地震作用下大型渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析

張威 王博 徐建國 黃亮

摘要：大型鋼筋混凝土渡槽作為生命線類水工結(jié)構(gòu)，其輸水功能可靠性至關(guān)重要。然而，一方面混凝土材料的力學性能表現(xiàn)出顯著的隨機性與非線性特征，另一方面渡槽結(jié)構(gòu)在服役期內(nèi)可能遭受不確定的災(zāi)害性地震作用，對渡槽結(jié)構(gòu)的服役安全帶來威脅。為此，采用混凝土隨機損傷力學模型量化混凝土隨機性與非線性耦聯(lián)下渡槽結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，并基于概率密度演化理論給出了渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析方法。以某實際大型鋼筋混凝土渡槽結(jié)構(gòu)為例，詳述了渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析的原理和實現(xiàn)流程。研究表明，概率密度演化理論可以準確高效地對渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性進行評估;不同設(shè)計水準下渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能可靠性指標存在一定的差異，在設(shè)計初期應(yīng)予以合理考慮。

關(guān)鍵詞：渡槽;輸水功能;可靠性;隨機損傷演化;概率密度演化理論;抗震分析

中圖分類號：TV312;TV672 文獻標志碼：A 文章編號：20966717（2020）04014409

收稿日期：20191010

基金項目：國家自然科學基金（51579226）;河南省科技攻關(guān)項目（142102310535）

作者簡介：張威（1983 ），男，博士，主要從事結(jié)構(gòu)抗震分析與可靠性研究，Email：zw419064719@163.com。

Received：20191010

Foundation items：National Natural Science Foundation of China （No. 51579226）; Henan Science and Technology Program （No. 142102310535）

Author brief：Zhang Wei（1983 ）， PhD， main research interests： seismic and reliability of structures， Email： zw419064719@163.com.

Waterconveyance functional reliability analysis of largescale aqueduct structures subjected to earthquake excitations

Zhang Wei1， Wang Bo2a， Xu Jianguo2a， Huang Liang2b

（1.School of Engineering Management and Real Estate， Henan University of Economics and Law， Zhengzhou 450046， P.R. China;2a.School of Water Science and Engineering; 2b. School of Civil Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， P.R. China）

Abstract： Large scale reinforced concrete aqueduct， as a lifeline hydraulic structure， the reliability of its water transport function is very important. However， on one hand， the mechanical property of concrete is equipped with remarkable randomness and nonlinearity. On the other hand， the aqueduct structures may inevitably suffer from uncertain disastrous earthquake actions during service life， posing a great threat to their service safety. To these ends， the present paper proposed a quantification framework for the waterconveyance reliability assessment of the aqueduct structures by incorporating the stochastic damage mechanics model of concrete and the probability density evolution method. The principle and implementation procedures of the developed framework were illustrated in detail on an actual largescale RC aqueduct structure. The results show that the probability density evolution theory can accurately and efficiently evaluate the reliability of aqueduct structure water conveyance function. The waterconveyance reliability varies with the change of predefined seismic fortifications， which should be reasonably accounted for in early design phases.

通過微彈簧的隨機斷裂可將損傷表示為

式中：Af為斷裂的面積;A0為初始總面積;n表示在當前荷載作用下斷裂的彈簧根數(shù);N為彈簧總數(shù);Δi為第i根彈簧的斷裂應(yīng)變;H（·）表示Heaviside函數(shù);ε為應(yīng)變量。

令彈簧總數(shù)趨于無窮，損傷變量可按隨機積分形式表述為

式中：D為混凝土損傷因子;Δ（x）為一維斷裂應(yīng)變隨機場;x為空間坐標。

基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學理論[9， 16]，混凝土材料的一維損傷本構(gòu)關(guān)系可表達為

式中：σ為混凝土應(yīng)力;E0為混凝土初始彈性模量;εp為混凝土塑性應(yīng)變。

該模型可采用如圖7所示的曲線表達在一維反復加、卸載條件下混凝土的應(yīng)力應(yīng)變力學行為。

對于箍筋約束區(qū)混凝土，可通過修正損傷演化函數(shù)式（2）來反映約束作用對有效彈性應(yīng)變發(fā)展和損傷演化的減緩效應(yīng)，即約束混凝土的損傷演化函數(shù)表示為[16]

