一種二元矩陣值Padé型逼近的遞推算法

王冬銀, 開小山, 陶有田

(1.巢湖學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,安徽 巢湖 238000; 2.合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230601; 3.巢湖學院 工商管理學院,安徽 巢湖 238000)

設(shè)f(x,y)為關(guān)于x,y的矩陣值形式冪級數(shù)

f(x,y)的二元矩陣值Padé型逼近(bivariate matrix-valued Padé type approximation, BMPTA)有著比較長期的研究歷史,并在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用[1-4]。很多學者給出了許多有價值的研究結(jié)果[5-9]。文獻[5]定義了一種內(nèi)積空間上的BMPTA,并給出2個遞推算法:E-算法和Sylvester型算法;但是這2個算法的計算量都比較大。

本文研究一種更加簡潔的計算BMPTA的算法。文獻[10]定義了一種二元齊次數(shù)量值多項式(bivariate homogeneous orthogonal polynomials, BHOP)。在此基礎(chǔ)上,本文定義二元張量積形式正交多項式(bivariate tensor product formal orthogonal polynomials, BTPFOP),并將其推廣到矩陣值情形,得到矩陣值二元張量積形式正交多項式(bivariate matrix tensor product formal orthogonal polynomials, BMTPFOP)。為計算其系數(shù),本文給出三項及九項遞推公式，通過這2個公式得到計算BMPTA的遞推算法。最后,通過一個數(shù)值例子,驗證了該算法的有效性。

1 二元數(shù)量值形式正交多項式

本節(jié)定義基于BHOP的BTPFOP,并研究其遞推算法。

1.1 一元張量積正交多項式

設(shè)P是一個二元實多項式集,Pmn∈P。

定義1(BHOP)[10]若存在非零泛函σ,使得:

〈σ,PmnPkl〉=0,m+n≠k+l

(1)

則稱{Pmn}為齊次弱正交多項式族。若

〈σ,PmnPkl〉=Kmnδmkδnl,

其中

則稱{Pmn}為齊次正交多項式族。(1)式可寫為：

〈σ,PmnPkl〉=0,k+l≤m+n-1

(2)

設(shè)cij是給定的實序列,定義P上的實線性泛函φ如下:

φ(sitj)=cij,i,j=0,1,…,

則φ完全由cij確定。將(2)式中的條件進行調(diào)整,并結(jié)合泛函φ,可得到下面的定義。

定義2 若一族二元多項式{vkl(s,t)}滿足如下條件:

(1)vkl(s,t)關(guān)于s和t的最高次數(shù)分別為k和l,記為degs(vkl)=k,degt(vkl)=l。

(2)φ(sitjvkl)=0, (i,j)∈{(i,j)|

i=0,1,…,k;j=0,1,…,l}{(k,l)}

(3)

則稱vkl為關(guān)于泛函φ的BTPFOP。

若vkl和vij((k,l)≠(i,j))是定義2中的形式正交多項式,則有φ(vijvkl)=0成立。

(i′,j′)∈{(i′,j′)|i′=0,1,…,k;

j′=0,1,…,l}{(k,l)}

(4)

記方程組(4)的Hankel-Hankel行列式為:

1.2 二元形式正交多項式的遞推公式

定理1若泛函φ有定,則形式正交多項式族{vkl}線性無關(guān)。

證明對于k,l≥0,vkl(0,0)≠0,設(shè)存在一組常數(shù)λ00,…,λ0l,…,λk0,…,λkl,…, 使得:

(5)

在(5)式兩端同時作用泛函φ,可得:

λklφ(vklvkl)=0。

又因為φ(vklvkl)≠0,所以對?k,l≥0,λkl=0。故{vkl}線性無關(guān)。

利用一元數(shù)量值形式正交多項式的三項遞推公式[10],不加證明地給出:當k≥0,l=0和k=0,l≥0時,BTPFOP的三項遞推公式。

引理1(BTPFOP的三項遞推公式) 形式正交多項式vkl滿足的遞推關(guān)系如下:

k=0,1,…

(6)

初始值v-1,0=0,v00=1;其中

且有：

l=0,1,…

(7)

初始值v0,-1=0,v00=1;其中

對于一般的k,l≥0,可以得到下面的BTPFOP的九項遞推公式。

定理2 形式正交多項式vkl滿足的遞推關(guān)系如下:

vk+1,l+1=-Ak+1,l+1vk+1,l-Bk+1,l+1vk+1,l-1-

Ck+1,l+1vk,l+1+(Dk+1,l+1st-Gk+1,l+1vk+1,l-1)vkl-

Jk+1,l+1vk,l-1-Kk+1,l+1vk-1,l+1-

Lk+1,l+1vk-1,l-Sk+1,l+1vk-1,l-1

(8)

初始值v-1,l=0,vk,-1=0;vk0、v0l由引理1計算,其中的系數(shù)關(guān)系式如下:

證明由定理1知,{vkl}是P的一組基,因此stvkl可以唯一地表示為{vkl}的線性組合:

(9)

在(9)式兩端同時乘以vij并作用泛函φ,可得:

當i=k-1,j=l-1時,

當i=k-1,j=l時,

當i=k-1,j=l+1時,

當i=k,j=l-1時,

當i=k,j=l時,

當i=k,j=l+1時,

當i=k+1,j=l-1時,

當i=k+1,j=l時,

當i=k+1,j=l+1時,

若對于首一多項vkl,即對?k,l≥0,bkl=1,則(8)式中的Dk+1,l+1=1。

2 二元矩陣值形式正交多項式

φ(μ,ν)(sitj)=ck+i,l+j∈Cp×q,i,j,μ,ν≥0

(10)

