“理解算理”的測(cè)試維度與水平分析

王來(lái)波 王敏烽 鄭娟娟

【摘? ?要】理解算理是運(yùn)算能力的重要表現(xiàn)特征?！袄斫馑憷怼睖y(cè)評(píng)可以從算理表述的正確性、算理表征的層次性、算理遷移的通用性三個(gè)維度展開(kāi)，并對(duì)其進(jìn)行水平劃分與分析。通過(guò)區(qū)域測(cè)評(píng)發(fā)現(xiàn)，“20以內(nèi)進(jìn)位加法”在理解算理維度上，呈現(xiàn)算理表征層次性不強(qiáng)、算理遷移通用性水平不高等特點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】理解算理;水平分析;20以內(nèi)進(jìn)位加法

一、算理的含義和理解表現(xiàn)形式

算理和算法是計(jì)算教學(xué)中相輔相成、缺一不可的兩個(gè)方面。理解算理是運(yùn)算能力的重要表現(xiàn)特征。算理的表現(xiàn)形式主要有：運(yùn)算的意義、十進(jìn)制與位值制思想、運(yùn)算的性質(zhì)與定律、運(yùn)算之間的互逆關(guān)系。

“20以內(nèi)進(jìn)位加法”重點(diǎn)掌握“湊十法”，算理的表現(xiàn)形式是“運(yùn)算的意義”“十進(jìn)制”“運(yùn)算的性質(zhì)”。以“9+4”為例，運(yùn)算的意義是“要把9和4合并起來(lái)”;十進(jìn)制是“拆分湊十的過(guò)程”;運(yùn)算的性質(zhì)是“依據(jù)加法結(jié)合律先湊十，再十加幾”。因?yàn)闇愂ㄊ呛罄m(xù)整數(shù)進(jìn)位加法的主要算法，其背后的算理也是后續(xù)進(jìn)位加法的主要算理。所以，“20以內(nèi)進(jìn)位加法”是加法算理的一節(jié)種子課。

二、“理解算理”的測(cè)試維度與樣例說(shuō)明

對(duì)“理解算理”的檢測(cè)，主要通過(guò)各種題型的測(cè)試暴露學(xué)生算法背后思考的過(guò)程，并進(jìn)行算理理解的水平劃分。“理解算理”的測(cè)試，可以圍繞 “算理表述的正確性”“算理表征的層次性”“算理遷移的通用性”三個(gè)維度展開(kāi)。

（一）“算理表述的正確性”檢測(cè)樣例與水平劃分

算理表述的正確性主要反映為圖式的一致性，通過(guò)讓學(xué)生根據(jù)算法來(lái)選擇圖示，檢測(cè)算理與算法的一致性。

“20以內(nèi)進(jìn)位加法”中的算法主要依托框架式來(lái)呈現(xiàn)，展現(xiàn)算法的過(guò)程;而算理主要依托直觀圖示或文字來(lái)解釋算法背后的道理。如“8+9”的口算，可以有兩種拆分湊十的方法，學(xué)生要找到與此對(duì)應(yīng)的圖示，理解“湊十法”背后的“十進(jìn)制”（如表1）。

（二）“算理表征的層次性”檢測(cè)樣例與水平劃分

算理表征的層次性主要采用不同的物化材料來(lái)表征算理的檢測(cè)方式，如文字、符號(hào)、圖形等，不同的表征方式反映出對(duì)算理的理解水平。

如，“9+4”的算理表征檢測(cè)，可以讓學(xué)生根據(jù)“9+4”算的過(guò)程，畫(huà)一畫(huà)、圈一圈，把想法表示出來(lái);也可以讓學(xué)生根據(jù)算的局部過(guò)程，還原算式。通過(guò)順向、逆向的試題檢測(cè)，完成“湊十法”背后算理理解水平的劃分（如表2）。

（三）“算理遷移的通用性”檢測(cè)樣例與水平劃分

算理遷移的通用性，主要采用未學(xué)先試的檢測(cè)方式，考查學(xué)生能否將同一算理自主遷移到后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，從而反映學(xué)生對(duì)算理的理解程度。

“20以內(nèi)進(jìn)位加法”后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容是“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”，共通的算理是“十進(jìn)制”?？梢苑抡铡?+4”的順向測(cè)試題進(jìn)行編制，如“根據(jù)19+4算的過(guò)程，畫(huà)一畫(huà)、圈一圈，把想法表示出來(lái)”，完成算理遷移通用性水平的考查（如表3）。

