基于Pareto解集分段預測策略的動態(tài)多目標進化算法*

馬永杰，陳滿麗，陳 敏

(西北師范大學物理與電子工程學院，甘肅 蘭州 730070)

1 引言

現(xiàn)實世界中的許多優(yōu)化問題都是多屬性的，不僅具有多個目標、多個約束條件、高維決策變量，而且這些優(yōu)化目標、約束條件、決策變量往往隨時間變化，該類問題即為動態(tài)多目標優(yōu)化問題DMOPs (Dynamic Multi-objective Optimization Problems)[1]。與動態(tài)單目標問題不同，它需要對相互沖突的子目標進行折衷，因此通常有多個最優(yōu)解，即Pareto最優(yōu)解集。

近年來，研究人員在靜態(tài)多目標算法的基礎上采用各種輔助策略，使其能快速地響應環(huán)境的改變。王洪峰等[2]總結(jié)了已有研究中的環(huán)境變化后的主要響應策略：

(1)增加種群的多樣性[3,4]。如Deb等[3]提出的DNSGA(Dynamic Non-dominated Sort Genetic Algorithm)系列算法，通過隨機引入部分個體的DNSGA-A和對其中部分個體進行變異的DNSGA-B，即為2種適應不同環(huán)境變化程度的動態(tài)多目標優(yōu)化算法。

(2)將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題[5,6]。如劉淳安等[5]利用微積分思想，對時間區(qū)間進行劃分，將任意的動態(tài)多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)多目標優(yōu)化問題來處理。

(3)多種群的方法[7,8]。如張世文等[7]提出的基于生態(tài)策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法，對精英集和非精英集采取不同的進化策略來響應環(huán)境的變化。

由于動態(tài)多目標優(yōu)化問題中環(huán)境的變化有規(guī)律可循，近年來對于歷史信息的利用受到了研究者的廣泛重視，提出了基于記憶策略[9]、基于預測策略[10 - 13]、基于動態(tài)進化環(huán)境模型[14]、基于其它智能算法[15]的動態(tài)多目標優(yōu)化算法?；谟洃浀牟呗酝ㄟ^重復利用之前搜索到的Pareto解集來快速響應環(huán)境的變化，這對于周期性變化的環(huán)境能取得不錯的效果，但對于環(huán)境非周期變化的問題效果不佳；基于預測的方法是當檢測到環(huán)境發(fā)生變化時，利用歷史信息預測新的初始種群，使種群快速響應環(huán)境的變化。

對于動態(tài)優(yōu)化問題，其種群多樣性關(guān)系到算法的搜索能力，而種群的收斂速度關(guān)系到能否及時響應環(huán)境的變化。若種群多樣性過快喪失，那么由于種群中個體的相似性，會使種群過早地收斂，無法得到高質(zhì)量的解集。因此，如何平衡種群的收斂速度和多樣性，是該類算法能否成功的關(guān)鍵。由于動態(tài)優(yōu)化問題最終得到的是Pareto最優(yōu)解集，因此如何抽取有效的歷史信息，并準確預測下一時刻的初始種群便成為預測策略的難點。為此，本文提出一種基于Pareto解集分段預測策略的動態(tài)多目標進化算法，通過所獲得的歷史信息對新環(huán)境下的種群進行分段預測，并在預測解集的周圍自適應地產(chǎn)生隨機個體，進一步提高預測的準確性。

2 問題描述

動態(tài)多目標優(yōu)化問題一般描述為：

minF(x,t)=(f1(x,t),f2(x,t),…,fm(x,t))

(1)

s.t.g(x,t)≤0,h(x,t)=0,x∈[L,V]

(2)

其中，t為時間變量，x=(x1,x2,…,xn)是n維變量，L=(l1,l2,…,ln),V=(v1,v2,…,vn)是搜索空間的上下邊界，g(x,t)和h(x,t)分別為不等式約束和等式約束，有m個目標函數(shù)f(x,t)并隨時間變化。

設x和y為種群中任意2個不同的個體，若滿足對所有的子目標均有x不比y差，即fk(x,t)≤fk(y,t)，k=1,2,…,m，且至少存在一個子目標使x比y好，即?j∈{1,2,…,m}，使fj(x,t)

