線性代數(shù)在經(jīng)濟領域的應用初步探討

朱勇

摘 要：數(shù)學是研究數(shù)量與空間形式的科學，古典數(shù)學分為代數(shù)、幾何和分析三大領域。其中線性代數(shù)這一代數(shù)學分支既包含代數(shù)學的內(nèi)容，又和幾何學密切相關，在理工農(nóng)醫(yī)經(jīng)濟等領域都有重要的應用。文章結合應用實例，著重探討了線性代數(shù)在經(jīng)濟領域的應用。

關鍵詞：線性代數(shù);經(jīng)濟領域;應用

1研究目的與意義

線性代數(shù)，英文名為Linear Algebra，是數(shù)學中的一個重要分支。代數(shù)的英文名Algebra，源自阿拉伯語，它的本意為“reunion of broken parts”，即“把打破的重聚”。因此，把許多看似不相關的事物聯(lián)系到一起并對其進行高度抽象，這是代數(shù)的特點與用途。抽象的目的是通過代數(shù)把某些錯綜復雜的問題轉化為人們熟知的數(shù)學模型，從而能夠更加快速簡便地解決問題。線性代數(shù)的研究內(nèi)容包括矩陣、行列式、線性方程組、向量、線性空間和線性變換等。近年來，隨著科學技術尤其是計算機技術的迅猛發(fā)展，線性代數(shù)的應用領域得到了極大的拓展。以前只是在傳統(tǒng)的物理領域中應用，后來隨著時代的發(fā)展，迅速拓展到非物理領域（生物、經(jīng)濟、醫(yī)學、社會學等領域）。許多經(jīng)濟學家嘗試將數(shù)學和經(jīng)濟學緊密地聯(lián)系在一起，并通過對大量數(shù)學工具的運用，使得經(jīng)濟學領域的理論研究工作取得了重大的進展。在上述數(shù)學工具中，線性代數(shù)出現(xiàn)的頻率很高。本文致力于尋找線性代數(shù)與經(jīng)濟問題之間的密切關系，著重探討線性代數(shù)在經(jīng)濟領域中的重要應用。

為了使讀者更加深入地了解線性代數(shù)應用領域的廣泛性以及線性代數(shù)對經(jīng)濟領域相關研究的重要推動作用，本文除了總結陳述前人的研究外，還列舉并分析了幾個實踐中的案例，以期能夠通過本文的研究促進線性代數(shù)理論在經(jīng)濟領域的應用，促進社會經(jīng)濟與科技全面發(fā)展。

2實例分析

2.1矩陣運算的應用案例

矩陣的運算中，人們比較容易接受和掌握矩陣的加法、減法以及數(shù)乘運算等運算方法。而矩陣的乘法的算法相對來說非常特別，不易理解，但大量的矩陣理論及其應用都是建立在矩陣的乘法之上的。矩陣的乘法廣泛應用于各個方面，矩陣的乘法中不僅只有兩個矩陣相乘，還有多個矩陣相乘的情況，這里就多矩陣相乘在經(jīng)濟中的應用舉例。

案例一支付資金流動問題

為了保證金融機構的現(xiàn)金能夠足額支付，金融機構在A市和B市的公司分別設立了基金，平時可以使用這筆基金，但是每個周末清算時必須保持總金額不變。經(jīng)過了長時間的現(xiàn)金流動，發(fā)現(xiàn)每周公司的大部分支付基金在流通過程中仍然留在本公司，然而每周A市公司有大約12%的支付資金最終流向B市公司，B市公司則有大約15%的支付資金最終流向A市公司。最初，A市公司的基金為106萬元，B市公司的基金有212萬元。按照這種規(guī)律持續(xù)下去，兩家公司的支付基金數(shù)額變化趨勢是怎樣的？若要求每個公司的支付基金高于130萬，則需不需要在必要時調動資金？

案例二模糊評價矩陣在分析經(jīng)濟影響權重中的應用

評價方案或者成果時，其中需要考慮的因素非常多，并且某些描述難以明確地表達出來。在這個時候，就可以采用模糊評價方法來對事物從定性化的評價轉為全面且定量化的評價。因為模糊綜合評價可以有效地解決許多難以量化的問題，所以它非常適合解決各種不確定性問題。模糊矩陣在模糊綜合評價中用于表達各因素的不同的隸屬度，最終利用該矩陣進行運算得出各因素的重要程度排序。

假設某家銀行為了計劃下一個年度的貸款投資重點，對甲、乙、丙、丁這四家企業(yè)的財務信用進行了貸款風險的投資評估。評判企業(yè)財務信用的重要目標因素為企業(yè)的人才儲備、經(jīng)營能力、盈利能力和償債能力，對應的數(shù)值如表所示。通過模糊綜合評價決策出重點投資的四家企業(yè)排名。