會(huì)算的同學(xué)，請(qǐng)你把19+4算的過(guò)程寫(xiě)一寫(xiě)、畫(huà)一畫(huà)。][寫(xiě)一寫(xiě)][畫(huà)一畫(huà)] 空著沒(méi)畫(huà)或個(gè)數(shù)畫(huà)錯(cuò) 實(shí)物圖 點(diǎn)子圖、小棒圖，體現(xiàn)十進(jìn)制位值制 ]

三、“20以內(nèi)進(jìn)位加法”理解算理水平區(qū)域調(diào)查分析

“20以內(nèi)進(jìn)位加法”理解算理水平區(qū)域測(cè)查，選取城區(qū)小學(xué)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)和農(nóng)村完小各5所，每所學(xué)校2個(gè)班級(jí)，共計(jì)1200名學(xué)生參加測(cè)查。檢測(cè)維度包括算理表述的正確性、順向和逆向的算理表征的層次性、算理遷移的通用性，每個(gè)維度劃分為三個(gè)水平，對(duì)每個(gè)群體的每個(gè)水平比例進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，具體數(shù)據(jù)如表4所示。

從表4可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)域“20以內(nèi)進(jìn)位加法”理解算理能力水平呈現(xiàn)三個(gè)特點(diǎn)。一是算理表征表述的正確性總體水平較高，城鄉(xiāng)差異不大;二是算理表征的層次性總體水平偏低，順向表征能力略高于逆向表征能力;三是算理遷移的通用性明顯受算理表征的層次性的影響，水平等級(jí)的人數(shù)分布和算理表征的層次性（順向）非常接近。

（一）算理表征的層次性不明顯，材料缺乏結(jié)構(gòu)性

算理表征物化手段統(tǒng)計(jì)顯示，有60%左右的學(xué)生選用實(shí)物圖，如蘋(píng)果、花朵等;有30%左右的學(xué)生選用點(diǎn)子圖;只有5%左右的學(xué)生選用小棒圖。另外，還有5%的學(xué)生用文字、寫(xiě)算式等。其中有一所農(nóng)村完小全班都畫(huà)了蘋(píng)果圖。

點(diǎn)子圖、小棒圖和實(shí)物圖都屬于表征算理的物化材料。物化材料主要分為齊性材料和結(jié)構(gòu)性材料，像點(diǎn)子圖、小棒圖和實(shí)物圖都屬于齊性材料，計(jì)數(shù)器、數(shù)位筒等屬于結(jié)構(gòu)性材料。測(cè)查數(shù)據(jù)說(shuō)明，“20以內(nèi)進(jìn)位加法”教學(xué)中大量使用的是齊性材料，表征方式較為單一，教師應(yīng)有意識(shí)滲透結(jié)構(gòu)性材料，讓學(xué)生盡早感知十進(jìn)制位值制。當(dāng)然，算理表征除了層次性之外，還要做好順向、逆向表征的融會(huì)貫通，以更好地理解算理。

（二）算理點(diǎn)狀教學(xué)，導(dǎo)致算理遷移的通用性水平較低

“十進(jìn)制位值制”是“20以內(nèi)進(jìn)位加法”非常重要的算理之一，基于這一算理，才有了湊十法?！?+4”表征算理的過(guò)程性，大部分學(xué)生的作品如圖1、圖2所示，畫(huà)圖只是點(diǎn)數(shù)出結(jié)果，或從運(yùn)算意義的角度畫(huà)出“9+4”的意義，沒(méi)有體現(xiàn)十進(jìn)制思想。正因?yàn)椤?0以內(nèi)進(jìn)位加法”的十進(jìn)制思想教學(xué)的缺失，導(dǎo)致“19+4”算理表征的時(shí)候十進(jìn)制思想也沒(méi)有體現(xiàn)，學(xué)生只是畫(huà)出算式的意義或排成一列點(diǎn)數(shù)出結(jié)果（如圖3），很少有學(xué)生有“圈十”的過(guò)程。

在“20以內(nèi)進(jìn)位加法”的教學(xué)中，位值制思想雖然不是這節(jié)課的重點(diǎn)，但對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有一定影響。教學(xué)中，只需借助直觀圖或計(jì)數(shù)器簡(jiǎn)單滲透即可。從學(xué)生的作品反映來(lái)看，多數(shù)教師缺乏整體思考，算理的點(diǎn)狀教學(xué)是導(dǎo)致算理遷移的通用性水平低的主要原因。

總之，無(wú)論是教學(xué)，還是測(cè)評(píng)，都需要高度重視算理。通過(guò)“算理表述的正確性”“算理表征的層次性”和“算理遷移的通用性”三個(gè)維度的測(cè)評(píng)，可以讓算理更加顯性化，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力。