一類平面九次微分系統(tǒng)的廣義中心條件與極限環(huán)分支

劉燦輝,杜超雄

(長沙師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,湖南 長沙,410100)

本文主要研究如下一類平面九次微分系統(tǒng)的廣義中心條件與極限環(huán)分支問題:

(1)

其中：

P0=y(3x4+12x5+20x6+16x7+6x2y2+56x3y2+104x4y2+72x5y2+3y4+12xy4+84x2y4+96x3y4+40xy6),

P1=3x5+14x6+24x7+18x8+6x3y2+42x4y2+84x5y2+68x6y2+3xy4-6x2y4+32x3y4+72x4y4-2y6-28xy6+12x2y6-10y8,

P2=5y(1+2x)3(x2+y2)2,

P3=-5(1+2x)2(x+x2-y2)(x2+y2)2,δ,A10,B10∈R。

平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題往往與Hilbert第16問題緊密相關(guān)。對于n次系統(tǒng)分支出的極限環(huán)數(shù)目也稱之為Hilbert數(shù)。多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的Hilbert數(shù)的研究是一個熱點(diǎn)問題,SHI[1]得出二次多項(xiàng)式系統(tǒng)可分支出4個極限環(huán)；YU等[2-3]得出三次系統(tǒng)的Hilbert數(shù)不少于12,LIU和LI[4]得出三次系統(tǒng)的Hilbert數(shù)不少于13,這是目前關(guān)于H(3)的最好結(jié)果。對于其他類型的微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題,研究結(jié)論眾多,如文獻(xiàn)[5-10]。可能由于計算的復(fù)雜性,對于高次系統(tǒng)Hilbert數(shù)的研究結(jié)論相對較少。

本文將著力于討論上面的九次系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題,并給出其同步Hopf分支的實(shí)例,得出該系統(tǒng)可以分支出15個極限環(huán),其中包含由4個初等奇點(diǎn)分支出的12個小振幅極限環(huán)和由無窮遠(yuǎn)點(diǎn)分支出的3個大振幅極限環(huán)。此外,還給出了其廣義中心條件。本文的結(jié)論是對現(xiàn)有結(jié)論的有益補(bǔ)充。

1 焦點(diǎn)量的計算方法

本文主要采用文獻(xiàn)[5]中關(guān)于焦點(diǎn)量的計算方法,具體如下。

考慮以下Poincaré型實(shí)系統(tǒng)：

(2)

系統(tǒng)(2)|δ=0經(jīng)變換

(3)

化為如下復(fù)系統(tǒng):

(4)

這里z,w和T為復(fù)變量且

顯然，系統(tǒng)(4)的系數(shù)滿足共軛關(guān)系，即:aαβ與bαβ互為共軛復(fù)數(shù)。其中,

α≥0,β≥0,α+β≥2,aαβ=Aαβ+iBαβ,bαβ=Aαβ-iBαβ。

這里稱系統(tǒng)(2)|δ=0與(4)互為伴隨系統(tǒng),定義見文獻(xiàn)[5]。

引理1[5]對系統(tǒng)(4),可逐項(xiàng)確定形式級數(shù):

使得

其中：μm是系統(tǒng)(4)原點(diǎn)的第m個奇點(diǎn)量,與系統(tǒng)(2)|δ=0用Poincaré形式級數(shù)法求得的第m個焦點(diǎn)量v2m+1有關(guān)系，v2m+1～iπμm,m=1,2,3…。

在引理1中,記號“～”表示代數(shù)等價,定義見文獻(xiàn)[5]。

對充分小的h和ε,若h=h(ε)是Δ(h,ε)的1個零點(diǎn),則h=-r(π,h(ε),ε)也是Δ(h,ε)的1個零點(diǎn),從而在實(shí)域內(nèi)Δ(h,ε)的正負(fù)零點(diǎn)成對出現(xiàn)。

基本條件1[5]存在自然數(shù)N,m和一串與ε無關(guān)的λ0,λ1…,λk…，使

lm=0,λm≠0。

引理3[5]對于系統(tǒng)(2)而言,

1)若基本條件1成立,則系統(tǒng)(2)當(dāng)0<|ε|?1時，在原點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)至多可由焦點(diǎn)或中心點(diǎn)擾動出m個極限環(huán)。

