基于二分搜索改進(jìn)Karnik-Mendel算法的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)降型*

陳 陽(yáng)，王 濤

(遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,遼寧 錦州 121001)

1 引言

作為一種新興技術(shù)，區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)[1 - 5]已被成功應(yīng)用在許多有較高不確定性和非線性特征的領(lǐng)域。盡管如此，自從廣義二型模糊集的α-平面(或稱z切片)表達(dá)理論[6-9]被幾個(gè)不同的研究小組提出后，學(xué)術(shù)界許多關(guān)注從區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)轉(zhuǎn)向了廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)。由于廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜度被顯著降低，這使得它們?cè)诮鼛啄曛饾u被應(yīng)用在如邊緣檢測(cè)[10]、模糊控制[11]和預(yù)測(cè)[12]等具有較強(qiáng)不確定性領(lǐng)域。廣義二型模糊集的次隸屬度介于0～1，所以它們可看成比區(qū)間二型模糊集更高階的模糊集參數(shù)模型。隨著設(shè)計(jì)自由度增加，廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)在處理某些不確定性問題上比區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)更有潛力。

廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)一般由模糊器、規(guī)則庫(kù)、推理機(jī)、降型器和解模糊器5個(gè)模塊構(gòu)成，如圖1所示[9]。降型是系統(tǒng)的核心模塊，它把二型模糊集映射成一型模糊集，而解模糊化又把一型模糊集變成明確輸出值。當(dāng)前最流行的改進(jìn)Karnik-Mendel EKM(Enhanced Karnik-Mendel)算法具有保持不確定性在上級(jí)和下級(jí)隸屬函數(shù)之間流動(dòng)的優(yōu)勢(shì)。盡管如此，這類算法計(jì)算很密集。Liu等人[13,14]給出了EKM算法初始化理論解釋，并擴(kuò)展EKM算法為3種不同加權(quán)形式的加權(quán)EKM WEKM(Weighted EKM)算法計(jì)算區(qū)間二型模糊集質(zhì)心。為了提高計(jì)算效率，邢?；ǖ热薣15]提出了一種二分搜索改進(jìn)Karnik-Mendel BEKM(Binary-search EKM)算法計(jì)算區(qū)間二型模糊集質(zhì)心。這些工作為研究廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型奠定了一定的基礎(chǔ)。

Figure 1 A general type-2 fuzzy logic system圖1 一個(gè)廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)

基于廣義二型模糊集的α-平面表達(dá)理論，本文討論了廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的模糊推理、降型和解模糊化等模塊，并提出用BEKM算法完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。通過2個(gè)計(jì)算機(jī)仿真示例闡述了BEKM算法相對(duì)于EKM算法的表現(xiàn)，當(dāng)計(jì)算系統(tǒng)質(zhì)心降型集右端點(diǎn)時(shí)，BEKM算法在不損失計(jì)算精度的前提下明顯快于EKM算法。

2 廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)

從推理角度考慮，廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)可分為Mamdani型[16]和TSK(Takagi-Sugeno-Kang)型[11,17]。這里研究Mamdani型廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)降型。不失一般性，考慮一個(gè)有n個(gè)輸入x1∈X1,…,xn∈Xn和一個(gè)輸出y∈Y的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)。 該系統(tǒng)可由M條模糊規(guī)則描述，其中第s條規(guī)則的形式為：

(1)

(2)

對(duì)于每條模糊規(guī)則，其在特定的α水平下的激發(fā)區(qū)間為：

(3)

其中,p為前件數(shù)，T表示乘積t-范數(shù)或取小t-范數(shù)。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

聚合所有的YC,α得出最終的一型降型集YC,即:

(10)

設(shè)α-平面的個(gè)數(shù)為m,即把α均勻分解成α1,α2,…,αm,則廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)輸出為:

(11)

3 BEKM算法

(12)

(13)

其中，k和k′表示切換點(diǎn)。

相比于最初的KM算法，EKM算法改進(jìn)了以下3個(gè)方面：

(1) 提出了更好的初始化方法；(2) 去掉一步不必要的迭代來(lái)改變迭代終止條件；(3) 設(shè)置巧妙的計(jì)算方法以減少算法每次迭代的計(jì)算消耗。

盡管如此，EKM算法仍然計(jì)算密集。BEKM算法又在以下2方面改進(jìn)了EKM算法：

(1) BEKM算法設(shè)置初始化切換點(diǎn)為k=[N/2],這種設(shè)置會(huì)適合任意類型的二型模糊集。EKM算法設(shè)置初始化左右切換點(diǎn)分別為k=[N/2.4]和k′=[N/1.7],這導(dǎo)致當(dāng)真正的切換點(diǎn)遠(yuǎn)離初始化切換點(diǎn)時(shí)，EKM算法的計(jì)算效率大幅降低。

(2) EKM算法在每次迭代中都從1開始向上至N-1搜索切換點(diǎn)k′,而BEKM算法在每次迭代中都縮減[N/2]的范圍，因此，后者的計(jì)算效率更高。

