面向機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與驗(yàn)?zāi)?/h1>
2020-09-05 12:03:10王玫羽田大鵬郭立紅
光學(xué)精密工程 2020年8期
王玫羽,田大鵬*，郭立紅
(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.中國(guó)科學(xué)院 航空光學(xué)成像與測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春 130033)
1 引 言
機(jī)載光電平臺(tái)是一種光機(jī)電一體化設(shè)備，由機(jī)械伺服框架內(nèi)承載光學(xué)成像系統(tǒng)，適用于偵察、搜救、定位等多種軍民應(yīng)用。隨著使用需求的發(fā)展，機(jī)載光電平臺(tái)內(nèi)需要集成更多高性能的光電傳感器。減小光電平臺(tái)自身的體積、質(zhì)量，增加光電平臺(tái)內(nèi)部可安裝載荷的空間以提高載荷比對(duì)提升機(jī)載光電平臺(tái)的功能和性能都有重要的意義[1]。
傳統(tǒng)的機(jī)載光電平臺(tái)以二軸二框架、三軸三框架、二軸四框架這三種結(jié)構(gòu)為主[2]。二軸二框架平臺(tái)是一種最為成熟的平臺(tái)結(jié)構(gòu)，它對(duì)于小負(fù)載、高動(dòng)態(tài)的應(yīng)用十分有效；缺點(diǎn)是大角度失穩(wěn)無(wú)法實(shí)現(xiàn)垂直對(duì)地跟蹤，過(guò)頂時(shí)導(dǎo)致圖像產(chǎn)生像旋。三軸三框架和二軸四框架光電平臺(tái)解決了二軸二框架的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，但平臺(tái)自身體積、質(zhì)量較大，負(fù)載裝配空間有限[3]。傳統(tǒng)的框架結(jié)構(gòu)將軸系組件安裝在一個(gè)球體內(nèi)部，占據(jù)了球體內(nèi)可用于安裝光電載荷的空間，限制了光電平臺(tái)載荷比的提高。
采用串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)可解決這一問(wèn)題。球面機(jī)構(gòu)是一種介于平面機(jī)構(gòu)和空間機(jī)構(gòu)之間的特殊機(jī)構(gòu)，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線(xiàn)交于空間內(nèi)一點(diǎn)，并且轉(zhuǎn)動(dòng)副均在同心球面上運(yùn)動(dòng)[4]。通過(guò)將軸系組件布置在球面上，可以在球形空間內(nèi)排布更多的光電載荷。目前，對(duì)于空間球面機(jī)構(gòu)的研究主要集中于多支鏈的并聯(lián)球面機(jī)構(gòu)。但并聯(lián)機(jī)構(gòu)自身的耦合特性限制了球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制精度[5-6]?？臻g開(kāi)鏈串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、不易發(fā)生干涉、便于控制?，F(xiàn)階段針對(duì)空間開(kāi)鏈球面機(jī)構(gòu)的研究結(jié)果較少，主要集中于微創(chuàng)手術(shù)器械方面的應(yīng)用[7-8]。實(shí)際上，得益于三軸軸線(xiàn)非垂直相交的特殊關(guān)節(jié)位置關(guān)系，利用該機(jī)構(gòu)構(gòu)建的非封閉負(fù)載空間也能夠提升光電平臺(tái)的載荷比。三自由度串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)機(jī)載光電平臺(tái)較傳統(tǒng)框架結(jié)構(gòu)更容易實(shí)現(xiàn)對(duì)小角度、高精度光電平臺(tái)的精確控制。
該機(jī)構(gòu)的應(yīng)用前提是其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立。文獻(xiàn)[9]提出了只有轉(zhuǎn)動(dòng)副，且轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)交于空間內(nèi)一點(diǎn)的3-3R三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并逐漸發(fā)展出該機(jī)構(gòu)的多種變型。文獻(xiàn)[10]中提出了基于3-3R機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)共面的球面機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的太陽(yáng)追蹤裝置，并對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真驗(yàn)證。文獻(xiàn)[12]介紹了一種遠(yuǎn)中心運(yùn)動(dòng)的球面機(jī)構(gòu)，能夠避免機(jī)構(gòu)工作過(guò)程中與環(huán)境中物體的碰撞，文中分析了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間。隨著球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的深入，混聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的應(yīng)用也得到了發(fā)展，文獻(xiàn)[13-14]介紹了一種靈活度高，結(jié)構(gòu)緊湊的混聯(lián)球面機(jī)構(gòu)，通過(guò)對(duì)靜力學(xué)和彈性力分析，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的可靠性，并對(duì)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行了討論。文獻(xiàn)[15]闡述了球面混合機(jī)構(gòu)手術(shù)機(jī)械的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)以及控制策略。在串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)方面，文獻(xiàn)[7-8]設(shè)計(jì)了手術(shù)機(jī)器人串聯(lián)開(kāi)鏈球面機(jī)構(gòu)，并對(duì)球面機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)、靈敏度與工作空間分析，由于其機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)具有特殊性，并非面向機(jī)載光電平臺(tái)，無(wú)法直接應(yīng)用。Lewis等針對(duì)光電平臺(tái)負(fù)載框內(nèi)部空間有限、不能很好地適應(yīng)各種光電載荷安裝的弊端，提出了一種質(zhì)量輕、體積小、載荷比大的光電平臺(tái)內(nèi)框架結(jié)構(gòu)。采用三個(gè)三軸萬(wàn)向節(jié)連接負(fù)載和基座并采用與串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)相似的軸系布置[16]。文獻(xiàn)[17]對(duì)采用三軸萬(wàn)向節(jié)的光電平臺(tái)正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了研究，但缺少逆運(yùn)動(dòng)學(xué)且未對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)了一種基于球面機(jī)構(gòu)的光電平臺(tái)內(nèi)框架，降低了框架的體積質(zhì)量，提高了帶負(fù)載能力，但缺少運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。