式中：γ為減緩系數(shù)[9]。

為了兼顧大型渡槽結(jié)構(gòu)隨機結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的精度和效率，采用纖維梁單元模擬渡槽結(jié)構(gòu)各部件，進而建立其整體有限元分析模型。

2渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析方法

2.1渡槽隨機結(jié)構(gòu)分析的概率密度演化方法

考慮結(jié)構(gòu)自身特性和外部激勵的隨機性[18]，可將渡槽結(jié)構(gòu)的運動方程廣義表達為

式中：M和C分別為渡槽結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣;U··（t）、U·（t）和U（t）分別為渡槽結(jié)構(gòu)響應(yīng)的加速度、速度和位移矢量;f（U，t）和F（t）分別為渡槽結(jié)構(gòu)的恢復力和外部荷載矢量;Ψ=（Ψ1，Ψ2，…，Ψn）為渡槽結(jié)構(gòu)包含的所有隨機參數(shù)矢量;n為基本隨機變量的個數(shù);t為時間。

設(shè)X=（X1，X2，…，Xm）T為渡槽結(jié)構(gòu)中感興趣的響應(yīng)量，則依據(jù)概率守恒原理，渡槽結(jié)構(gòu)隨機動力響應(yīng)的概率密度滿足偏微分方程[1718]

式中：X·（ψ，t）為響應(yīng)量的廣義速度。

式（6）的初始條件為

式中：x0為x的初始值，δ（·）為Dirac delta函數(shù)。

式（6）即為廣義概率密度演化方程，揭示了渡槽結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率信息隨時間的演化規(guī)律。通過求解式（5）～式（7），可獲得渡槽結(jié)構(gòu)響應(yīng)量的概率密度函數(shù)

進而得到給定閾值下Xlim的渡槽結(jié)構(gòu)時變可靠度

2.2與蒙特卡洛模擬方法的比較研究

為了驗證概率密度演化方法在渡槽結(jié)構(gòu)可靠性分析中的適用性，分別采用蒙特卡洛模擬和概率密度演化方法計算渡槽結(jié)構(gòu)的隨機動力響應(yīng)，并進行對比研究。采用GF偏差選點方法[25]，優(yōu)化選取200個離散代表性樣本點集開展基于概率密度演化方法的隨機結(jié)構(gòu)分析，并進行10 000次蒙特卡洛模擬，分別獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計矩信息。

對于蒙特卡洛模擬，前k階響應(yīng)統(tǒng)計矩可按式（10）、式（11）計算。

其中：為期望算子;NMCS為蒙特卡洛方法分析次數(shù);k=2，3，4，…。對于概率密度演化方法，前k階響應(yīng)的統(tǒng)計矩計算公式為

式中：NPDEM為基于概率密度方法選點的代表點個數(shù)，k=2，3，4，…。

分析中取NMCS=10 000;NPDEM=200，Pi為第i個代表點對應(yīng)的賦得概率，可由Voronoi定義計算求得[25]。需要指出的是，在概率密度演化方法中，代表點通過數(shù)學理論上的論證與優(yōu)化，使得僅采用少量“優(yōu)質(zhì)”的代表性點便能獲得足夠精確的隨機響應(yīng)，并極大地提高了計算的效率。這與傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法采用大量非優(yōu)化的隨機樣本點思路不同。

依據(jù)止水相對位移的前4階統(tǒng)計矩，對比圖8、圖9（圖中MCS代表蒙特卡洛方法，PDEM代表概率密度演化方法，下同）可知，概率密度演化方法計算結(jié)果具有與蒙特卡洛方法相同的高精度特性。概率密度演化方法僅需要200次確定性分析，而傳統(tǒng)的蒙特卡洛模擬卻需要數(shù)千上萬次的分析成本（如文中采用的10 000次）?？梢?，概率密度演化方法在精度滿足要求的情況下，計算效率上具有顯著的優(yōu)勢。