其中,cij=0,i<0或j<0。

定義3 若多項式族{Vkl(s,t)}滿足下面的的條件:

(1) deg(Vkl)=(k,l)。

(2)φ(μ,ν)(sitjVkl)=0,(i,j)∈{(i,j)|

i=0,1,…,k;j=0,1,…,l}{(k,l)}

(11)

則稱{Vkl(s,t)}為關(guān)于泛函φ(μ,ν)的廣義形式正交多項式。

由條件(1),bkl≠0，此時稱泛函φ(μ,ν)是有定的。設(shè)

(12)

由(11)式,可將(12)式化為一個方程組:

(i′,j′)∈{(i′,j′)|i′=0,1,…,k,

j′=0,1,…,l}{(k,l)}

(13)

其中,系數(shù)cμ+i+i′,ν+j+j′是矩陣值。為了計算bij,利用矩陣的直接內(nèi)積將cμ+i+i′,ν+j+j′轉(zhuǎn)化為數(shù)量值。設(shè)X=(xij),Y=(yij)∈Cp×q,則矩陣X、Y的直接內(nèi)積定義為：

將矩陣e∈Cp×q和泛函φ(μ,ν)的直接內(nèi)積寫為〈e,φ(μ,ν)〉,其中,eij=1。記

(14)

定義4 若多項式族{vkl(s,t)}滿足下面的條件:

(1) deg(Vkl)=(k,l)。

i=0,1,…,k;j=0,1,…,l}{(k,l)}

(15)

由(15)式，可將Vkl(s,t)化為如下形式：

(i′,j′)∈{(i′,j′)|i′=0,1,…,k;

j′=0,1,…,l}{(k,l)}

(16)

引理2(BMTPFOP的三項遞推公式) 形式正交多項式Vkl滿足的遞推關(guān)系為:

k=0,1,…

(17)

初始值V-1,0=0,V00=1。其中

且有：

l=0,1,…

(18)

初始值V0,-1=0,V00=1。其中

與定理2的證明類似,可以得到BMTPFOP的九項遞推公式。

定理3(BMTPFOP的九項遞推公式)

Vk+1,l+1=-Ak+1,l+1Vk+1,l-Bk+1,l+1Vk+1,l-1-

Ck+1,l+1Vk,l+1+(Dk+1,l+1st-Gk+1,l+1Vk+1,l-1)Vkl-

Jk+1,l+1Vk,l-1-Kk+1,l+1Vk-1,l+1-

Lk+1,l+1Vk-1,l-Sk+1,l+1Vk-1,l-1

(19)

初始值V-1,l=0,Vk,-1=0;Vk0、V0l由引理2計算,其中的系數(shù)由以下關(guān)系確定:

3 BMPTA的遞推算法

設(shè)矩陣值函數(shù)f(x,y)具有形式冪級數(shù)

為了表達方便,下面將文獻[5]中BMPTA的定義進行改寫。在(10)式和(14)式中,取μ=n1-m1+1,ν=n2-m2+1,則有：

φ(n1-m1+1,n2-m2+1)(sitj)=cn1-m1+1+i,n2-m2+1+j,

〈e,φ(n1-m1+1,n2-m2+1)〉=〈e,cn1-m1+1+i,n2-m2+1+j〉,

其中,cij=0,i<0或j<0。

設(shè)Vm1m2(x,y)是形式多項式

(20)

顯然有bm1m2≠0。定義二元矩陣值多項式:

Wn1n2(x,y)=φ(n1-m1+1,n2-m2+1){[Vm1m2(x,y)+

Vm1m2(s,t)-Vm1m2(s,y)-Vm1m2(x,t)]/

(s-x)(t-y)}

(21)

其中，泛函φ(n1-m1+1,n2-m2+1)作用在s、t上。設(shè)

(22)

(23)

(24)

證明由(21)式得：

Wn1n2(x,y)=

再由(23)式得:

(25)

BMPTA的遞推算法步驟如下：

(1) 取初值V-1,0=V0,-1=0,V00=1。

(2) 由(17)式計算Vk0,k=1,2,…,m1。

(3) 由(18)式計算V0l,l=1,2,…,m2。

(4) 取初值Vk,-1=V-1,l=0,k=1,2,…,m1;l=1,2,…,m2。

(5) 由(19)式計算Vkl,k=1,2,…,m1;l=1,2,…,m2。

即

(26)

其中,(i′,j′)∈{(i′,j′)|i′=0,1,…,m1;,j′=0,1,…,m2}{(m1,m2)}。

相比于文獻[5]中的E-算法和Sylvester型算法,本文的遞推算法更加簡潔。

下面通過一個數(shù)值實例來說明本文算法的有效性。已知

由(17)式可得:

V10=x-1/2，V01=y-1/2。

于是可計算出以下系數(shù):

進而有：

V11(x,y)=xy-A11V10-C11V01-G11=

因此得:

4 結(jié) 論

本文針對一種二元矩陣值Padé型逼近(BMPTA)給出了一個簡潔的遞推算法。根據(jù)二元齊次數(shù)量值正交多項式,定義了二元張量積形式正交多項式(BTPFOP)和二元矩陣值張量積形式正交多項式(BMTPFOP),并給出了BMTPFOP的三項遞推公式及九項遞推公式?；谶@2個公式,得到了計算BMPTA的遞推算法,并舉例說明了該算法的有效性，但并沒有給出其誤差估計。因此,該方法對于二元矩陣值函數(shù)f(x,y)的誤差估計有待進一步研究。