機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)要實(shí)現(xiàn)實(shí)際工程應(yīng)用必須首先獲得精確、易于解算的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。然而，現(xiàn)有的研究中仍然缺少能夠滿(mǎn)足機(jī)載光電平臺(tái)實(shí)際應(yīng)用的完整、準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，限制了機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用。本文基于機(jī)器人領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立了一種串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)軟件聯(lián)合仿真以及實(shí)際實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，為后續(xù)開(kāi)展實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
2 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的建模
本文首先建立了一種面向機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上基于機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的D-H參數(shù)法進(jìn)行了正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。
2.1 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系建立
如圖1所示，串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)光電平臺(tái)采用斜交關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，通過(guò)三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接光電平臺(tái)基座與負(fù)載。不同于正交機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副兩兩垂直的結(jié)構(gòu)特性，該機(jī)構(gòu)采用轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)相互斜交的緊湊結(jié)構(gòu)，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)于空間內(nèi)交于一點(diǎn)O，轉(zhuǎn)動(dòng)副A，B，C在以O(shè)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)，即可實(shí)現(xiàn)光電平臺(tái)負(fù)載橫滾、俯仰和方位的運(yùn)動(dòng)。
圖1 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Coordinate system diagram of series spherical mechanism
本文基于機(jī)器人領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系[19]。選取串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線(xiàn)方向?yàn)樽鴺?biāo)系的z軸方向，機(jī)構(gòu)連桿與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)所在平面的公垂線(xiàn)方向?yàn)閤軸所在方向，y軸方向由右手定則確定。據(jù)此建立串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系，如圖1所示。圖中，O-XYZ為全局坐標(biāo)系；O0-XYZ為光電平臺(tái)的基座局部坐標(biāo)系，與全局坐標(biāo)系重合；O1,2,3-XYZ為轉(zhuǎn)動(dòng)副A，B，C的局部坐標(biāo)系；θi為zi-1軸與zi軸所成夾角，即轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)夾角；βi+1為yi軸與yi+1軸所成夾角，本文中βi+1=0；αi+1為xi軸與xi+1軸所成夾角，即驅(qū)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。
由于串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)采用三軸相交結(jié)構(gòu)，在使用D-H參數(shù)法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型時(shí)，可以省去位置信息參數(shù)，將典型的4×4位姿D-H矩陣簡(jiǎn)化為3×3的姿態(tài)矩陣。根據(jù)D-H參數(shù)法可建立D-H參數(shù)，如表1所示。
表1 D-H參數(shù)表
2.2 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模
串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是在已知三個(gè)驅(qū)動(dòng)副輸入角度(α0,α1,α2)的前提下，利用坐標(biāo)系變換關(guān)系，求解光電平臺(tái)負(fù)載姿態(tài)角度(R,P,Y)的過(guò)程。其中，R為負(fù)載滾轉(zhuǎn)角；P為負(fù)載俯仰角；Y為負(fù)載方位角。
參照表1，機(jī)構(gòu)參數(shù)(αi-1,θi)表示光電平臺(tái)負(fù)載在運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系i中的位姿，依據(jù)D-H參數(shù)法，定義廣義旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(1)
其中：
t11=cosαi-1cosβi-1，
t12=-sinαi-1cosβi-1，
t13=sinβi-1，
t21=cosθisinαi-1+cosαi-1sinβi-1sinθi，
t22=cosθicosαi-1-sinαi-1sinβi-1sinθi，
t23=-cosβi-1sinθi，
t31=sinαi-1sinθi-cosαi-1sinβi-1cosθi，
t32=sinθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1cosθi，
t33=cosβi-1cosθi.
