“巧師”有好“材”教學更出彩

韋毅菊

【摘? ?要】“數(shù)與運算”的教學是培養(yǎng)學生運算能力的主要途徑，也是學生學習其他數(shù)學知識的重要基礎。教學中教師可借助合適的教學輔助材料，運用相應的教學策略，來溝通算理和算法的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的運算能力及良好的數(shù)感，使教學效果事半功倍。

【關鍵詞】運算教學;輔助材料;策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?！边@刻畫了運算能力的三個主要特征：正確運算、理解算理和方法合理。因此，運算教學的目標不僅是讓學生明白怎么算，還要清楚為什么這樣算。提高運算教學的“有效性”，教師需要對基本運算技能的標準以及運算技能培養(yǎng)的科學化進行深入分析。

一、人教版和北師大版計算教學編排分析

對學生來說，掌握算法是“基本技能”，技能性的知識可以熟能生巧，但算理的理解卻需要學生對教學內容進行自我深化，這并不是一件容易的事。為了使研究更具一般性，筆者對比了人教版和北師大版教材，從整體框架、單元編排和例題編寫三個維度做了統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)兩版教材有關“數(shù)的運算”的編寫內容大致相同，但也有區(qū)別。從而進一步明確了計算教學中輔助材料的類別和使用價值。

（一）整體框架對比

筆者對兩版教材有關“數(shù)的運算”內容在各個年級中的編排進行了梳理（見表1、表2）。

雖然兩版教材對“數(shù)的運算”的編排順序不完全一致，但從整體上看，第一學段運算的內容都明顯多于第二學段。第一學段學生的思維是以具體形象思維為主，在運算教學中，教師有必要引導學生通過對具體事物的操作和思考，將技能認知上升到算理認知。因此，合理運用輔助材料，讓學生得到具象或者實際意境的思考支撐，克服算理的抽象性帶來的理解困難，是教學中值得關注的問題。

（二）單元編排對比

筆者對兩版教材中“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元進行了整理和對比。兩版教材例題的編排順序如表3所示。

兩版教材例題的數(shù)量是一樣的，都采用了“2+6”的形式，也就是先口算，再筆算，口算2個例題，筆算6個例題。不同之處在于：人教版教材在多位數(shù)乘一位數(shù)的口算中只安排了不進位的口算，不僅是例題，在練習中也都只出現(xiàn)不進位的口算;而北師大版教材在口算乘法的例2中安排了2道例題，一道是不進位的，一道是進位的。教材編排上呈現(xiàn)的差異導致教學內容難易程度不同，教學中要關注教材所提供的輔助材料。

（三） 例題對比

兩版教材對同一例題的教學輔助材料的編寫也是不同的，而且差異較大。以例題“12×3”為例（如圖1）。

人教版教材給出的算法較為單一，口算時“10×3”表示3個十，“2×3”表示6個一。而北師大版教材給出的算法和相應的輔助材料更為豐富。首先出現(xiàn)連加算式，接著借助人民幣幫助解釋算理，得出算式，再呈現(xiàn)用點子圖和用格子乘法的計算。

通過對比發(fā)現(xiàn)，人教版教材提供的操作材料是1種，算式1種，計算方法也是1種。北師大版教材提供的操作材料有2種，實物材料（人民幣）、半抽象材料（點子圖），算式有3種，方法也有3種。

按人教版教材的編排，如果課堂上教師沒有提供其他多樣化的輔助材料，僅讓學生通過小棒圖弄明白進位乘法的算理是有點困難，所以教材在口算乘法中并沒有編排進位乘法。而北師大版教材由于有豐富的輔助材料和算法基礎，學生在學完12×3之后再算18×4，就感覺比較容易，特別是用點子圖和格子乘法輔助教學，使得學生明白其算理和算法與不進位的乘法是完全一致的。

（四）輔助材料對比

筆者將兩版教材“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元中具有前后聯(lián)系意義的口算與筆算的輔助材料進行整理（如圖2）。