(1)把主變量均勻離散成N個(gè)點(diǎn)，即yi(i=1,2,…,N)。

(2)初始化：設(shè)置kmax=N,kmin=1,且k=(kmax+kmin)/2。

(5)如果yk>y，則設(shè)置kmax=k-1且轉(zhuǎn)入步驟(7)；否則，進(jìn)入步驟(6)。

(6)如果yk+1≤y，則設(shè)置kmin=k+1且轉(zhuǎn)入步驟(7)。

(8)設(shè)置y=y′,a=a′,b=b′，且返回步驟(4)。

(1) 把主變量均勻離散成N個(gè)點(diǎn)，即yi(i=1,2,…,N)。

(2)初始化：設(shè)置kmax=N,kmin=1,且k=(kmax+kmin)/2。

(5)如果yk>y，則設(shè)置kmax=k-1且轉(zhuǎn)入步驟(7)；否則，進(jìn)入步驟(6)。

(6)如果yk+1≤y，則設(shè)置kmin=k+1且轉(zhuǎn)入步驟(7)。

(8) 設(shè)置y=y′,a=a′,b=b′且返回步驟(4)。

最后介紹如何用BEKM算法完成基于廣義二型模糊集α-平面表達(dá)理論廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型，其具體的計(jì)算步驟如下所示：

(3) 根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，比較和分析2種算法的表現(xiàn)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

圖2和表1給出了所定義的2個(gè)示例的FOU。圖3和表2又提供了所定義的相關(guān)次隸屬函數(shù)。

Figure 2 Graphs of FOU圖2 FOU圖

Table 1 FOU membership function expressions for two examples表1 2個(gè)示例FOU隸屬函數(shù)表達(dá)式

Figure 3 Shape graphs of secondary membership functions圖3 次隸屬函數(shù)形狀圖

Table 2 Secondary membership function expressions for two examples表2 2個(gè)示例的次隸屬函數(shù)表達(dá)式

Figure 4 The right half centroid type-reduced sets computed by the EKM algorithm and BEKM algorithm圖4 EKM算法和BEKM算法計(jì)算出的右半質(zhì)心降型集

當(dāng)取有效α-平面?zhèn)€數(shù)Δ=100時(shí)，用EKM算法和BEKM算法計(jì)算出2個(gè)示例的右半質(zhì)心降型集如圖4所示。

接著研究2種算法計(jì)算右半質(zhì)心降型集的具體的計(jì)算時(shí)間，其計(jì)算結(jié)果是不可重復(fù)的。取仿真平臺(tái)為E5300@2.60 GHz和2.00 GB內(nèi)存的雙核CPU的戴爾臺(tái)式機(jī)，Microsoft Windows XP Professional操作系統(tǒng)。所有程序在Matlab 2013a中運(yùn)行，2個(gè)示例的總計(jì)算時(shí)間如表3所示，其中第4行表示計(jì)算結(jié)果平均值，而第4列表示BEKM算法相對(duì)于EKM算法的計(jì)算時(shí)間減少率，這里把它定義為：

Table 3 Total time consuming of two algorithms for computing the right half centroid type-reduced sets表3 2種算法計(jì)算右半質(zhì)心降型集總時(shí)間消耗

TRR=(tEKM-tBEKM)/tEKM×100%

(14)

其中,tEKM為EKM算法計(jì)算時(shí)間，tBEKM為BEKM算法計(jì)算時(shí)間，時(shí)間單位為s。

仔細(xì)觀察圖3和表3，當(dāng)計(jì)算廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)右半質(zhì)心降型集時(shí)，可以得到以下結(jié)論：

(1) 在以上2個(gè)最常見的示例中，EKM算法和BEKM算法計(jì)算右半質(zhì)心降型集的結(jié)果幾乎完全相同，如圖3a和圖3b所示，代表2種算法的曲線幾乎完全重合；

(2) 相比于EKM算法，所提出的BEKM算法在2個(gè)示例中分別減少了約39.69%和39.44%的計(jì)算時(shí)間，此外，相對(duì)EKM算法，BEKM算法的平均計(jì)算時(shí)間減少率為39.06%。

以上的仿真實(shí)驗(yàn)分析表明，本文提出的BEKM算法是完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型的一種有效方法。盡管EKM算法和BEKM算法計(jì)算出的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)右半質(zhì)心降型集結(jié)果值幾乎完全相同，但可明顯看出，BEKM算法的計(jì)算時(shí)間優(yōu)于EKM算法的。換句話說，所提出的BEKM算法可顯著地改進(jìn)完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型時(shí)的計(jì)算效率而不損失計(jì)算精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)通過廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)模糊推理得出的具有不同足跡不確定性和相關(guān)次隸屬函數(shù)的輸出廣義二型模糊集，本文提出BEKM算法來(lái)完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。當(dāng)計(jì)算右半質(zhì)心降型集時(shí)，2個(gè)仿真示例表明了盡管2種算法的計(jì)算結(jié)果幾乎完全相同，但BEKM算法的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)少于EKM算法的，這可能會(huì)給廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供潛在的價(jià)值。

接下來(lái)將研究EKM算法的初始化，力爭(zhēng)給出合理初始化EKM完成區(qū)間二型和廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。此外，也將深入研究二型模糊邏輯系統(tǒng)的中心集降型[23]、各種離散降型算法和連續(xù)降型算法之間的關(guān)系[24]以及基于智能優(yōu)化算法[3 - 5,11,12,16,17,25,26]的二型模糊邏輯系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用等。