為了深入分析渡槽結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的更多概率信息，圖10給出了基于概率密度演化方法的截口概率密度函數(shù)與基于蒙特卡洛方法的截口響應(yīng)直方圖對比，圖11給出了不同時刻下的概率分布函數(shù)（圖中3條實線為基于概率密度演化方法的計算結(jié)果）和經(jīng)驗分布函數(shù)（圖中三角、矩形和圓形標識為基于蒙特卡洛方法的計算結(jié)果）。

圖10和圖11所示的概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)均為求解廣義概率密度演化方程所得，而基于蒙特卡洛方法的經(jīng)驗分布函數(shù)則由式（14）計算所得。

式中：I·為示性函數(shù)。由于基于蒙特卡洛方法的計算結(jié)果受帶寬影響，因此，圖10中直方圖不能用于反映結(jié)構(gòu)響應(yīng)的密度演化信息;而基于概率密度演化方法，通過對概率密度演化方程的求解，可以獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的截口概率密度函數(shù)（如圖11所示），這也就自然解決了傳統(tǒng)的基于矩方法導致概率信息不封閉的問題。

2.3渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析流程

采用GF偏差選點方法[25]選取若干渡槽隨機結(jié)構(gòu)樣本，并計算相應(yīng)的賦得概率。以此為基礎(chǔ)，采用某實際地震波對渡槽結(jié)構(gòu)進行橫槽向地震動激勵，得到一組確定性地震響應(yīng)分析結(jié)果。利用概率密度演化方法對渡槽結(jié)構(gòu)隨機地震響應(yīng)數(shù)據(jù)進行處理，可獲取渡槽結(jié)構(gòu)止水處響應(yīng)量的概率密度演化信息。通過與吸收邊界條件相結(jié)合，可開展渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能可靠性分析。渡槽結(jié)構(gòu)隨機動力響應(yīng)分析與可靠性求解流程如圖12所示。

3渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性

在渡槽輸水過程中，相鄰槽身之間結(jié)構(gòu)止水的橫向錯動是造成渡槽止水處漏水的主要因素。基于此，重點分析在地震作用下渡槽結(jié)構(gòu)“相鄰槽身之間止水橫向錯動（Dr）”的響應(yīng)規(guī)律，建立Dr與渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性之間的關(guān)聯(lián)機制。

全部隨機結(jié)構(gòu)樣本Dr的時程曲線如圖13所示。由圖13可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨著損傷演化和非線性程度的發(fā)展產(chǎn)生了一定的隨機漲落。這一漲落效應(yīng)在渡槽結(jié)構(gòu)處于初始彈性階段或弱非線性狀態(tài)（約前10 s）表現(xiàn)得并不明顯;然而，隨著地震動激勵引起的渡槽結(jié)構(gòu)損傷累積，渡槽結(jié)構(gòu)的非線性程度加劇，對隨機性的擾動變得愈加敏感，并隨著激勵的變化產(chǎn)生顯著的漲落效應(yīng)（約10～40 s之間）。由圖13還可發(fā)現(xiàn)，有少部分樣本結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)超越了40～60 mm的臨界值。顯然，在渡槽結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計中，忽略混凝土材料力學性質(zhì)隨機性的影響有可能導致結(jié)構(gòu)抗震分析與設(shè)計的不合理，對渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能安全帶來風險。

分別采用兩種不同的有限差分算法，即LaxWendroff（LW）差分格式和總變差減?。═otal Variation Diminishing，TVD）差分格式[17， 26]，求解Dr響應(yīng)的概率密度演化方程，獲得了渡槽結(jié)構(gòu)時程響應(yīng)的均值和均方差（StD）曲線，如圖14所示。盡管LW差分格式具有二階精度，但在結(jié)構(gòu)響應(yīng)概率密度函數(shù)的不連續(xù)點處具有震蕩現(xiàn)象并使得某些情況下的計算失真[27]，因此，該方法僅在驗證TVD格式差分精度時使用。圖14中兩種算法結(jié)果吻合一致，說明在采用TVD格式差分算法求解概率密度演化方程中的差分時間步長取值合理。為了提高差分求解的精度，采用無振蕩TVD格式的高階精度差分算法求解概率密度演化方程。