2.2行列式在經(jīng)濟領域的應用

行列式是指由一些數(shù)值排列形成的方陣經(jīng)過計算得出的一個數(shù)。

線性方程組可用于許多真實的案例中，例如互付工資問題。工資的相互支付問題是指在提供勞動力的過程中因為多方合作所產(chǎn)生的問題。在農(nóng)忙時，各家各戶的農(nóng)民組成了一個合作小組，大家一起完成每戶的耕作、種田和收割等工作。又比如，木工、電工、油漆工等組成了一個工作小組，共同完成各個家庭的裝修工作。因為不同的工種所付出的體力勞動和腦力勞動是各不相同的，所以，我們有必要計算互付工資的標準去平衡各方的所得利益。

案例三互付工資問題

一個互助組由A，B，C三個農(nóng)民組成，每個人一共在小組成員家中工作6天（在自己家干活的天數(shù)也包含其中），使得他們?nèi)齻€人家里的所有農(nóng)活恰好完成，其中A在A，B，C三人家中工作的天數(shù)依次為：2，2.5，1.5;B在A，B，C三人家中都干2天活，C在A，B，C三人家中工作的天數(shù)依次為：1.5，2，2.5。根據(jù)三個人的工作類型、速度與時間，他們認為他們?nèi)齻€人兩兩的支出與收入平衡，所以他們之間不用相互支付工資。然后，三個人在隔壁村莊分工合作干了2天活，而且每個人的工作類型和強度都不變，三人一共得到了500元工資。他們?nèi)绾魏侠淼胤峙溥@500元工資？

3結論與討論

3.1本文的主要結論

近年來，隨著科學技術的發(fā)展，線性代數(shù)的應用領域擴展越來越迅速，經(jīng)濟活動的實踐離不開數(shù)學，線性代數(shù)在經(jīng)濟生活中發(fā)揮著至關重要的作用。

經(jīng)濟學中應用線性代數(shù)主要是運用其概念、性質和思想等。文中的案例分為兩種，一種是直接應用線性代數(shù)，另外一種是間接應用線性代數(shù)。

1）.經(jīng)濟學中直接應用線性代數(shù)。直接運用線性代數(shù)來計算經(jīng)濟問題并可直接得出結果的，如用矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和矩陣的逆，行列式，線性方程組等概念或性質直接用于經(jīng)濟問題中的數(shù)據(jù)，從而計算得到結果。這種應用較為普遍，企業(yè)直接運用線性代數(shù)，能夠找到?jīng)Q策的理論依據(jù)，不會盲目投入與生產(chǎn)，造成企業(yè)的經(jīng)濟損失。

2）.經(jīng)濟學中間接應用線性代數(shù)。經(jīng)濟學中間接運用線性代數(shù)不是直接套用線性代數(shù)的公式，而是在經(jīng)濟學中解決問題時自然而然滲透著線性代數(shù)的思想，例如用模糊綜合評價、層次分析法分析經(jīng)濟問題以及線性規(guī)劃等。間接運用通常是在經(jīng)濟學中把較難的問題利用線性代數(shù)的思想巧妙地解決，使復雜的問題簡單化。因為大多數(shù)的經(jīng)濟問題都不可能只用線性代數(shù)的問題解決，通常還需要經(jīng)濟學的理論知識和社會經(jīng)驗等，不能夠直接運用線性代數(shù)，所以間接運用線性代數(shù)才是經(jīng)濟領域中應用線性代數(shù)的主流。間接運用線性代數(shù)來描述較為復雜的經(jīng)濟現(xiàn)象，例如國民收入、消費、經(jīng)濟活動等，有利于人們正確把握社會經(jīng)濟活動的規(guī)律。

綜上，線性代數(shù)增強了經(jīng)濟學的可靠性、科學性、客觀性，使之得出的決策更加令人信服，為經(jīng)濟學家們更好地解釋和預測經(jīng)濟行為提供了一種更有利的手段，為人們的經(jīng)濟生活提供了正確的指導。

3.2本文優(yōu)點與不足之處

對于線性代數(shù)在經(jīng)濟領域中的應用，本文歸納出了矩陣、行列式、線性方程組等知識的應用，并進行了一定的分析研究，加深了人們對線性代數(shù)在經(jīng)濟領域應用情況的了解。但是本文也存在著許多不足之處。最大的不足是缺乏大量的真實數(shù)據(jù)作為本文案例的支撐。由于企業(yè)對于數(shù)據(jù)的保密，無法從各種渠道得到適合且匹配的數(shù)據(jù)進行模型的搭建，就只運用了理論知識就某些簡化的經(jīng)濟系統(tǒng)進行舉例，具有一定的主觀性，有待創(chuàng)造條件深入研究，做進一步的完善。

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