根據(jù)Pareto最優(yōu)解集和Pareto最優(yōu)前沿隨時間變化的情況，DMOPs可以分為以下4類[1]：

(1)Pareto最優(yōu)解集隨時間變化而Pareto最優(yōu)前沿不隨時間變化；

(2)Pareto最優(yōu)解集不隨時間變化而Pareto最優(yōu)前沿隨時間變化；

(3)Pareto最優(yōu)解集和Pareto最優(yōu)前沿都隨時間變化；

(4)Pareto最優(yōu)解集和Pareto最優(yōu)前沿都不隨時間變化。

3 分段預測算法

種群的收斂速度和多樣性的維持是算法能否快速適應動態(tài)環(huán)境的關(guān)鍵。研究者的大量實驗表明，利用種群進化的歷史信息對最優(yōu)解的潛在區(qū)域進行預測，對于提高種群收斂速度能取得令人滿意的效果。分段預測策略相當于將種群分為多種群，進而通過多種群維持種群多樣性。文獻[16]的研究表明，多種群策略把種群劃分成多個子種群，一部分用于進一步開發(fā)，跟蹤當前的極值點，另一部分繼續(xù)探索整個空間，尋找新的極值點，從而提升算法的搜索效率。通過多種群維持種群多樣性的方式有助于探索有前景的搜索區(qū)域。

因此，本文提出了一種基于Pareto解集分段預測策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法，該算法的預測機制發(fā)生在種群進化的整個過程中。當環(huán)境未發(fā)生變化的時候，通過預測策略插入若干引導個體，加快種群收斂速度；當環(huán)境發(fā)生變化的時候，由于多目標優(yōu)化問題的特殊屬性，得到了多個最優(yōu)解，所以只需要抽取能反映Pareto最優(yōu)前沿分布的特征點并進行預測。此外，為了進一步提高預測的準確性，采用分段預測策略，即在檢測到環(huán)境發(fā)生變化后，將上一時刻所得到的Pareto解集按照任意一個子目標函數(shù)的函數(shù)值fj(x,t)進行排序，并按照函數(shù)值fj(x,t)的大小將Pareto解集均勻地分為3段；然后分別計算每一段Pareto解集中心點的移動方向，對每一段子集進行系統(tǒng)抽樣得到Pareto前沿面的特征點；最后利用線性模型結(jié)合每個子集中心點移動方向分段預測下一代種群；同時，在預測的解集周圍自適應地產(chǎn)生若干隨機個體，以保持種群的多樣性。

3.1 Pareto解集中特征點的抽取

環(huán)境發(fā)生變化后，對Pareto解集進行預測的基礎是使用大量的歷史數(shù)據(jù)，然而，多目標優(yōu)化問題得到的是Pareto最優(yōu)解集，為了降低計算復雜度，需要抽取一些特征點近似描述Pareto最優(yōu)前沿，那么如何抽取Pareto最優(yōu)前沿中的特征點呢？彭星光等[17]提出了基于超塊的Pareto解的選取方法，武燕等[18]提出了通過應用K-means求質(zhì)心的方法抽取特征點，都取得了一定的效果，但也都相對較復雜?；诔瑝K的抽取方法依賴于區(qū)間分度參數(shù)的取值，還需要計算Pareto解與超塊頂端點的距離，計算復雜度較大；基于聚類求質(zhì)心的方法，初始聚類中心的選擇對聚類結(jié)果的影響很大且在K-means算法中K是事先給定的，這個K值是非常難以估計的，大多數(shù)情況下事先并不知道給定的數(shù)據(jù)集應該分成多少個類別才最合適。

基于以上分析，本文在目標空間利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取Pareto解集中的特征點。先將種群中的個體按目標函數(shù)fj(x,t)由小到大排列，并確定抽樣間距k，然后在1～k隨機選取一個整數(shù)i，以它作為起始單元的編號，逐個抽取樣本單元，直至抽取到Pareto解的目標函數(shù)值fj(x,t)最大時為止。此外，為了確保抽取的解集更加寬廣，保留邊界點作為描述Pareto前沿的特征點。系統(tǒng)抽樣實施起來相對簡單且只有一個初始個體需要隨機抽取，很容易得到一個在整個種群中分布均勻的子集。

3.2 種群移動方向的計算

李智勇等[19]提出了將Pareto解集分為PS圖像的中心點和除中心點以外的所有點所形成的曲線。t時刻種群中心點定義為：

(3)