雖然兩版教材的教學輔助材料具有較大的差異，但同一版本教材前后的教學輔助材料都是相對統(tǒng)一的。很明顯，教材都注重將口算和筆算的算理及算法進行溝通和聯(lián)系。人教版教材呈現(xiàn)的輔助材料“少而精”，它在口算乘法里給出的小棒圖，其實是指向豎式計算的，用它來解釋豎式的算理是最好不過的。其他的算法都是通過小精靈的問題“你是怎樣算的”去引導學生關注不同的算法。相比之下，北師大版教材強調算法的多樣性，注重學生個性化的體驗，引導學生把未知的知識轉化成已知的知識，在例題中逐步展現(xiàn)算法優(yōu)化的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

由于教學輔助材料是學生借以認知算理和算法的重要載體，所以教師在教學中應注重教學輔助材料的選用，從而幫助學生更好地理解算理、掌握算法。

二、選用輔助材料的教學建議

教材中的教學輔助材料在一定程度上影響著教師的教學方式。如果教師在課堂上只注重教學教材中有的內容，而對沒有明確要求的內容就不涉及，那么教學就缺乏靈活性，所以教師在使用教材時需要對教材中的輔助材料進行適當?shù)难a充、調整和整合。

為了更好地發(fā)掘輔助材料的功能，明確不同材料的數(shù)學表征，筆者將幾種常見的輔助材料進行了整理（見表4）。

不同的輔助材料在表征數(shù)的時候，給學生的直觀感受是不同的。例如，同樣表示“10”，實物圖表征的是“10個一”;計數(shù)器表征的是“1個十”;小棒的表征處于兩者之間，既可以表征“10個一”（散的），又可以表征“1個十”（一捆）。因為各種材料間具有差異性，所以教師在課堂上提供的材料會影響學生的生成。

（一）利用輔助材料激發(fā)學生積極思維

學生的思維容易被直觀呈現(xiàn)的事物所影響。通常情況下，開放性的教學輔助材料更能激發(fā)學生思維的火花，使得課堂綻放精彩。以下是“多位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）筆算乘法”的兩個教學片段。

【教學片段1】

課件出示小棒圖（如圖3）。

師：我們還可以借助小棒來解釋口算的方法。你能在小棒圖中圈一圈表示出自己的算法嗎？

生：我把小棒圖分成兩個部分，其中一部分有3捆，每捆是10根，就是30根;另一部分是3行，每行2根，也就是6根。最后把它們相加得36根。

【教學片段2】

課件出示點子圖（如圖4）。

師：你能在點子圖上圈一圈、算一算，然后說一說你是怎么計算12×3的嗎？

生A（出示作品）：我是這樣想的，因為每行有12個，所以我就把它圈起來了，圈了3個12，12+12+12=36。

師：哦，他是把乘法轉化成了連加，很好！

生B（出示作品）：先把點子圖分為兩部分，第一部分每行有10個，共3行，3個10 是30，第二部分是3個2，也就是6，然后30與6合起來是36。

生C（出示作品）：我是6個6個圈的，圈了6個6，算式是6×6=36。

師：他把12×3轉化成我們之前學過的表內乘法來計算，不簡單！

師：你們發(fā)現(xiàn)這三位同學的方法有什么相同的地方？

生：都是把12×3轉化成以前學過的算式來計算。

生：都是把這些點分成幾個部分來計算。

師：用哪種方法圈起來快，算起來也快呢？

生：第二種，分出幾個十口算很快。

教師呈現(xiàn)的材料不同，學生的思維方式也不一樣。片段1中的小棒圖已經具有“10個一是1個十”的表征，所以學生很自然地想到先算“1捆1捆的”，再算“1個1個的”，直接指向筆算的算理。而片段2中的點子圖只表征了計數(shù)單位“個”，學生的算法就相對多樣化，生B 的作品反映出學生對計數(shù)單位有一定的感知，教師在此基礎上加以引導有利于學生對筆算算理的理解。顯然，片段2的設計者在注重筆算算理理解的同時也追求算法多樣化，給了學生思考和嘗試的機會，這對學生創(chuàng)造性思維的發(fā)展是有利的。

（二）利用輔助材料實現(xiàn)教學的結構化

教學的結構化是指教師從整體上分析數(shù)學知識結構、教材編寫結構、學生認知結構等，設計具有條理化和系統(tǒng)化的教學輔助材料，使得教學具有整體性。

例如，分析人教版教材一年級上冊和下冊的教學內容，發(fā)現(xiàn)一年級上冊“20以內的進位加法”的算理主要是“湊十”，一年級下冊“20以內的退位減法”的算理主要是“破十”，兩個單元的內容雖然不在同一冊，但是有密切的聯(lián)系。教師根據教學目標和輔助材料的特征，從整體上設計兩個單元起始課的教學。以下是“20以內的退位減法”教學片段。

