π的故事

徐丁點(diǎn)

π可以這樣來(lái)計(jì)算

在探索π的道路上，不同國(guó)家的數(shù)學(xué)家們采取了不同的方法。中國(guó)人對(duì)π值的計(jì)算當(dāng)屬劉徽和祖沖之兩位數(shù)學(xué)家，他們用割圓術(shù)的方法計(jì)算出了π值;國(guó)外的一些數(shù)學(xué)家則利用一些數(shù)學(xué)公式計(jì)算出了π值，這些美妙的公式讓眾多數(shù)學(xué)愛(ài)好者趨之若鶩。就連當(dāng)代的數(shù)論大師阿特勒·塞爾伯格都表示之所以喜歡數(shù)學(xué)，是因?yàn)榈聡?guó)的萊布尼茨給出的公式深深地打動(dòng)了他，奇數(shù)1、3、5、7……以如此簡(jiǎn)潔的形式組合在一起竟可算出神秘的π，這就宛如一幅優(yōu)美的畫(huà)卷或是一首動(dòng)聽(tīng)的歌曲，激起了人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情。

如果說(shuō)π的精確公式讓人感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔和精妙，那么法國(guó)科學(xué)家蒲豐的投針實(shí)驗(yàn)則開(kāi)啟了用統(tǒng)計(jì)思維觀察和分析世界的大門(mén)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)操作很簡(jiǎn)單：找一根粗細(xì)均勻、長(zhǎng)度為d的細(xì)針，并在一張白紙上畫(huà)一組間距為l的平行線，然后反復(fù)將針任意投擲在白紙上，記錄下針與任意平行線相交的次數(shù)，通過(guò)分析可以得到針與任意平行線相交的概率為 ，將此公式變形可得到圓周率的估計(jì)公式 。如果n次中有k次與平行線相交，概率p就可以用近似，當(dāng)投擲的次數(shù)越多，近似程度就越高。

韋達(dá)（16 世紀(jì)） 法國(guó)利用倍角公式和數(shù)列極限給出根式形式公式

萊布尼茲（17 世紀(jì)） 德國(guó)從一個(gè)簡(jiǎn)單的反三角函數(shù)恒等式出發(fā)，借助求導(dǎo)、級(jí)數(shù)展開(kāi)和定積分等工具得出

蒲豐實(shí)驗(yàn)是人類(lèi)首次使用隨機(jī)方法處理確定性問(wèn)題，開(kāi)辟了π值估計(jì)的一條全新的道路。在此基礎(chǔ)上，人類(lèi)依托計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，孕育出一種全新的數(shù)學(xué)方法——隨機(jī)模擬法（又稱(chēng)蒙特卡洛法），這種方法已成為現(xiàn)代社會(huì)解決復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)大工具之一。

π的妙用

人們對(duì)π的小數(shù)位數(shù)字追求的動(dòng)力，一方面來(lái)自于破記錄的好勝心，另一方面也源于現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際需要。在計(jì)算機(jī)技術(shù)高度發(fā)達(dá)的今天，如何檢測(cè)一臺(tái)計(jì)算機(jī)的性能以及比較兩臺(tái)計(jì)算機(jī)的性能差異是很現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題。而π作為一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，又擁有眾多的計(jì)算方法，自然適合于計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算并作為檢測(cè)指標(biāo)。

利用對(duì)π位數(shù)的計(jì)算已經(jīng)成為工程師檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)可靠性、精確性、運(yùn)算速度以及容量的有力手段。讓檢驗(yàn)過(guò)的π值計(jì)算程序在待測(cè)機(jī)上運(yùn)行，看是否能夠多次準(zhǔn)確無(wú)誤地計(jì)算到預(yù)估的精度，從中發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)硬件或軟件中存在的故障，這對(duì)于投入使用之前的新機(jī)測(cè)試具有重要意義。例如1986年，一個(gè)π的計(jì)算程序成功檢驗(yàn)出一批“克雷-2（CRAR-2）”型電子計(jì)算機(jī)中的一臺(tái)有某些模糊的硬件問(wèn)題;又例如當(dāng)英特爾公司推出奔騰CPU時(shí)，就通過(guò)對(duì)π的計(jì)算找到程序設(shè)計(jì)上的一個(gè)小問(wèn)題。到了1995年，日本東京大學(xué)計(jì)算機(jī)專(zhuān)家更是制作出世界上第一個(gè)計(jì)算π的軟件——Super π，可用于測(cè)試計(jì)算機(jī)CPU的穩(wěn)定性和運(yùn)算速度。

中國(guó)人用割圓術(shù)計(jì)算π 值

高效地算出更多位數(shù)的π值，推動(dòng)著計(jì)算機(jī)技術(shù)和制造業(yè)不斷向前發(fā)展。正如屢次創(chuàng)造計(jì)算π值記錄的日本計(jì)算機(jī)專(zhuān)家金田康正所說(shuō)：“挑戰(zhàn)圓周率的計(jì)算記錄對(duì)于計(jì)算機(jī)的性能和改進(jìn)是非常有益的?！迸c此同時(shí)，計(jì)算機(jī)也能幫助檢驗(yàn)π值計(jì)算公式的優(yōu)劣。用一臺(tái)計(jì)算機(jī)在相同條件下采用不同公式計(jì)算π到相同位數(shù)，哪一個(gè)公式所需時(shí)間少，則哪一個(gè)公式就更優(yōu)越。1991年，兩位中國(guó)工程師李文軍和梁建平在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上，分別用高斯的公式? 和李文軍的公式? 進(jìn)行前20位π值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)后者所用時(shí)間更短，所以更優(yōu)越。

沃利斯（17 世紀(jì)） 英國(guó)將萊布尼茲的公式通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)轉(zhuǎn)換，形成連分?jǐn)?shù)形式

歐拉（18 世紀(jì)） 瑞士利用多項(xiàng)式理論給出無(wú)窮級(jí)數(shù)形式公式

在信息傳播領(lǐng)域，為保證信息交換過(guò)程中的安全，就需要研制安全可靠的加密機(jī)制，密碼學(xué)隨之誕生和發(fā)展。由于π擁有無(wú)限數(shù)位，并且其數(shù)位數(shù)字的排列具有隨機(jī)性和均勻分布的特點(diǎn)，所以能夠提供安全而充足的加密編碼，同時(shí)消除被統(tǒng)計(jì)分析方式破解的風(fēng)險(xiǎn)，因此常數(shù)π在密碼學(xué)中也發(fā)揮著獨(dú)特的作用?；讦械乃惴ㄓ泻芏喾N，例如有一種矩陣加密算法是從π的數(shù)位數(shù)字中提取加密矩陣元素，得到的矩陣沒(méi)有任何規(guī)律性，加密后的密文也沒(méi)有規(guī)律性。密文的解密只有選擇相同的加密矩陣，算出逆矩陣，用逆矩陣左乘密文即可。對(duì)于不同保密等級(jí)的信息，可以通過(guò)設(shè)定加密矩陣的階數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)密碼復(fù)雜度的變化。而π作為一個(gè)取之不盡的“碼源”，保證了任意階矩陣構(gòu)造的可能。

圓周率π自從誕生之日起，便與人類(lèi)一起同行。它所包含數(shù)字的無(wú)窮性和均勻分布性為其增添了神秘色彩，它的精確表達(dá)公式展現(xiàn)出清晰深刻的一面，它的廣泛應(yīng)用又拉近了與人們的距離。π就像一個(gè)精靈，自由地跳動(dòng)在理想和現(xiàn)實(shí)兩個(gè)世界中，你是否會(huì)愛(ài)上這個(gè)神奇的精靈呢？