因此，為了更精確地描述種群Pareto解集的移動方向，本文將種群中心點修改為：

(4)

然而，Pareto解集在其目標函數(shù)空間中的表現(xiàn)形式并非是線性的，所以僅僅利用一個方向無法準確詮釋整個種群的進化方向。因此，本文提出了在目標空間中進行分段預測的算法。

(5)

最后，對每段Pareto子集進行系統(tǒng)抽樣得到Pareto前沿面的特征點，利用線性模型結(jié)合式(5)中所計算出的子集中心點移動方向分段預測下一代種群。

3.3 預測點集

Zhou等[20]對比了二次回歸模型(Quadratic Regression Model)、反向傳播模型(Backpropagation Network Model)以及線性模型(Linear Model)在雙目標測試函數(shù)上算法的反向代距離IGD(Inverted Generational Distance)值，其仿真實驗表明，在動態(tài)環(huán)境中，線性模型比非線性模型更適合預測解集。劉若辰等[21]設計的基于預測策略的動態(tài)多目標免疫優(yōu)化算法，其實驗已經(jīng)證明基于線性預測機制，不僅算法的復雜度低，且在動態(tài)環(huán)境中得到的解集對IGD的跟蹤能力得到極大的增強。因此，為了降低預測的復雜度，本文選用線性模型進行預測[17,21]。

(6)

當環(huán)境未發(fā)生變化時，在每一代種群中插入若干引導個體，加快收斂速度。引導個體由式(7)產(chǎn)生：

xiter+1=xiter+diter

(7)

其中,iter為種群進化代數(shù)，diter為種群連續(xù)2代進化方向，可由式(8)計算獲得：

diter=citer-citer-1

(8)

其中

(9)

PSiter為種群進化到第iter代得到的最優(yōu)解集。

(10)

其中，random(a,b)函數(shù)返回一個a～b的隨機數(shù)。li和vi分別是變量x第i維xi的最小值和最大值，i=1,2,…,n。

所要優(yōu)化的問題越復雜，種群就越不容易收斂到最優(yōu)解集；在相同的迭代次數(shù)下，問題越復雜時，得到的Pareto解集越少；動態(tài)優(yōu)化問題收斂的難易程度不同，迭代得到的Pareto解集數(shù)量也不同，那么所抽取得到的特征點的數(shù)目也隨之變化。因此，本文設計了自適應的多樣性保持策略。種群進化過程中，種群規(guī)模保持不變。通過預測特征點產(chǎn)生的下一時刻解集越多，隨機產(chǎn)生的用來維持種群多樣性的個體就越少。此處，隨機產(chǎn)生的個體由上一時刻種群經(jīng)高斯變異產(chǎn)生，即:

xt+1=gaussand(xt,δ)

(11)

其中,xt為預測點，gaussand(xt,δ)產(chǎn)生以xt為均值、δ為方差的高斯隨機數(shù)，δ用來控制鄰域的大小。

為了保持種群規(guī)模，采用自適應的多樣性保持策略，上一時刻種群經(jīng)高斯變異產(chǎn)生新的隨機個體。如果目標函數(shù)越難收斂，得到的最優(yōu)解集越少，那么隨機產(chǎn)生的個體就越多；目標函數(shù)越容易收斂，得到的最優(yōu)解集越多，隨機產(chǎn)生的個體就越少。

本文算法的偽代碼如算法1所示。

算法1基于Pareto解集分段預測策略的多目標進化算法

if環(huán)境未變化then

插入引導個體xiter+1=xiter+diter

else

邊界檢測;

if種群規(guī)模減少then

高斯變異隨機生成新個體xt+1=gaussand(xt,δ)

endif

endif

4 仿真實驗結(jié)果及分析

為了驗證本文算法對于解決動態(tài)多目標優(yōu)化問題的有效性，選取了FDA系列和DMOP系列測試函數(shù)對算法進行測試，并與著名的DNSGA系列算法進行比較。

4.1 測試函數(shù)

動態(tài)多目標優(yōu)化問題主要分為4類，本文主要研究前3種類型的動態(tài)變化，因此選用測試函數(shù)FDA1、FDA2、FDA3、FDA4、DMOP1、DMOP2。其中FDA1、FDA4屬于第1類問題，F(xiàn)DA2、DMOP1屬于第2類問題，F(xiàn)DA3、DMOP2屬于第3類問題，能夠較全面地測試本文算法的性能。