故由負(fù)載坐標(biāo)系O3-XYZ至全局坐標(biāo)系O-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(2)
(3)
運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是指已知末端負(fù)載在全局坐標(biāo)系O-XYZ中的位姿(R,P,Y)，通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解負(fù)載在運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系i中的位姿參數(shù)(αi-1,θi)，使負(fù)載實(shí)現(xiàn)該位姿。光電平臺(tái)負(fù)載位姿通常采用慣性測(cè)量元件獲取。依據(jù)D-H參數(shù)法和慣性測(cè)量元件特性，定義廣義旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(4)
其中：
q11=cosαi-1cosβi-1，
q12=-cosθisinαi-1+cosαi-1sinβi-1sinθi，
q13=sinαi-1sinθi+cosαi-1sinβi-1cosθi，
q21=sinαi-1cosβi-1，
q22=cosθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1sinθi，
q23=-sinθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1cosθi，
q31=-sinβi-1，
q32=cosβi-1sinθi，
q33=cosβi-1cosθi.
tij=qij,(i=1,2,3;j=1,2,3).
(5)
求解方程(5)，可得關(guān)節(jié)角α0,α1,α2，即逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：
(6)
其中：
a3=sinα1sinθ2，
b3=cosα1sinθ2cosθ3+sinθ3cosθ2，
c3=q31cosθ2-q21sinθ2，
a1=q11，
b1=q21cosθ2+q31sinθ2，
c1=cosα1cosα2-sinα1cosθ3sinα2，
3 基于ADAMS的仿真驗(yàn)證
利用多體動(dòng)力學(xué)分析軟件與MATLAB聯(lián)合仿真，比對(duì)軟件求解和模型解析出的結(jié)果之間的差異對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。
使用ADAMS/View虛擬樣機(jī)開(kāi)發(fā)系統(tǒng)軟件互式圖形環(huán)境和零件庫(kù)、約束庫(kù)、力庫(kù)，創(chuàng)建串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)完全參數(shù)化的機(jī)械系統(tǒng)幾何模型，將模型導(dǎo)入MATLAB軟件中進(jìn)行聯(lián)合仿真，見(jiàn)圖2。
給定串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)光電平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)副一組幅值為6°，周期為0.4 s的正弦輸入信號(hào)，得到負(fù)載的姿態(tài)變化曲線(xiàn)如圖3所示。
圖3 負(fù)載姿態(tài)角度的變化曲線(xiàn)Fig.3 Attitude angle change curves of load camera
ADAMS幾何模型負(fù)載姿態(tài)位置與運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的誤差如圖4所示。經(jīng)驗(yàn)證，串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正確。
圖4 姿態(tài)角輸出誤差Fig.4 Output error of attitude angles
在MATLAB中搭建串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)光電平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)仿真框圖，如圖5所示。
圖5 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真系統(tǒng)Fig.5 Inverse kinematics simulation system
給定光電平臺(tái)內(nèi)框架系統(tǒng)負(fù)載的姿態(tài)角度(R,P,Y)，能夠得到系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度(α0,α1,α2)。借助上文已經(jīng)驗(yàn)證的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，對(duì)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，得到的誤差曲線(xiàn)如圖6所示。由仿真結(jié)果可知，串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正確。
圖6 逆動(dòng)力學(xué)輸出誤差Fig.6 Inverse kinematics output errors
由于ADAMS與MATALB兩款軟件的數(shù)值精度不同，仿真結(jié)果存在一些誤差，如圖4和圖6所示，但誤差極小，可以忽略。通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)軟件與MATLAB按照正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)可知，模型準(zhǔn)確描述了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征，解算準(zhǔn)確。
4 實(shí) 驗(yàn)
本文對(duì)面向機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖如圖7所示。
圖7 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證裝置Fig.7 Series spherical kinematics verification device
