指向單元教學(xué)設(shè)計的數(shù)學(xué)教材分析示例

摘? ? 要：教材分析是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施準(zhǔn)備工作的邏輯起點.指向單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的教材分析，重在揭示一系列數(shù)學(xué)知識點所形成的中觀結(jié)構(gòu)，從中辨別主導(dǎo)性數(shù)學(xué)知識點與從屬性數(shù)學(xué)知識點，從而突出重點與突破難點，為減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)奠定基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);單元教學(xué);教學(xué)設(shè)計;教材分析

數(shù)學(xué)知識具有結(jié)構(gòu)性特點，從而相關(guān)數(shù)學(xué)知識點可以依據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，形成一系列的環(huán)節(jié)鏈條，在某個具體的鏈條中，每一個環(huán)節(jié)都是其中的中介，是前面的環(huán)節(jié)蠕動趨勢所實現(xiàn)的結(jié)果，又是構(gòu)成后面的環(huán)節(jié)的前提.關(guān)于某種環(huán)節(jié)鏈條的數(shù)學(xué)知識教學(xué)設(shè)計及其課堂實施，就是將這條環(huán)節(jié)鏈條投射到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，由此可以想象到，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，相應(yīng)地存在著承載某條數(shù)學(xué)知識鏈條的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的那些不同心理環(huán)節(jié)及其所生成的運動的節(jié)律，這就構(gòu)成數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的心理起點.本文重在研究單元數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的基礎(chǔ)之一的教材分析，這里舉例說明之.

一、指向單元教學(xué)設(shè)計的教材分析內(nèi)涵及特點

所謂教材分析，顧名思義，就是對教學(xué)材料（即數(shù)學(xué)知識內(nèi)容）的分析，指教師對在一段時間內(nèi)（比如一課時、一單元時段，甚至一個學(xué)期時段）將要傳授的教學(xué)內(nèi)容（數(shù)學(xué)知識）分解開來，認(rèn)識它的每個部分或每個層次的要素及其關(guān)聯(lián)過程的實質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，通過綜合，獲得對于寫進教科書中的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的整體認(rèn)識的思辨過程[1].由于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性特點，決定教材分析具有相互聯(lián)系與補充的宏觀分析、中觀分析與微觀分析三種途徑，在教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)將經(jīng)由這三種分析的結(jié)果整合起來，從而斟酌損益使用教學(xué)法加工，選擇合適的教學(xué)結(jié)構(gòu)，即選擇課堂教學(xué)活動的一種途徑所形成的教學(xué)過程.

指向單元教學(xué)設(shè)計的教學(xué)分析的基礎(chǔ)主要表現(xiàn)在對于寫進教科書中的數(shù)學(xué)知識點進行中觀分析，然而，由于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性，要想得到合適的中觀分析途徑與理想的中觀分析結(jié)果，就離不開宏觀分析與微觀分析結(jié)論的幫助.指向單元教學(xué)設(shè)計的教材分析的特點在于，應(yīng)該以整個單元所呈現(xiàn)的所有數(shù)學(xué)知識點作為分析對象，由于在教科書的編制中，呈現(xiàn)的很可能是一節(jié)課一節(jié)課所組成的孤立數(shù)學(xué)知識點，當(dāng)我們進行中觀分析時，就是將這些孤立的數(shù)學(xué)知識點沿著綜合的設(shè)想，將其整合成某條知識點的具有某種程度上的發(fā)展趨勢的環(huán)節(jié)性鏈條的過程.

由此不難認(rèn)識到，在由數(shù)學(xué)知識點組成中觀知識結(jié)構(gòu)鏈條中，這些知識點對于組成結(jié)構(gòu)鏈條的作用不是平等的，而是具有等級性，某些知識點相對地處于主導(dǎo)性地位，而另外一些知識點則相對地處于為主導(dǎo)性知識點服務(wù)的從屬性地位.當(dāng)教師通過教材分析辨別某些具體知識點的相應(yīng)的地位時，就為單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施奠定了良好的基礎(chǔ).因為，在這種情況下，數(shù)學(xué)教師就可以分清輕重緩急，從而便于突出重點;容易據(jù)此揆度學(xué)生關(guān)于發(fā)生主導(dǎo)性數(shù)學(xué)知識點的心理疑難所在，進而研究如何突破難點.