4.2 性能指標

動態(tài)多目標優(yōu)化算法的目標是在動態(tài)環(huán)境下盡可能地收斂到Pareto最優(yōu)前沿PFt，同時需要保持解集多樣性[13]。本文采用反向代距離IGD和收斂指標CM(Convergence Metric)作為評測指標。IGD是評價算法收斂速度和種群多樣性性能的綜合評價指標。理想的IGD值為0，IGD值越小，代表算法收斂速度越快，同時種群多樣性越好。IGD的計算方式如下所示：

(12)

(13)

其中，PFt是t時刻真實的Pareto最優(yōu)前沿中一組均勻分布的解集，Pt是t時刻種群進化得到的解集，fj(v,t),fj(u,t)為個體v和u的第j個目標值，d是v與u之間的最小歐氏距離。

為了進一步測試DMOEA的性能，Zhou等人[20]提出了一種改進的IGD評估指標MIGD(Modified Inverted Generational Distance):

(14)

其中,T為一組離散的時間點。

CM是評價算法所得解集的收斂性的評價指標,表示該組近似Pareto最優(yōu)解與真實Pareto最優(yōu)前沿之間的距離。其值越小表示收斂能力越強。

若P*=(p1,p2,…,p3,…,p|P*|)是真正的Pareto最優(yōu)前沿上的參考或目標點集合，A=(a1,a2,a3,…,a|A|)是算法獲得的最終近似Pareto最優(yōu)集，則ai∈A與P*的最小歸一化歐氏距離為：

i=1,2,…,|A|;j=1,2,…,|P*|}

(15)

(16)

4.3 參數(shù)設置

將本文算法與DNSGA算法進行對比，都采用非劣排序遺傳算法NSGA-Ⅱ作為框架。其中，種群規(guī)模為100*20，交叉概率為0.9，變異概率為0.1，交叉和變異的分布指數(shù)均為20。DNSGA算法在環(huán)境變化后隨機產(chǎn)生20個個體。測試函數(shù)環(huán)境變化的幅度τT=10，環(huán)境變化頻率nT=30，即算法運行30代環(huán)境變化一次。算法運行360代，共經(jīng)歷12個環(huán)境。對于每個測試問題2種算法獨立運行50次。此外，本文算法中，當環(huán)境未發(fā)生變化時，在每一代種群中插入5個預測得到的引導個體，加快種群的收斂速度；當環(huán)境發(fā)生變化時，抽取Pareto最優(yōu)解集特征點的抽樣間距k設置為3，產(chǎn)生自適應隨機個體的方差δ設為0.35[18]。

4.4 實驗結(jié)果及分析

實驗中，對2種算法運行后的每個環(huán)境所得的近似最優(yōu)解集和最優(yōu)前沿面進行記錄，并選擇其中6個不同環(huán)境的解集進行繪制。為了方便描述，記本文算法為BPDMOP。圖1為BPDMOP和DNSGA算法對于6種測試函數(shù)在不同環(huán)境中求解得到的Pareto解集。由于多目標優(yōu)化算法的隨機性，所以每次運行多目標優(yōu)化算法的效果都可能不同，即使對同一個問題進行優(yōu)化，每次優(yōu)化結(jié)果都可能存在著差異。因此，衡量實驗效果優(yōu)劣的指標必然是一個統(tǒng)計指標。圖2和圖3分別給出了BPDMOP和DNSGA算法獨立運行50次、在12個不同的環(huán)境下測試函數(shù)所得到的IGD值和CM值。不同環(huán)境下算法獨立運行50次的IGD和CM性能指標的均值如表1所示，其中加粗字體表示IGD均值和CM均值較小，說明對應算法具有較好的收斂性和多樣性。