2)若基本條件1成立且基本條件1中λkλk-1<0,(k=1,2,…m),以及l(fā)k-1-lk>lk-lk+1,k=1,2,…,m-1,則當(dāng)0<|ε|?1時，其弱分支函數(shù)L(h,ε)恰有m個正零點(diǎn),即

相應(yīng)地,系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)可分支出m個極限環(huán),其位置分別在圓x2+y2=(-λk-1/λk)εlk-1-lk的附近。

2 系統(tǒng)(1)的廣義焦點(diǎn)量與廣義中心

為了研究系統(tǒng)(1)的極限環(huán)分支問題和廣義中心問題,焦點(diǎn)量的計算顯得很關(guān)鍵。但是對于系統(tǒng)(1),其形式并不滿足系統(tǒng)(2)的標(biāo)準(zhǔn)形式,故無法直接利用系統(tǒng)(2)的焦點(diǎn)量的計算方法來進(jìn)行計算,因此，這里有必要先作幾個合適的變換。

通過Bendixson倒徑變換

(5)

與時間變換

dt=5(x2+y2)4dτ

(6)

系統(tǒng)(1)變成了如下的實(shí)系統(tǒng):

(7)

在變換公式(5)和(6)下,系統(tǒng)(1)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個初等奇點(diǎn)

對于系統(tǒng)(7),有下列結(jié)論。

定理1系統(tǒng)(7)是一個關(guān)于點(diǎn)(-1,0)Z5等變對稱的多項(xiàng)式系統(tǒng)。

證明系統(tǒng)(7)|δ=0在變換u=x-1,v=y下變成了如下系統(tǒng)：

(8)

系統(tǒng)(8)在旋轉(zhuǎn)變換

下保持不變,因此，系統(tǒng)(8)是關(guān)于原點(diǎn)Z5等變對稱的多項(xiàng)式系統(tǒng),它有5個關(guān)于原點(diǎn)等變對稱的具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的奇點(diǎn):

又因?yàn)橄到y(tǒng)(8)是系統(tǒng)(7)在變換u=x-1,v=y下得到的,因此,系統(tǒng)(7)是一個關(guān)于點(diǎn)(-1,0)Z5等變對稱的多項(xiàng)式系統(tǒng)。證畢。

Q 1:燃燒室輸出到水浴的熱量;Q 2:水浴傳遞給管程內(nèi)LNG的熱量;C:水的熱容;T 1:水浴溫度;T 2:管程LNG的溫度;R:水浴傳熱熱阻;Gp 1:主被控對象(NG出口溫度);Gp 2:副被控對象(水浴溫度);Gc1:主回路控制器;Gc2:副回路控制器;τ:副被控對象時滯;τ1:主控對象存在時滯;J(s):燃料氣的干擾;E(s):入口LNG的干擾;GE(s):入口LNG的傳遞函數(shù);Ge(s):前饋補(bǔ)償通道函數(shù);Y 1(s):主回路的輸出;Y 2(s):副回路的輸出。

由于平移變換不改變系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),因此，研究系統(tǒng)(7)的原點(diǎn)和4個初等奇點(diǎn)的極限環(huán)分支與中心問題，只需要先考慮系統(tǒng)(8)的5個相應(yīng)奇點(diǎn)的對應(yīng)性質(zhì)，且在Bendixson倒徑變換下,系統(tǒng)(1)的分支行為和廣義中心條件與系統(tǒng)(7)是保持一致的。一般來說,中心問題是相對于初等奇點(diǎn)來討論的,對于具有可積性的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)或者在初等變換下可化為可積的初等奇點(diǎn),可以稱之為廣義中心。那么,如果系統(tǒng)(8)的5個奇點(diǎn)是5個中心時,系統(tǒng)(1)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個初等奇點(diǎn)為5個廣義中心。相似地,由于系統(tǒng)(8)是系統(tǒng)(1)通過初等變換而得到,故系統(tǒng)(8)的奇點(diǎn)的焦點(diǎn)量可以稱為系統(tǒng)(1)的對應(yīng)奇點(diǎn)的廣義焦點(diǎn)量。