實(shí)驗(yàn)裝置利用帶有軸承的驅(qū)動(dòng)電機(jī)作為轉(zhuǎn)動(dòng)副。在每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副上安裝了角度編碼器測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)副的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度；在負(fù)載框架底部安裝了慣性測(cè)量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)用于測(cè)量光電平臺(tái)負(fù)載框的位姿。通過(guò)采集編碼器和IMU的數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)前文建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的解算和對(duì)比，對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
4.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型驗(yàn)證
給定串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)電機(jī)幅值為6°的正弦指令控制3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副旋轉(zhuǎn)；同時(shí)，比較IMU采集得到負(fù)載姿態(tài)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與利用編碼器角度和正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖8～圖10所示，誤差曲線(xiàn)如圖11所示。
圖8 負(fù)載的滾轉(zhuǎn)角度Fig.8 Roll angle of load
圖9 負(fù)載的俯仰角度Fig.9 Pitch angle of load
圖10 負(fù)載的方位角度Fig.10 Yaw angle of load
圖11 負(fù)載角度誤差Fig.11 Load angle errors
經(jīng)對(duì)比，正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)際測(cè)量值之間的誤差在5%以?xún)?nèi)，誤差幅值小于0.25°。這是由于所采用的測(cè)量原件自身精度有限(編碼器動(dòng)態(tài)精度為0.1°、微機(jī)電IMU動(dòng)態(tài)姿態(tài)測(cè)量精度為0.2°)，實(shí)驗(yàn)裝置加工和裝配精度有限等造成的。
4.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型驗(yàn)證
采集負(fù)載滾轉(zhuǎn)、俯仰和方位角度信息，利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，與編碼器實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖12～14所示，誤差曲線(xiàn)如圖15所示。
圖12 轉(zhuǎn)動(dòng)副A的角度Fig.12 Angle of revolute joint A
圖13 轉(zhuǎn)動(dòng)副B的角度Fig.13 Angle of revolute joint B
圖14 轉(zhuǎn)動(dòng)副C的角度Fig.14 Angle of revolute joint C
圖15 轉(zhuǎn)動(dòng)副的角度誤差Fig.15 Angle errors in revolute joints
經(jīng)對(duì)比，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與實(shí)際模型誤差也在5%以?xún)?nèi)。在實(shí)際機(jī)載光電平臺(tái)設(shè)計(jì)中，要采用更高精度的編碼器，并進(jìn)行機(jī)械設(shè)計(jì)和工藝約束。
綜合ADAMS仿真與在搭建的實(shí)驗(yàn)裝置上采集的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可知，本文基于D-H參數(shù)法建立的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是正確的，能夠滿(mǎn)足基于串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的機(jī)載光電平臺(tái)視軸指向控制等實(shí)際應(yīng)用需求。
5 結(jié) 論
為彌補(bǔ)面向機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面研究不足，借助機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立了簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確且易于解算的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并通過(guò)ADAMS與MATLAB的聯(lián)合仿真和實(shí)際實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性。
本文采用空間單鏈球面機(jī)構(gòu)連接光電平臺(tái)的基座和負(fù)載，有效節(jié)省光電平臺(tái)內(nèi)部的空間，有助于提升光電平臺(tái)的載荷比。同時(shí)，串聯(lián)連接方式較并聯(lián)方式更易控制。該串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為今后對(duì)串聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和控制學(xué)的研究以及進(jìn)一步的工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
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王玫羽,田大鵬*，郭立紅
(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.中國(guó)科學(xué)院 航空光學(xué)成像與測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春 130033)
1 引 言
機(jī)載光電平臺(tái)是一種光機(jī)電一體化設(shè)備，由機(jī)械伺服框架內(nèi)承載光學(xué)成像系統(tǒng)，適用于偵察、搜救、定位等多種軍民應(yīng)用。隨著使用需求的發(fā)展，機(jī)載光電平臺(tái)內(nèi)需要集成更多高性能的光電傳感器。減小光電平臺(tái)自身的體積、質(zhì)量，增加光電平臺(tái)內(nèi)部可安裝載荷的空間以提高載荷比對(duì)提升機(jī)載光電平臺(tái)的功能和性能都有重要的意義[1]。