關(guān)于為主導(dǎo)性知識點服務(wù)的那些知識點通過微觀分析，通過具體析出可以析出其中的教學(xué)價值，做出相應(yīng)相稱的處理，該簡則簡，該略則略，其目標(biāo)主要在于依據(jù)這些知識點輔助學(xué)生理解主導(dǎo)性知識點.這就是一個單元，或者一條數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)鏈條上知識點中的主導(dǎo)性知識點與從屬性知識點之間的關(guān)系所在.單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施就是要在主導(dǎo)性知識點上下功夫，要在主導(dǎo)性知識點與從屬性知識點之間的建立聯(lián)系上下功夫[2].俗云，一個好漢三個幫，一個籬笆三個樁，做好主導(dǎo)性知識點及其從屬性知識點與主導(dǎo)性知識點的聯(lián)系的準(zhǔn)備工作，就為實現(xiàn)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施奠定了基礎(chǔ).

二、指向單元教學(xué)設(shè)計的教材分析示例

《增廣賢文》曰：理在用中方知妙，事非經(jīng)過不知難;陸游詩云：紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.上述指向單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的教材分析理論如果不能使用具體教材分析的實踐來體現(xiàn)它，那么，就有可能只是紙上談兵，沒有指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐的價值，理論的力量就會顯得蒼白.因此，我們選擇上海科學(xué)技術(shù)出版社新時代數(shù)學(xué)編寫組編制的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（簡稱“上科版教科書”）七年級上冊的“第1章”教學(xué)內(nèi)容為例，演示指向單元教學(xué)設(shè)計的教材分析過程的觀念及其指令下的具體分析行為.

在《有理數(shù)》這一章里，一共分為七節(jié)，其中第七節(jié)“近似數(shù)”是第六節(jié)“有理數(shù)的乘方”⑥的具體應(yīng)用，因此，“近似數(shù)”是從屬性的外圍知識點.其他的分別為第一節(jié)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”①;第二節(jié)“數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值”②;第三節(jié)“有理數(shù)的大小”③;第四節(jié)“有理數(shù)的加減”④;第五節(jié)“有理數(shù)的乘除”⑤（為了后述行文方便，關(guān)于這六節(jié)使用了序號加以標(biāo)識）.下面，就整個的這一單元所出現(xiàn)的這些具體知識點，進行中觀分析，看看這些數(shù)學(xué)知識點如何從中觀上組成具體的單元結(jié)構(gòu).

從總體上看，有理數(shù)概念及其內(nèi)容的產(chǎn)生是將小學(xué)學(xué)習(xí)的非負(fù)數(shù)系擴充到有理數(shù)系的結(jié)果，這一次擴充的物質(zhì)性基礎(chǔ)在于引入“負(fù)數(shù)”概念，從而與“正數(shù)”“零”構(gòu)成有理數(shù)系，形成“有理數(shù)”概念.當(dāng)以一個數(shù)系為基礎(chǔ)而擴充為包括這個數(shù)系的更大數(shù)系時，在這種推廣計劃的機制中，隱藏著一個主導(dǎo)性統(tǒng)一的觀念.這個觀念被稱為固本原則，對于這種固本原則的應(yīng)用是多方面的，其中的一個主要方面就是在非負(fù)數(shù)系中所建立起來的某些主要運算法則應(yīng)該相應(yīng)地推廣到擴充后的數(shù)系中去[3].

因此，依據(jù)固本原則的要求，引入有理數(shù)概念后，就應(yīng)該將在非負(fù)數(shù)系中所建立的運算法則同時擴充到有理數(shù)系中來，在教科書的安排中，④⑤就是非負(fù)數(shù)系中的具體運算，⑥則是在有理數(shù)系中新定義的一種運算（其實，這種乘方運算在非負(fù)數(shù)系中也可以定義，只是那時還不需要而已）.由此可以發(fā)現(xiàn)，這一章雖然涉及這么多的數(shù)學(xué)知識點，不過其中的引入“負(fù)數(shù)”概念進而定義的“有理數(shù)”概念，基于有理數(shù)概念而建立相關(guān)的有理數(shù)運算法則這兩個知識點構(gòu)成這個單元的主導(dǎo)性數(shù)學(xué)知識點.其他的數(shù)軸概念、相反數(shù)概念、絕對值概念②、有理數(shù)的大?、邸⒔茢?shù)都是從屬性知識點.由此分析結(jié)果認(rèn)識到，在教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，這里會出現(xiàn)兩個問題.