為了研究系統(tǒng)(1)的極限環(huán)分支行為和中心焦點(diǎn)問題,不妨先計算其廣義焦點(diǎn)量。通過變換:

系統(tǒng)(8)變?yōu)?/p>

(9)

根據(jù)引理1的計算方法,可以得到系統(tǒng)(9)|δ=0的原點(diǎn)的前三階奇點(diǎn)量。

定理2系統(tǒng)(1)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個初等奇點(diǎn)的前三階廣義奇點(diǎn)量為系統(tǒng)(9)|δ=0原點(diǎn)的前三階奇點(diǎn)量,其表達(dá)式如下:

由引理2～3和定理2,可以得到如下定理。

定理3系統(tǒng)(1)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個初等奇點(diǎn)的前三階廣義焦點(diǎn)量為系統(tǒng)(8)|δ=0原點(diǎn)的前三階焦點(diǎn)量,其表達(dá)式如下:

分析定理3中焦點(diǎn)量的結(jié)構(gòu),可以知道以下結(jié)論。

定理4系統(tǒng)(1)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個初等奇點(diǎn)的前三階廣義焦點(diǎn)量為0(或者系統(tǒng)(8)|δ=0的原點(diǎn)的前三階焦點(diǎn)量為0)的必要條件是B10=0。

焦點(diǎn)量為0是奇點(diǎn)成為中心的必要條件,有必要找出其充分條件。進(jìn)一步可證明定理4中的條件也將成為系統(tǒng)(1)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和4個初等奇點(diǎn)成為廣義中心的充要條件。

定理5系統(tǒng)(7)|δ=0的5個初等奇點(diǎn)為同步中心的充要條件是B10=0。

證明根據(jù)定理4知道,必要條件顯然成立。

下面證明充分性。當(dāng)B10=0時,系統(tǒng)(7)|δ=0變成了

(10)

系統(tǒng)(10)有如下形式的通積分:

3(10u2+45u3+60u4+29u5+5u6+40v2+145uv2+70u3v2+15u4v2+25uv4+15u2v4+5v6)+3iv(v4-10u2v2+15v2+5u4-45u2-30u)+25A10(3u2+7u3+12u4+6u5+u6-3v2+3uv2+12u2v2+12u3v2+3u4v2+v6)-25iA10v(-6u+3u2-v2)=C(C為常數(shù))。

因此,當(dāng)B10=0時,系統(tǒng)(7)|δ=0的5個初等奇點(diǎn)為同步中心。證畢。

進(jìn)一步,由于系統(tǒng)(7)是系統(tǒng)(1)通過變換公式(5)和(6)得到的,因此，有如下結(jié)論。

定理6系統(tǒng)(1)|δ=0的4個初等奇點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為5個同步中心的充要條件是B10=0。

3 系統(tǒng)(1)的極限環(huán)分支

上面的計算已經(jīng)得出系統(tǒng)(1)的前三階焦點(diǎn)量表達(dá)式,下面考慮其極限環(huán)分支問題。

(11)

證明在上面形式的擾動下,系統(tǒng)(7)的5個細(xì)焦點(diǎn)的焦點(diǎn)量分別為

v1(2π,ε,δ)=c0ε6+o(ε6),

v3(2π,ε,δ)=c1ε4+o(ε4),

v5(2π,ε,δ)=c2ε2+o(ε2),

v7(2π,ε,δ)=c3+o(1),

d(εh)=r(2π,εh)-εh=

(v1(2π,ε,δ)-1)εh+v2(2π,ε,δ)(εh)2+v3(2π,ε,δ)(εh)3+…=

πε7h[g(h)+εhG(h,ε)]

(12)

其中：g(h)=c0+c1h2+c2h4+c3h6=c3(h2-1)(h2-4)(h2-9)。

根據(jù)(12)和隱函數(shù)存在定理,d(εh)有3個簡單正零點(diǎn),它們靠近g(h)的零點(diǎn)1,2,3。因此，系統(tǒng)(8)的原點(diǎn)可以分支出3個極限環(huán),這3個極限環(huán)分布在圓u2+v2=m2ε2(m=1,2,3)的周圍。證畢。

由系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(7)及系統(tǒng)(8)的關(guān)系,可以得到下面定理。