傳統(tǒng)的機(jī)載光電平臺(tái)以二軸二框架、三軸三框架、二軸四框架這三種結(jié)構(gòu)為主[2]。二軸二框架平臺(tái)是一種最為成熟的平臺(tái)結(jié)構(gòu)，它對(duì)于小負(fù)載、高動(dòng)態(tài)的應(yīng)用十分有效；缺點(diǎn)是大角度失穩(wěn)無(wú)法實(shí)現(xiàn)垂直對(duì)地跟蹤，過(guò)頂時(shí)導(dǎo)致圖像產(chǎn)生像旋。三軸三框架和二軸四框架光電平臺(tái)解決了二軸二框架的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，但平臺(tái)自身體積、質(zhì)量較大，負(fù)載裝配空間有限[3]。傳統(tǒng)的框架結(jié)構(gòu)將軸系組件安裝在一個(gè)球體內(nèi)部，占據(jù)了球體內(nèi)可用于安裝光電載荷的空間，限制了光電平臺(tái)載荷比的提高。
采用串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)可解決這一問(wèn)題。球面機(jī)構(gòu)是一種介于平面機(jī)構(gòu)和空間機(jī)構(gòu)之間的特殊機(jī)構(gòu)，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線(xiàn)交于空間內(nèi)一點(diǎn)，并且轉(zhuǎn)動(dòng)副均在同心球面上運(yùn)動(dòng)[4]。通過(guò)將軸系組件布置在球面上，可以在球形空間內(nèi)排布更多的光電載荷。目前，對(duì)于空間球面機(jī)構(gòu)的研究主要集中于多支鏈的并聯(lián)球面機(jī)構(gòu)。但并聯(lián)機(jī)構(gòu)自身的耦合特性限制了球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制精度[5-6]?？臻g開(kāi)鏈串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、不易發(fā)生干涉、便于控制?，F(xiàn)階段針對(duì)空間開(kāi)鏈球面機(jī)構(gòu)的研究結(jié)果較少，主要集中于微創(chuàng)手術(shù)器械方面的應(yīng)用[7-8]。實(shí)際上，得益于三軸軸線(xiàn)非垂直相交的特殊關(guān)節(jié)位置關(guān)系，利用該機(jī)構(gòu)構(gòu)建的非封閉負(fù)載空間也能夠提升光電平臺(tái)的載荷比。三自由度串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)機(jī)載光電平臺(tái)較傳統(tǒng)框架結(jié)構(gòu)更容易實(shí)現(xiàn)對(duì)小角度、高精度光電平臺(tái)的精確控制。
該機(jī)構(gòu)的應(yīng)用前提是其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立。文獻(xiàn)[9]提出了只有轉(zhuǎn)動(dòng)副，且轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)交于空間內(nèi)一點(diǎn)的3-3R三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并逐漸發(fā)展出該機(jī)構(gòu)的多種變型。文獻(xiàn)[10]中提出了基于3-3R機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)共面的球面機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的太陽(yáng)追蹤裝置，并對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真驗(yàn)證。文獻(xiàn)[12]介紹了一種遠(yuǎn)中心運(yùn)動(dòng)的球面機(jī)構(gòu)，能夠避免機(jī)構(gòu)工作過(guò)程中與環(huán)境中物體的碰撞，文中分析了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間。隨著球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的深入，混聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的應(yīng)用也得到了發(fā)展，文獻(xiàn)[13-14]介紹了一種靈活度高，結(jié)構(gòu)緊湊的混聯(lián)球面機(jī)構(gòu)，通過(guò)對(duì)靜力學(xué)和彈性力分析，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的可靠性，并對(duì)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行了討論。文獻(xiàn)[15]闡述了球面混合機(jī)構(gòu)手術(shù)機(jī)械的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)以及控制策略。在串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)方面，文獻(xiàn)[7-8]設(shè)計(jì)了手術(shù)機(jī)器人串聯(lián)開(kāi)鏈球面機(jī)構(gòu)，并對(duì)球面機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)、靈敏度與工作空間分析，由于其機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)具有特殊性，并非面向機(jī)載光電平臺(tái)，無(wú)法直接應(yīng)用。Lewis等針對(duì)光電平臺(tái)負(fù)載框內(nèi)部空間有限、不能很好地適應(yīng)各種光電載荷安裝的弊端，提出了一種質(zhì)量輕、體積小、載荷比大的光電平臺(tái)內(nèi)框架結(jié)構(gòu)。采用三個(gè)三軸萬(wàn)向節(jié)連接負(fù)載和基座并采用與串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)相似的軸系布置[16]。文獻(xiàn)[17]對(duì)采用三軸萬(wàn)向節(jié)的光電平臺(tái)正運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了研究，但缺少逆運(yùn)動(dòng)學(xué)且未對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)了一種基于球面機(jī)構(gòu)的光電平臺(tái)內(nèi)框架，降低了框架的體積質(zhì)量，提高了帶負(fù)載能力，但缺少運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。