其一，④⑤⑥這基于有理數(shù)的三項不同等級運算的建立，又可以分為三個不同的層次，其中，最為基礎(chǔ)的一級就是有理數(shù)加（減）法運算法則的建立，它構(gòu)成建立有理數(shù)的乘除運算或乘方運算法則的示范，教學(xué)設(shè)計中需要教師特別重視.因此，數(shù)學(xué)教師在關(guān)于“有理數(shù)”這一章的教學(xué)準(zhǔn)備工作中，就要特別注意在建立有理數(shù)概念（數(shù)系擴充）與基于有理數(shù)概念建立有理數(shù)加（減）法法則這兩個主導(dǎo)性知識點上下功夫.關(guān)于有理數(shù)概念的建立，“上科版教材書”所提供的教學(xué)素材已經(jīng)非常完備，老實說，無須調(diào)整就可以直接地進入課堂實施.

其二，數(shù)學(xué)教師還需要通過進一步具體分析，弄清楚外圍的從屬性知識點（主要是②）對于這兩個主導(dǎo)性知識點的作用.學(xué)習(xí)主體的心理特點的規(guī)定性在于，總是希冀通過化歸的手段將新數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為自己已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識中去，前者是后者的“最近發(fā)展區(qū)”，后者是前者的“合適根據(jù)地”;固本原則從數(shù)學(xué)知識的歷史進程中也充分地說明了這一點.關(guān)于有理數(shù)系中的加（減）法法則如何建立在過去的非負(fù)數(shù)系中已經(jīng)存在的加（減）法法則的基礎(chǔ)上呢？這是首先需要研究與解決的問題.

教師可以循著數(shù)學(xué)史的上述事實，形成一種教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的構(gòu)想，那就是將我們基于非負(fù)數(shù)系所擴展的負(fù)數(shù)構(gòu)成有理數(shù)系的那種“負(fù)數(shù)”去掉，從而返回學(xué)習(xí)主體過去已經(jīng)掌握的非負(fù)數(shù)系中去，如此，在非負(fù)數(shù)系所建立起來的加（減）法法則在有理數(shù)系中就可以通行無阻了（固本原則的實現(xiàn)）.那么，如何將有理數(shù)系的負(fù)數(shù)子集化歸為相對應(yīng)的有理數(shù)系的正數(shù)子集呢？這就需要引入絕對值概念與相反數(shù)概念.在這兩個概念中，相反數(shù)概念是絕對值概念的自然結(jié)果.因此，編制教科書與教師教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的重點都集中于如何幫助學(xué)習(xí)主體建立這個絕對值概念，因為，有了這個概念，就形成將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)的一種機械性裝置.

那么，如何啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟與理解絕對值概念？如果是我們學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)的教師自己，這是一件比較容易的事情，直接定義一個數(shù)a的絕對值，即[a=a（a≥0）-a（a<0）]，就形成絕對值概念.但是，對于剛剛進入初一的學(xué)生來說，這種直接定義他們非常不習(xí)慣，無法領(lǐng)悟與理解絕對值概念的本質(zhì).于是，作為數(shù)學(xué)教育工作者，就想到使用可視化的途徑，幫助學(xué)生領(lǐng)悟與理解絕對值概念，這就產(chǎn)生一條途徑，即引入數(shù)軸概念，將一切有理數(shù)使用一直線上的點來表示，得到使有理數(shù)可視化的目的.

按照皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識論理論，“隨著在將近十一歲到十二歲時開始形成形式運演的出現(xiàn)，在這個階段，運演從其對時間的依賴性中解脫了出來”[4]，但是，這只是剛剛開始由從九歲到十歲的“具體運演階段的第二水平”過渡到“形式運演”階段，由于這種過渡的心理活動過程，不是一蹴而就的，因此，建立數(shù)軸概念，形成可視化策略的支點，就為學(xué)生領(lǐng)悟與理解絕對值概念奠定了基礎(chǔ).有了數(shù)軸概念的工具，有理數(shù)系就完全能夠可視化了.從心理上說，這就將使用理性思維運作相關(guān)的有理數(shù)概念，轉(zhuǎn)化為可以使用感性思維進行運作了，從而很好地降低了思維層次.

