基于二階近似積分不等式的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

王 楠, 龔德仁, 許光坦, 段登平

(上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院,上海 200240)

時(shí)滯系統(tǒng)廣泛存在于工業(yè)過(guò)程、生物、電信、經(jīng)濟(jì)、機(jī)械工程等諸多實(shí)際情況中。系統(tǒng)的時(shí)滯往往會(huì)引起系統(tǒng)的振蕩和不穩(wěn)定性,這就促使了大量的研究人員致力于用不同的判據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[1-2]。定常時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析已經(jīng)得到了廣泛的研究,學(xué)者們提出了許多理論方法,如特征方程和特征值分析[3-4]。

對(duì)于離散時(shí)滯系統(tǒng),早期的學(xué)者大多采用離散Jensen不等式[5-6]和自由加權(quán)矩陣[7]方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。針對(duì)線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)條件推導(dǎo)過(guò)程中存在的二重求和項(xiàng),文獻(xiàn)[8-9]引入了時(shí)滯分割方法,文獻(xiàn)[10-11]等提出了最優(yōu)分配方法,使時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)具有較低的保守性。后來(lái),一些新的方法不斷被提出,如有限和不等式[12]、離散Wirtinger不等式[13]以及一些改進(jìn)的求和不等式[14-18]、凸組合方法[19-20]等。文獻(xiàn)[15]建立了基于輔助函數(shù)的求和不等式,改進(jìn)了基于亞伯引理的有限和不等式。文獻(xiàn)[20]推導(dǎo)出了改進(jìn)的凸組合不等式,與擴(kuò)展的凸組合不等式相比,引入了更少的松弛矩陣變量。

現(xiàn)提出一個(gè)新的積分不等式,稱為二階近似積分不等式,著名的Jensen和基于Wirtinger的不等式均為其低階近似。利用二階近似積分不等式(SAII)提出具有較低保守性新的時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證該方法在定常時(shí)滯系統(tǒng)中穩(wěn)定性分析時(shí)的有效性和優(yōu)越性。

1 二階近似積分不等式

(1)

偏差變量：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

證明定義如下一系列函數(shù):

(7)

易得：

(8)

(9)

(10)

對(duì)t∈[a,b],定義以下函數(shù)：

(11)

因?yàn)镽>0,于是有

(12)

將式(7)～式(11)代入式(12)得：

(13)

至此,可以得到不等式(6)成立,證明完畢。

注1: 將不等式(4)～式(6)右邊的項(xiàng)分別定義為

(14)

可以得到:

(15)

結(jié)果表明,與Jensen不等式和Wirtinger不等式相比,SAII具有更高的階近似。實(shí)際上,IJensen、IWirtinger和ISAII就是原點(diǎn)二重積分的零、一、二階近似。證明如下:

(16)

于是有

(17)

將式(17)代入式(3)得：

(18)

式(18)的逆為

(19)

(20)

(21)

(22)

2 定常時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

考慮以下具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)

加拿大各省和美國(guó)各州課標(biāo)中的支股或條目往往不同，連名稱都不一樣.加拿大西部幾省的條目(organizer)，包括數(shù)的概念(算術(shù))，模式與關(guān)系(代數(shù))，形狀與空間(幾何)，以及概率統(tǒng)計(jì)等四項(xiàng).每一條目下轄若干次級(jí)條目.支股也好，條目也好，從一年級(jí)引進(jìn)，不論有無(wú)必要，課標(biāo)中年年出現(xiàn)，直到小學(xué)畢業(yè).[9] 傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)自成一個(gè)完整有機(jī)的體系；而發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)基本上是一個(gè)若干數(shù)學(xué)分支的混合.

(23)

式(23)中:x(t)∈Rn表示n維狀態(tài)向量;A和Ah是具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)已知常數(shù)矩陣；連續(xù)可微函數(shù)φ(t)表示初始條件；h≥0是系統(tǒng)的定常時(shí)滯。

定理1如果存在矩陣P>0,Q>0和R>0滿足式(24)所示條件,則系統(tǒng)[式(23)]是漸進(jìn)穩(wěn)定的:

(24)

證明定義如下擴(kuò)展向量χ(t):

(25)

擴(kuò)展向量χ(t)可以表示用ξ(t)表示為

χ(t)=Bξ(t)

(26)

(27)

系統(tǒng)[式(23)]可以重寫(xiě)為

(28)

式(28)中:

Ae=[AAh00]

(29)

對(duì)χ(t)求導(dǎo)得:

(30)

式(30)中:

(31)

為了分析系統(tǒng)[式(23)]的穩(wěn)定性,考慮如下李雅普諾夫-克拉索夫斯基泛函(Lyapunov-Krasovskii functional，LKF):

(32)

對(duì)Vi(t)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得到:

(33)

式(33)中:

(34)

證明完畢。

3 算例

算例1考慮具有與文獻(xiàn)[21]算例相同系數(shù)矩陣的系統(tǒng)式[(23)]:

(35)

使用時(shí)滯掃描技術(shù)得到最大的時(shí)滯上界為hmax=6.172 5。表1給出了本文算法及最近許多使用Jensen不等式、基于Wirtinger的不等式的論文得到的最大允許時(shí)滯上界。根據(jù)比較結(jié)果可知,本文所提出的SAII得到的上界明顯優(yōu)于其他文獻(xiàn)。

表1 最大允許時(shí)滯上界

算例2考慮在文獻(xiàn)[25]中研究的具有如下系數(shù)矩陣的動(dòng)力學(xué):

(36)

式(36)中：K為可變參數(shù)。

結(jié)果表明,與Jensen不等式和基于Wirtinger的不等式相比,SAII的穩(wěn)定性區(qū)域更大,如圖1所示。當(dāng)參數(shù)K≤0.295時(shí),即使時(shí)滯很大(如h=500時(shí)),系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的。

圖1 不同時(shí)滯下h的允許上界KFig.1 Allowable upper K with variable delay h

4 結(jié)論

提出了一個(gè)二階近似積分不等式(SAII)來(lái)分析時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性,著名的Jensen不等式和Wirtinger不等式均為所提方法的低階近似。通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)腖KF,引入了新的具有較低保守性的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。數(shù)值算例表明,與現(xiàn)有的時(shí)滯系統(tǒng)相比,該方法有較大的改進(jìn)。