機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)要實(shí)現(xiàn)實(shí)際工程應(yīng)用必須首先獲得精確、易于解算的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。然而，現(xiàn)有的研究中仍然缺少能夠滿(mǎn)足機(jī)載光電平臺(tái)實(shí)際應(yīng)用的完整、準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，限制了機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用。本文基于機(jī)器人領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立了一種串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)軟件聯(lián)合仿真以及實(shí)際實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，為后續(xù)開(kāi)展實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
2 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的建模
本文首先建立了一種面向機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上基于機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的D-H參數(shù)法進(jìn)行了正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。
2.1 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系建立
如圖1所示，串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)光電平臺(tái)采用斜交關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，通過(guò)三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接光電平臺(tái)基座與負(fù)載。不同于正交機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副兩兩垂直的結(jié)構(gòu)特性，該機(jī)構(gòu)采用轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)相互斜交的緊湊結(jié)構(gòu)，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)于空間內(nèi)交于一點(diǎn)O，轉(zhuǎn)動(dòng)副A，B，C在以O(shè)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)，即可實(shí)現(xiàn)光電平臺(tái)負(fù)載橫滾、俯仰和方位的運(yùn)動(dòng)。
圖1 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Coordinate system diagram of series spherical mechanism
本文基于機(jī)器人領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系[19]。選取串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線(xiàn)方向?yàn)樽鴺?biāo)系的z軸方向，機(jī)構(gòu)連桿與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)所在平面的公垂線(xiàn)方向?yàn)閤軸所在方向，y軸方向由右手定則確定。據(jù)此建立串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系，如圖1所示。圖中，O-XYZ為全局坐標(biāo)系；O0-XYZ為光電平臺(tái)的基座局部坐標(biāo)系，與全局坐標(biāo)系重合；O1,2,3-XYZ為轉(zhuǎn)動(dòng)副A，B，C的局部坐標(biāo)系；θi為zi-1軸與zi軸所成夾角，即轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)夾角；βi+1為yi軸與yi+1軸所成夾角，本文中βi+1=0；αi+1為xi軸與xi+1軸所成夾角，即驅(qū)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。
由于串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)采用三軸相交結(jié)構(gòu)，在使用D-H參數(shù)法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型時(shí)，可以省去位置信息參數(shù)，將典型的4×4位姿D-H矩陣簡(jiǎn)化為3×3的姿態(tài)矩陣。根據(jù)D-H參數(shù)法可建立D-H參數(shù)，如表1所示。
表1 D-H參數(shù)表
2.2 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模
串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是在已知三個(gè)驅(qū)動(dòng)副輸入角度(α0,α1,α2)的前提下，利用坐標(biāo)系變換關(guān)系，求解光電平臺(tái)負(fù)載姿態(tài)角度(R,P,Y)的過(guò)程。其中，R為負(fù)載滾轉(zhuǎn)角；P為負(fù)載俯仰角；Y為負(fù)載方位角。
參照表1，機(jī)構(gòu)參數(shù)(αi-1,θi)表示光電平臺(tái)負(fù)載在運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系i中的位姿，依據(jù)D-H參數(shù)法，定義廣義旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(1)
其中：
t11=cosαi-1cosβi-1，
t12=-sinαi-1cosβi-1，
t13=sinβi-1，
t21=cosθisinαi-1+cosαi-1sinβi-1sinθi，
t22=cosθicosαi-1-sinαi-1sinβi-1sinθi，
t23=-cosβi-1sinθi，
t31=sinαi-1sinθi-cosαi-1sinβi-1cosθi，
t32=sinθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1cosθi，
t33=cosβi-1cosθi.
