數(shù)學

數(shù)學思維藝術的啟蒙

數(shù)字和數(shù)學最初的概念來自于現(xiàn)實世界，來自于人和動物、石頭、土地——古埃及壁畫中就描繪了記錄官丈量麥田的場景。對古人而言，數(shù)字是實在的，數(shù)學也是實用的。計數(shù)應該說是最早的數(shù)學思維，那么計數(shù)到底指的是什么呢？其實，早期計數(shù)的概念可能只涉及“質”而不涉及“量”，也就是說，它一定會涉及具體形象的實物，而不像現(xiàn)代數(shù)學那樣抽象。

古 埃及壁畫中記錄官員丈量麥田的圖景

人類本質能力的高峰（漫畫）

史前時代與最初的文明孕育出了數(shù)學的概念，并被人們運用在實際生活中（如瑪雅人的“結繩記事”等），因此在人類歷史上，古典時代之前的數(shù)學主要著眼于數(shù)牲口、丈量土地、糧食稱重以及房屋建筑等。而古代希臘、埃及、巴比倫、中國和印度等文明也共同為算術、幾何學、代數(shù)學和數(shù)論的形成打下了基礎。左邊這幅漫畫表明，在生物界，也只有進化到一定階段的人類，才有可能開始用數(shù)學表達對世界的抽象認識。

描繪拓撲學開端的畫作——《柯尼斯堡7橋問題》

而右頁左下角這幅中世紀的版畫，則驗證了畢達哥拉斯學派的理論——“比例”在數(shù)學與音樂中應該是一種共用的形式。作為享譽世界的古希臘數(shù)學家、音樂家，畢達哥拉斯應該算作是人類歷史有記載以來的第一位純粹的數(shù)學家，他 第一個運用演繹的數(shù)學方法證明了千古流芳的數(shù)學定理：a2+b2=c2（“畢達哥拉斯定理”又稱“勾股定理”）;同時他也是第一個證明數(shù)字比例既可用來計算又可進行音樂創(chuàng)作的人。他在試驗中發(fā)現(xiàn)，當弦的長度之比為整數(shù)，撥動琴弦時會產(chǎn)生和諧的音調，似乎是一條普適的規(guī)律。他開始意識到撥動不同長度的琴弦時會產(chǎn)生不同的樂感。如果說數(shù)學中存在美感，那么，將數(shù)學法則應用于音樂，則應該會有悅耳之聲響起。一些見解獨到的研究者認為，數(shù)學是賦予不同事物相同名稱的藝術——它在其中展現(xiàn)了不同于其他科學的、創(chuàng)造性的自由。數(shù)學家的唯美理想甚至蘊含著一種連十二音音樂亦不能與之媲美的特殊嚴謹性。

畢達哥拉斯的通用數(shù)字比例

數(shù)學不僅促成了創(chuàng)新，更造就了創(chuàng)新思想所需的自由?！犊履崴贡?橋問題》是一幅描繪瑞士柯尼斯堡含有7橋的畫作，畫中顯示出了7橋中的6座，但畫中右下角的女士遮擋住了第7座橋——在這座城中，7座橋連通大陸和兩個島嶼。這幅畫作的出現(xiàn)，給18世紀帶來了一個最著名的數(shù)學問題：如何走過所有7座橋并回到原點，卻不重復通過某一座橋？瑞士數(shù)學家歐拉將這個問題巧妙地簡化成了一張圖（和現(xiàn)代坐標系圖不同，他的圖含有被稱為節(jié)點的點和被稱為邊的直線），并證明這個問題無解，因為此問題含有4個節(jié)點和奇數(shù)個連接。他的證明開創(chuàng)了一門新的數(shù)學學科：拓撲學。作為幾何學的分支，拓撲學主要是研究幾何圖形如何在連續(xù)彈性可變化情況下保持性質不變的數(shù)學學科。

數(shù)學藝術的表達者

法國數(shù)學家笛卡兒，因將幾何坐標體系公式化而被公認為解析幾何之父，他的思想理性但行為藝術——這正是一位大數(shù)學家所應具備的特質。傳統(tǒng)解析幾何對于運動的物體無能為力，而在與變量有關的廣闊天地里，解析幾何卻大有用武之地?，F(xiàn)代許多高新技術產(chǎn)品的設計造型都離不開數(shù)學中曲線方程的應用，如飛機、船舶、航天器等。人們有時都不知道其中優(yōu)美曲線的產(chǎn)生是遵循誰發(fā)明的方程形式去進行的。

郵票畫上的兩位享譽世界的中國古今數(shù)學家——祖沖之和華羅庚

在右圖中，笛卡兒讓人們知道了他及其所創(chuàng)立的解析幾何之眾多曲線;而另一幅畫描繪的是一位藝術家筆下的數(shù)學，“‘雞算”等式，計算結果竟然得到一個“零‘蛋”，這真是一個絕妙的開方等式，也說明了數(shù)學家與藝術家的一體兩面性。