通過數(shù)軸概念的幫助，經(jīng)由一段時間，不同學(xué)生可以或早或遲地逐步完成從“具體運演階段的第二水平”過渡到“形式運演”階段，對應(yīng)地可以體驗到自己的思維方式的進展，再有一段時間，在教師的悉心幫助下，進而丟棄這種數(shù)軸概念的可視化工具，直接從感性思維運作上升到理性思維的運作.由此可以認(rèn)識到，在學(xué)生形成數(shù)軸概念、絕對值概念、有理數(shù)的加（減）法則這些知識教學(xué)目標(biāo)的同時，幫助學(xué)生實現(xiàn)從“具體運演階段的第二水平”過渡到“形式運演”階段認(rèn)知結(jié)構(gòu)層面上的教學(xué)目標(biāo).

三、基于單元知識點教材分析結(jié)論的教學(xué)準(zhǔn)備工作

上述的教材分析得出的知識結(jié)構(gòu)性線索為教師單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施途徑的準(zhǔn)備工作提供了依據(jù)：其一，教學(xué)的重點為兩個知識點，即一是有理數(shù)概念，二是建立有理數(shù)的加（減）法法則，其中絕對值概念是建立加（減）法法則的基礎(chǔ);其二，教學(xué)的難點在于幫助學(xué)生領(lǐng)悟與理解絕對值概念，領(lǐng)悟與理解建立有理數(shù)加（減）法法則的心理過程與這兩個法則字斟句酌的表達(dá)背后的本質(zhì).因此，數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計的準(zhǔn)備工作的著力點就應(yīng)該基于這兩點展開.

在做好突出重點與突破難點的這兩個知識點的教學(xué)準(zhǔn)備工作以后，其他知識點，如數(shù)軸概念、有理數(shù)的大小、近似數(shù)等由于更為偏向于感性認(rèn)識活動，因此，雖然學(xué)生有可能只是從現(xiàn)象上認(rèn)識與理解它們，原則上說，都是無關(guān)緊要的（當(dāng)然，這種觀點只是比較而言的，教師通過自己的努力能夠幫助學(xué)生從本質(zhì)結(jié)構(gòu)上理解它們更具價值，但是，一般教師的教學(xué)設(shè)計及其課堂實施可能達(dá)不到如此程度），使用一般的途徑進行教學(xué)就行了.

如此，指向單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的教材分析結(jié)論，就可以幫助教師抓住這些知識點所構(gòu)成結(jié)構(gòu)的矛盾中的主要矛盾與矛盾的主要方面，從而在教學(xué)設(shè)計中可以做到分清輕重緩急，突出教學(xué)要點，實現(xiàn)極大地減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的教學(xué)目的.毛主席說，“要真正地認(rèn)識對象，就必須要把握與研究它的一切方面、一切聯(lián)系和‘媒介，我們絕不能完全做到這一點，可是要求全面性，將使我們防止錯誤，防止僵化……表面性，對矛盾總體和矛盾各方的特點都不去看，否認(rèn)深入事物里面精細(xì)地研究矛盾特點的必要，僅僅站在那里遠(yuǎn)遠(yuǎn)地望一望，粗枝大葉地看到一點矛盾的形相，就想動手解決矛盾.這樣的做法，沒有不出亂子的”[5].這個例子中的指向單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的教材分析就是其突出的體現(xiàn).

教材分析構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的邏輯起點，因為教學(xué)活動的過程就是將數(shù)學(xué)知識點投射到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去的過程，所以教材分析必然構(gòu)成學(xué)情分析的基礎(chǔ)，而教材分析與學(xué)情分析結(jié)果的整合做成教學(xué)法分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教師通過自己的教學(xué)法分析來選擇關(guān)于某個數(shù)學(xué)知識點的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu).由此認(rèn)識到，教材分析構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的基礎(chǔ)中的基礎(chǔ).指向單元教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的教材分析，重要揭示一系列數(shù)學(xué)知識點的中觀結(jié)構(gòu)，從中辨別出主導(dǎo)性數(shù)學(xué)知識點與從屬性數(shù)學(xué)知識點，從而便于教師突出重點與突破難點，為減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]張昆. 教材分析：數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（8）：13-16.

[2]張昆，鄭雷聰. 初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計示例——以一元一次方程一章為例[J]. 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報，2019，34（8）：33-38.

[3]T.丹齊克. 數(shù)·科學(xué)的語言[M]. 蘇仲湘，譯. 北京：商務(wù)印書館，1985：77-80.

[4]J.皮亞杰. 發(fā)生認(rèn)識論原理[M]. 王憲鈿，等譯，胡世襄，等校. 北京：商務(wù)印書館，1996：51.

[5]毛澤東. 矛盾論[M]//毛澤東選集（第一卷）.北京：人民出版社，1991：313.