beams under 12 various directional 1g 3D accelerations in 50 Hz

5.3 全向分辨率

施加與圖4中相同的加速度載荷，當(dāng)θ1與θ2均增大10′時，通過三梁電壓變化量大小反映兩加速度計角度分辨率情況，如圖6所示。可知優(yōu)化加速度計在各個方向載荷下的三梁電壓增量均高于初始加速度計，其均值為15.3 mV，為初始加速度計的3.1倍。這說明優(yōu)化加速度計較初始加速度計具有更好的角度分辨率，可以更好的辨識3D加速度微小的方向變化。這是由于優(yōu)化加速度計的全向靈敏度高于初始加速度計所致。

圖6 角度分辨率對比圖Fig.8 Angular resolution

5.4 低頻段靈敏度

表4中為兩加速度計前四階固有頻率。兩者前二階頻率較低，適用于低頻測量。圖7為在圖4中12種方向的加速度下，1～81 Hz頻段內(nèi)由式(8)得到的兩加速度計全向靈敏度諧響應(yīng)分析曲線。優(yōu)化加速度計全向靈敏度Sc為0.7～1.3 V/g，為初始加速度計的1.6～2.9倍。由于受到1階固有頻率影響，優(yōu)化加速度計測量頻段被限制在低頻段。

圖7 1～81 Hz頻段內(nèi)全向靈敏度掃頻曲線Fig.7 Omnidirectional sensitivity sweep frequency curve

圖8 加速度線性測量范圍Fig.8 Linear measurement range

5.5 線性測量范圍

圖8為兩加速度計在方向θ1=90°，θ2=50°(載荷6)50 Hz加速度下的加速度線性測量范圍曲線?？紤]實際測量系統(tǒng)的背景噪聲和信號損耗，測量下限設(shè)定為0.1 g。初始加速度計的線性測量范圍為0.1～225 g，在250 g以上區(qū)域出現(xiàn)非線性。優(yōu)化加速度在該載荷下的線性測量范圍為0.1～275 g，在300 g出現(xiàn)了非線性。因此，其最大線性測量范圍為初始加速度計的1.2倍。由圖7可知，載荷6下優(yōu)化加速度計最大應(yīng)力略低于初始加速度計，故在該載荷下優(yōu)化加速度計在線彈性變形范圍內(nèi)可以響應(yīng)更大的加速度。優(yōu)化加速度計的低應(yīng)力特性使其在達(dá)到材料屈服極限時可承受更大的加速度，故增大了其加速度線性測量范圍。

6 結(jié) 論

針對全向加速度計柔性支撐結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中問題，建立了考慮應(yīng)力分布狀態(tài)的新型全向加速度計結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計模型。通過協(xié)同優(yōu)化壓電支撐梁不同部位的曲率和直徑，設(shè)計了在3D加速度下具有高軸向應(yīng)變(靈敏度)和低彎曲應(yīng)力(最大應(yīng)力)特性的壓電曲梁，得到了優(yōu)化壓電變截面曲梁低頻全向加速度計。其全向靈敏度為初始直梁等截面加速度計的2.5倍，其最大應(yīng)力為初始直梁加速度計的0.7～0.9倍，且在1～81 Hz頻段內(nèi)體現(xiàn)出高靈敏度特性。該加速度計的設(shè)計解決了通過直接改變梁結(jié)構(gòu)形式難以實現(xiàn)傳統(tǒng)梁結(jié)構(gòu)加速度計高靈敏低應(yīng)力響應(yīng)的問題。

由于高靈敏特性，優(yōu)化曲梁加速度計角度分辨率顯著高于初始直梁加速度計。由于低應(yīng)力特性，優(yōu)化曲梁加速度計的加速度線性測量范圍為初始直梁加速度計1.2倍。優(yōu)化曲梁加速度計對3D加速度的高敏感性能及低應(yīng)力特性為高性能曲梁加速度計設(shè)計提供了借鑒。未來將對器件的制備、測試等問題進(jìn)行研究。