4.4.1 與DNSGA算法的性能比較

圖1a、圖1c、圖1e、圖1g、圖1i、圖1k分別是BPDMOP算法在FDA1、FDA2、FDA3、FDA4、DMOP1、DMOP2測試函數(shù)上得到的在不同環(huán)境下的最優(yōu)前沿分布圖，圖1b、圖1d、圖1f、圖1h、圖1j、圖1l分別是算法DNSGA在FDA1、FDA2、FDA3、FDA4、DMOP1、DMOP2測試函數(shù)上得到的在不同環(huán)境下的最優(yōu)前沿分布圖,F1和F2分別為函數(shù)值。從圖1中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，2種算法在FDA1、FDA2、DMOP1上都能收斂到最優(yōu)前沿，但對于FDA3、FDA4、DMOP2函數(shù)DNSGA算法幾乎得不到最優(yōu)解集。

對于第1類問題，隨著時間的變化，Pareto最優(yōu)解集發(fā)生變化，而Pareto最優(yōu)前沿不變。從圖1中可以看出，BPDMOP算法在第3個環(huán)境時就收斂到了最優(yōu)解集，而且隨著環(huán)境的變化，Pareto前沿逐漸接近理想Pareto前沿面，這是因為BPDMOP算法在環(huán)境變化后引入預測點集，從而使得算法能夠快速搜索到Pareto最優(yōu)解集的可能區(qū)域。而DNSGA算法對于FDA1函數(shù)，幾乎在第8個環(huán)境時才收斂到最優(yōu)解集，對于FDA4幾乎收斂不到最優(yōu)前沿，這是因為DNSGA算法雖然引入了若干隨機個體，擴大了搜索空間，但是收斂所需時間較長，影響了算法的優(yōu)化效果。如表2所示，對于FDA1和FDA4函數(shù)BPDMOP算法的IGD均值和CM均值都小于DNSGA算法的。

對于第2類問題，從圖1c、圖1d和圖1i、圖1j看出，2種算法對于FDA2和DMOP1函數(shù)所獲得的解集基本相似，但對于DMOP1函數(shù)2種算法在第1個環(huán)境得到的解集都不太好，導致DMOP1函數(shù)的IGD均值和CM均值都較大。而對于FDA2，2種算法的IGD性能指標相差不大，且CM指標都相對較小，如表1所示。由于第2類問題FDA2函數(shù)的特殊屬性即真實PS位置是不隨時間的改變而變化的，當新環(huán)境到來時，繼續(xù)在上一時刻的最優(yōu)PS位置進行搜索可能會加速種群的收斂速度。因此，通過預測機制在上一時刻最優(yōu)PS位置附近搜索新時刻的最優(yōu)解集，可能需要更多次的迭代進化。

對于第3類問題，隨著時間的變化，Pareto最優(yōu)解集和Pareto最優(yōu)前沿均發(fā)生了變化。從圖1e、圖1f和圖1k、圖1l可以看出，不同的環(huán)境下，BPDMOP算法獲得的解集比DNSGA獲得的解集都要好，并且能近似收斂到最優(yōu)前沿，說明引入的預測機制奏效了。如表2所示，2種算法在FDA3上的CM均值比在FDA1和FDA2上的都大，說明第3類問題較第1類和第2類問題收斂更困難。綜上所述，BPDMOP在6個測試函數(shù)上得到的解集相對于DNSGA獲得的解集分布更均勻且更接近最優(yōu)解集。圖1和表1表明，本文算法引入的預測策略和自適應多樣性保持策略是有效的，提高了算法對動態(tài)環(huán)境的適應能力。

4.4.2IGD性能評價

IGD表征算法獲得種群的收斂性和分布性。為比較本文算法和DNSGA算法的性能，選擇FDA1、FDA2、FDA3、FDA4、DMOP1、DMOP2 6個標準測試函數(shù)，分別對2種算法運行50次，并繪制了不同測試函數(shù)在12個環(huán)境下的IGD值對比圖。如圖2所示，對于FDA1、FDA3、FDA4、DMOP1、DMOP2函數(shù)，本文算法的IGD值都比DNSGA算法的小，且在12個不同的環(huán)境下，IGD值波動較小，說明本文算法相對穩(wěn)定。對應于它們的解集分布圖，本文算法所得到的解集更接近于最優(yōu)解集，且分布更均勻。但是，對于FDA2，由于FDA2函數(shù)的特殊屬性，本文算法在3個環(huán)境下的IGD值比DNSGA的大。從表1可以看出，對于DMOP1、DMOP2函數(shù)，2種算法在FDA2上的IGD均值和CM均值相對于其他測試函數(shù)都稍大一點，可能是DMOP系列測試函數(shù)相對于FDA系列更難收斂。