以“華氏定理”“華氏不等式”等享譽國際數(shù)學界的中國現(xiàn)代著名數(shù)學家華羅庚在《從祖沖之的圓周率談起》中說道：“祖沖之不僅是一位數(shù)學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂，并且還是一位文學家。祖沖之制定的《大明歷》，改革了歷法，他將圓周率算到了小數(shù)點后7位，是當時世界上最精確的圓周率數(shù)值，而他創(chuàng)造的‘密率聞名于世?！?p>

笛卡兒幾何下的諸多美妙曲線（繪圖/ 劉夕慶）

藝術家筆下的“雞”算等式

計算圓周率是一件需要智慧的事，同時也需要技藝，我們知道，在一個圓里畫內(nèi)接正多邊形，計算這個正多邊形的總邊長，就可以得到圓周長的近似值——這種方法稱為“割圓術”。才藝雙全的祖沖之當時因將這種計算演繹到了極致，因此創(chuàng)造了密率。而只有博學多才，才能讓身為文學家、音樂家的祖沖之取得如此偉大的成就。

題圖為數(shù)學家、物理學家約翰·馮·諾伊曼科學肖像。他曾于1947年發(fā)表過著述，將理論物理和數(shù)學加以比較。據(jù)他稱，這兩門學科都研究所謂的客觀問題，但“即便在這種情況下，數(shù)學家在總體上有著改變研究對象的自由，而在理論物理中，重要的問題通常是必須解決的沖突和矛盾。數(shù)學家有許多領域可以研究，他們幾乎可以完全自由地決定在研究中做些什么”。也就是說，數(shù)學家就像從事繪畫、作曲的藝術家們一樣自由，可以隨時由他們的直覺自行地決定創(chuàng)新主題——例如，中世紀印度數(shù)學家婆羅摩笈多所研究的成果，后來竟然揭示了天文學中的一些數(shù)學奧秘。

數(shù)學應用的藝術

應用數(shù)學是利用數(shù)學方法解決實際問題的一門學科，在經(jīng)濟金融、工程科技等領域都有廣泛運用。它的誕生實際上是一種所謂純粹數(shù)學思維被巧妙實際運用的藝術。很多時候，自由的藝術開始創(chuàng)新了數(shù)學，而數(shù)學應用依然得靠這種“藝術形式”獲得它應有的內(nèi)在價值。

現(xiàn)代學者普遍認為，數(shù)學中一些最重要的創(chuàng)新可以被形容為對既有范式的突破。人們突然意識到，可以用另一種眼光看待已知事物而產(chǎn)生的數(shù)學進步，比如把變量引入計算就是一種創(chuàng)新。這種自由大膽的思維轉變正是數(shù)學所倡導的，也是應用數(shù)學呈現(xiàn)給工程師、物理學家或其他使用者的東西。所以，數(shù)學的自由創(chuàng)新與實際運用都是藝術與科學聯(lián)手的結果。

“會計之父”帕喬利（左）教導學生運用數(shù)學解決實際問題的畫作

意大利人帕喬利憑借經(jīng)典數(shù)學應用之作《計算與寫作》，被尊稱為“會計之父”。他在這本著作中描述了許多沿用至今的會計學要點，比如試算平衡表。在這種方法中，前一年分類賬中借方的金額被記錄在平衡表的左邊，而貸方金額則記錄在右邊。如果總數(shù)能夠平衡，那么這本賬就被認為是平衡的，否則就是不平衡的。

印度的婆羅摩笈多在自由地進行數(shù)學研究

南丁格爾利用玫瑰圖更加直觀地統(tǒng)計不同類別傷員數(shù)

長得像餅圖又不是餅圖，長得像堆積簇狀圖又非簇狀圖，這種有著極坐標的怪異統(tǒng)計圖，有著一個美麗的名字——南丁格爾玫瑰圖。它的發(fā)明者是護士行業(yè)的創(chuàng)始人兼統(tǒng)計學家南丁格爾。在南丁格爾護士生涯中，為了讓數(shù)據(jù)能夠更加形象生動，令人印象深刻，她創(chuàng)造了一種色彩繽紛的圖表形式。圖表的展現(xiàn)形式，存在一個圓心，以扇區(qū)來展示數(shù)據(jù)的大小或比重。其與傳統(tǒng)餅圖的區(qū)別在于，南丁格爾玫瑰圖既可以使用扇區(qū)的面積來區(qū)分數(shù)據(jù)的大小，也可以使用不同扇區(qū)半徑的長短來區(qū)分數(shù)據(jù)的大小，因而比普通餅圖更直觀易讀。

德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始人康托爾曾經(jīng)對自己的研究頗有感觸，他認為“數(shù)學的本質在于自由”。自由為思維創(chuàng)造了起步條件，另一方面，自由反過來又讓數(shù)學成為了一種創(chuàng)新的藝術，而藝術則又顯現(xiàn)出了臨界性，這種可預測和不可預測的結合讓我們篤信了著名華裔數(shù)學家陳省身為青少年的題詞：“數(shù)學好玩”。