故由負(fù)載坐標(biāo)系O3-XYZ至全局坐標(biāo)系O-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(2)
(3)
運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是指已知末端負(fù)載在全局坐標(biāo)系O-XYZ中的位姿(R,P,Y)，通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解負(fù)載在運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系i中的位姿參數(shù)(αi-1,θi)，使負(fù)載實(shí)現(xiàn)該位姿。光電平臺(tái)負(fù)載位姿通常采用慣性測(cè)量元件獲取。依據(jù)D-H參數(shù)法和慣性測(cè)量元件特性，定義廣義旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(4)
其中：
q11=cosαi-1cosβi-1，
q12=-cosθisinαi-1+cosαi-1sinβi-1sinθi，
q13=sinαi-1sinθi+cosαi-1sinβi-1cosθi，
q21=sinαi-1cosβi-1，
q22=cosθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1sinθi，
q23=-sinθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1cosθi，
q31=-sinβi-1，
q32=cosβi-1sinθi，
q33=cosβi-1cosθi.
tij=qij,(i=1,2,3;j=1,2,3).
(5)
求解方程(5)，可得關(guān)節(jié)角α0,α1,α2，即逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：
(6)
其中：
a3=sinα1sinθ2，
b3=cosα1sinθ2cosθ3+sinθ3cosθ2，
c3=q31cosθ2-q21sinθ2，
a1=q11，
b1=q21cosθ2+q31sinθ2，
c1=cosα1cosα2-sinα1cosθ3sinα2，
3 基于ADAMS的仿真驗(yàn)證
利用多體動(dòng)力學(xué)分析軟件與MATLAB聯(lián)合仿真，比對(duì)軟件求解和模型解析出的結(jié)果之間的差異對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。
使用ADAMS/View虛擬樣機(jī)開(kāi)發(fā)系統(tǒng)軟件互式圖形環(huán)境和零件庫(kù)、約束庫(kù)、力庫(kù)，創(chuàng)建串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)完全參數(shù)化的機(jī)械系統(tǒng)幾何模型，將模型導(dǎo)入MATLAB軟件中進(jìn)行聯(lián)合仿真，見(jiàn)圖2。
給定串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)光電平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)副一組幅值為6°，周期為0.4 s的正弦輸入信號(hào)，得到負(fù)載的姿態(tài)變化曲線(xiàn)如圖3所示。
圖3 負(fù)載姿態(tài)角度的變化曲線(xiàn)Fig.3 Attitude angle change curves of load camera
ADAMS幾何模型負(fù)載姿態(tài)位置與運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的誤差如圖4所示。經(jīng)驗(yàn)證，串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正確。
圖4 姿態(tài)角輸出誤差Fig.4 Output error of attitude angles
在MATLAB中搭建串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)光電平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)仿真框圖，如圖5所示。
圖5 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真系統(tǒng)Fig.5 Inverse kinematics simulation system
給定光電平臺(tái)內(nèi)框架系統(tǒng)負(fù)載的姿態(tài)角度(R,P,Y)，能夠得到系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度(α0,α1,α2)。借助上文已經(jīng)驗(yàn)證的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，對(duì)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，得到的誤差曲線(xiàn)如圖6所示。由仿真結(jié)果可知，串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正確。
圖6 逆動(dòng)力學(xué)輸出誤差Fig.6 Inverse kinematics output errors
由于ADAMS與MATALB兩款軟件的數(shù)值精度不同，仿真結(jié)果存在一些誤差，如圖4和圖6所示，但誤差極小，可以忽略。通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)軟件與MATLAB按照正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)可知，模型準(zhǔn)確描述了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征，解算準(zhǔn)確。
4 實(shí) 驗(yàn)
本文對(duì)面向機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖如圖7所示。
圖7 串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證裝置Fig.7 Series spherical kinematics verification device