Figure 2 Comparison of IGD mean values of the two algorithms圖2 2種算法的IGD均值對比

4.4.3MIGD性能評價

為了進一步測試算法的性能，采用MIGD指標和PPS(Population Prediction Strategy)[20]、FPS(Feed-forward Prediction Strategy)[22]算法進行了對比，測試函數(shù)F5～F7是Zhou等人[20]為測試PPS新提出的函數(shù)。測試結(jié)果如表2所示。

Table 2 Comparison of MIGD with PPS and FPS表2 與PPS,FPS算法的MIGD比較

從表2可以看出，PPS在F5和F6上具有明顯的優(yōu)勢，BPDMOP在傳統(tǒng)的測試函數(shù)上性能較好。

4.4.4CM性能評價

收斂度量CM表示算法所得近似Pareto最優(yōu)解與真實Pareto最優(yōu)前沿之間的距離。收斂度量值越小，表示收斂能力越強。為比較本文算法和DNSGA算法的性能，選用FDA1、FDA2、FDA3、FDA4、DMOP1、DMOP2 6個標準測試函數(shù)，2種算法獨立運行50次，記錄12個環(huán)境下的CM均值。如圖3所示，對于第1類問題，其Pareto最優(yōu)解集隨時間變化而Pareto最優(yōu)前沿不隨時間變化，本文算法的CM值都接近于0，表明本文算法對于最優(yōu)解集隨時間變化而最優(yōu)前沿不隨時間變化的這一類型問題具有獨特的優(yōu)勢。對于第2類問題，2種算法的CM值相差不大，且對于不同的環(huán)境，都相對穩(wěn)定。但是，對于DMOP1函數(shù)2種算法的CM值稍大一點，說明DMOP1比FDA2難收斂到最優(yōu)解集。對于第3類問題，2種算法的CM值比其他2類問題的CM值都大?？赡苁怯捎诘?類問題的最優(yōu)解集和最優(yōu)前沿都隨時間發(fā)生變化，收斂的難度較大，如表1所示。綜上可以得到，在相同的實驗條件下，BPDMOP算法對于解決動態(tài)問題更有效，種群收斂速度更快。

Figure 3 Comparison of CM mean values of the two algorithms圖3 2種算法的CM均值對比

5 結(jié)束語

針對動態(tài)多目標優(yōu)化問題的特點，本文提出了基于Pareto解集分段預測策略的動態(tài)多目標優(yōu)化算法BPDMOP。通過利用歷史信息進行最優(yōu)解的預測，加快了種群的收斂速度并且提高了算法應對環(huán)境變化的能力。對于歷史信息的提取，采用系統(tǒng)抽樣的方法確保Pareto前沿分布的多樣性，并采用分段預測，將解集分為3段進行預測，進一步減小預測誤差。同時，采用自適應的多樣性保持策略，提高了算法對動態(tài)環(huán)境的適應能力。本文將改進算法應用于NSGA2算法框架上，并通過FDA1～FDA4、DMOP1和DMOP2 6個標準測試函數(shù)，測試了不同環(huán)境下算法所得到的解集的收斂性和分布性，并和經(jīng)典的DNSGA算法進行了比較。實驗和分析結(jié)果表明，本文所提算法BPDMOP在應對動態(tài)多目標優(yōu)化問題上具有一定的優(yōu)勢，能夠有效求解動態(tài)多目標優(yōu)化問題。

本文提出的改進算法能有效改善種群收斂的速度和多樣性，但由于FDA系列問題的決策變量之間是線性相關(guān)的，本文的分段預測算法采用的是線性預測策略，在許多決策變量之間是非線性相關(guān)的問題上并不是很理想，無法適應更多種類的優(yōu)化問題，這也是今后需要繼續(xù)研究的內(nèi)容。

隨著社會和科技的發(fā)展，動態(tài)多目標優(yōu)化必將得到更廣泛的應用，但是由于動態(tài)多目標優(yōu)化問題的研究尚處于理論研究階段，如同文獻[23]所述，在算法應用方面研究相對較少，因此如何結(jié)合實際生活中的動態(tài)多目標優(yōu)化問題來設計算法也將是未來該領(lǐng)域的研究重點。