【教學片段3】

師：剛才我們分別用小棒和計數(shù)器計算了15-6，它們有什么相同的地方？

生：都是把1個十拆開來，變成10個一再計算。

生：都是個位不夠減的。

師：是的，像15-6這樣個位上不夠減，需要從十位上“退一作十”來計算，這樣的減法叫作退位減法。（板書課題）

師：上學期我們還學過一種加法，叫什么加法？

生：進位加法。

教師出示對比圖（如圖6）。

師：請你觀察思考，上學期學過的進位加法和今天學的退位減法有什么關系？

生：我發(fā)現(xiàn)計算進位加法時，小棒是10根一捆扎起來的，計算退位減法時是把一捆小棒拆開來的。

生：計算9+6時進到十位上的1顆珠子，在計算15-6的時候又被退回來了。

生：我看到計數(shù)器上加法是把兩部分合起來，減法是從原來的那部分中去掉一些。

生：我知道了，加法加多了要“滿十進一”，所以叫進位加法，減法不夠減要“退一作十”，所以是退位減法。

教學片段3中，半抽象化的小棒和抽象化位值表征的計數(shù)器的呈現(xiàn)，幫助學生弄明白兩種輔助材料之間的聯(lián)系，關注到不同材料在呈現(xiàn)計算過程中的相同點，發(fā)現(xiàn)其中的算理。通過明晰進位加與退位減之間的聯(lián)系，學生能更好地建構自己的知識結構，提高學習興趣。

（三）利用輔助材料建立直觀與抽象的聯(lián)系

計算教學中，動手操作是直觀的，算理和算法是抽象的，教師在教學中要善于建立直觀與抽象之間的有效鏈接。在四則運算中，除法相比其他三種運算來說，是學生學習時最感困難的一種運算。除了算理復雜，除法豎式的書寫對學生來說也比較抽象，因為在一道除法豎式書寫的過程中包含了除、乘、減三種運算，每一步運算都有其意義，除法豎式是除法算理最簡潔的表征方式。那么，教師該如何引導學生建構抽象的除法算理與直觀的豎式書寫之間的聯(lián)系呢？以下是“筆算除法”教學片段。

【教學片段4】

在“筆算除法”的教學中，教師可以設計以下流程：（1）呈現(xiàn)場景，提出問題：有19個蘋果，每6個裝一盤，可以裝幾盤？（2）直觀操作，有序描述計算操作過程;（3）結合圖形，嘗試用連減豎式記錄操作過程;（4）豎式變形，便于記錄商和余數(shù);（5）壓縮求簡，呈現(xiàn)現(xiàn)行的標準樣式（參見圖7）。

連減豎式的介入，還原了除法豎式的原始算法，學生體會到除法與減法的密切關系。通過輔助材料的介入，學生很容易理解筆算豎式中“分層書寫”是為了記錄試算的過程，商寫在豎式上方是因為豎式下方要記錄余數(shù)，計算時要用乘法計算分掉的總數(shù)是為了記錄的簡潔。這樣的筆算教學可避免學生被動地“模仿”，借助直觀材料將豎式這一表征方式進行了建構，讓抽象的算法有理有據。

教師要在算理與具體的算法中架起橋梁，在學生的思維和具體表征的輔助材料中建立聯(lián)系，使學生能夠在探索算法的過程中直觀地感悟數(shù)學計算的道理。

參考文獻：

[1]張奠宙，等.小學數(shù)學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]吳正憲，張丹.小學數(shù)學[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

[4]朱國平.基于結構化的小學數(shù)學課堂[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[5]萬維鵬.充分利用直觀啟發(fā)學生說理——“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）的筆算乘法”教學實踐與思考[J].小學數(shù)學教育，2017（7-8）.

[6]張璐丹，張財球，陳遠剛，汪建華.“多位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）的筆算乘法”教學實錄與評析[J].小學數(shù)學教育，2017（10）.

（浙江省湖州市愛山小學教育集團常溪小學? ?313000）