實(shí)驗(yàn)裝置利用帶有軸承的驅(qū)動(dòng)電機(jī)作為轉(zhuǎn)動(dòng)副。在每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副上安裝了角度編碼器測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)副的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度；在負(fù)載框架底部安裝了慣性測(cè)量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)用于測(cè)量光電平臺(tái)負(fù)載框的位姿。通過(guò)采集編碼器和IMU的數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)前文建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的解算和對(duì)比，對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
4.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型驗(yàn)證
給定串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)電機(jī)幅值為6°的正弦指令控制3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副旋轉(zhuǎn)；同時(shí)，比較IMU采集得到負(fù)載姿態(tài)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與利用編碼器角度和正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖8～圖10所示，誤差曲線(xiàn)如圖11所示。
圖8 負(fù)載的滾轉(zhuǎn)角度Fig.8 Roll angle of load
圖9 負(fù)載的俯仰角度Fig.9 Pitch angle of load
圖10 負(fù)載的方位角度Fig.10 Yaw angle of load
圖11 負(fù)載角度誤差Fig.11 Load angle errors
經(jīng)對(duì)比，正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)際測(cè)量值之間的誤差在5%以?xún)?nèi)，誤差幅值小于0.25°。這是由于所采用的測(cè)量原件自身精度有限(編碼器動(dòng)態(tài)精度為0.1°、微機(jī)電IMU動(dòng)態(tài)姿態(tài)測(cè)量精度為0.2°)，實(shí)驗(yàn)裝置加工和裝配精度有限等造成的。
4.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型驗(yàn)證
采集負(fù)載滾轉(zhuǎn)、俯仰和方位角度信息，利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，與編碼器實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖12～14所示，誤差曲線(xiàn)如圖15所示。
圖12 轉(zhuǎn)動(dòng)副A的角度Fig.12 Angle of revolute joint A
圖13 轉(zhuǎn)動(dòng)副B的角度Fig.13 Angle of revolute joint B
圖14 轉(zhuǎn)動(dòng)副C的角度Fig.14 Angle of revolute joint C
圖15 轉(zhuǎn)動(dòng)副的角度誤差Fig.15 Angle errors in revolute joints
經(jīng)對(duì)比，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與實(shí)際模型誤差也在5%以?xún)?nèi)。在實(shí)際機(jī)載光電平臺(tái)設(shè)計(jì)中，要采用更高精度的編碼器，并進(jìn)行機(jī)械設(shè)計(jì)和工藝約束。
綜合ADAMS仿真與在搭建的實(shí)驗(yàn)裝置上采集的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可知，本文基于D-H參數(shù)法建立的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是正確的，能夠滿(mǎn)足基于串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)的機(jī)載光電平臺(tái)視軸指向控制等實(shí)際應(yīng)用需求。
5 結(jié) 論
為彌補(bǔ)面向機(jī)載光電平臺(tái)的串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面研究不足，借助機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立了簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確且易于解算的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并通過(guò)ADAMS與MATLAB的聯(lián)合仿真和實(shí)際實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性。
本文采用空間單鏈球面機(jī)構(gòu)連接光電平臺(tái)的基座和負(fù)載，有效節(jié)省光電平臺(tái)內(nèi)部的空間，有助于提升光電平臺(tái)的載荷比。同時(shí)，串聯(lián)連接方式較并聯(lián)方式更易控制。該串聯(lián)球面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為今后對(duì)串聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和控制學(xué)的研究以及進(jìn)一步的工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
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