圖15和圖16分別給出了渡槽槽身節(jié)段一與槽身節(jié)段二之間相對位移響應(yīng)的概率密度隨時間演化的曲面圖和等值線圖。由圖15和圖16可見，渡槽結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)隨時間呈現(xiàn)出隨機漲落效應(yīng)。這一渡槽結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的豐富概率信息，可用于表達Dr隨時間的波動規(guī)律，為開展渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析奠定了基礎(chǔ)。

圖17為3個典型時刻的概率密度曲線。顯然，該概率密度函數(shù)形狀不規(guī)則，且分布的寬度和形狀隨時間發(fā)展均發(fā)生不斷變化。這意味著渡槽結(jié)構(gòu)在地震激勵下的動力響應(yīng)是復雜多變的隨機損傷演化過程，混凝土材料力學性能的隨機性導致了渡槽結(jié)構(gòu)在地震作用下響應(yīng)的隨機漲落效應(yīng)，并表現(xiàn)在Dr隨時間的變化上。因此，在渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能設(shè)計中需考慮混凝土材料隨機性的影響，這對開展渡槽結(jié)構(gòu)止水的抗震性能研究大有裨益。

獲得渡槽結(jié)構(gòu)止水動力響應(yīng)的概率密度信息后，施加與失效閾值相應(yīng)的吸收邊界條件，可求得渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能的可靠性指標。在0.2g地震激勵下，對渡槽槽身節(jié)段一與節(jié)段二之間相對位移閾值Dr分別取40、45、50、55、60 mm，可計算其在不同閾值下的可靠度，如表2所示。5個閾值下渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能的可靠度曲線如圖18所示，渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能可靠度隨時間呈現(xiàn)階梯式下降的規(guī)律。在5個不同失效閾值下，渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠度迥異，也從側(cè)面說明了失效閾值對輸水功能可靠性的影響較大。

在渡槽結(jié)構(gòu)止水的抗震設(shè)計時，一般取失效閾值為50 mm作為設(shè)計指標。上述研究表明，當設(shè)定渡槽結(jié)構(gòu)止水失效閾值為50 mm時，在幅值為0.2g的Chi Chi地震波橫槽向激勵下，渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能可靠度為86.93%。

4結(jié)論

基于混凝土隨機損傷力學模型和概率密度演化理論，提出了渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析方法。主要研究結(jié)論如下：

1）與經(jīng)典隨機結(jié)構(gòu)分析方法相比，基于概率密度演化理論的可靠度分析更加高效且精準，該方法能夠獲得渡槽結(jié)構(gòu)在地震動激勵下的完備概率密度信息。

2）渡槽結(jié)構(gòu)止水相對位移限值是影響渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性的重要因素，尋求提高止水相對位移失效閾值是提高輸水功能可靠性的有效途徑。

3）考慮混凝土材料參數(shù)的隨機性會使渡槽結(jié)構(gòu)止水在同等地震激勵下的位移響應(yīng)出現(xiàn)顯著變異特性。因此，在渡槽結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計中應(yīng)合理考慮混凝土力學性質(zhì)隨機性的影響。參考文獻：

[1] 吳劍國， 金偉良， 張愛暉， 等. 基于馬氏鏈樣本模擬的渡槽結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度分析[J]. 水利學報， 2006， 37（8）： 985990.

WU J G， JIN W L， ZHANG A H， et al. System reliability analysis of aqueduct structure based on Markov chain sample simulation [J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2006， 37（8）： 985990. （in Chinese）

[2] 樓夢麟， 洪婷婷， 朱玉星. 預(yù)應(yīng)力渡槽的豎向振動特性和地震反應(yīng)[J]. 水利學報， 2006， 37（4）： 436442， 450.

LOU M L， HONG T T， ZHU Y X. Vertical dynamic characteristics and seismic response of prestressed aqueduct [J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2006， 37（4）： 436442， 450. （in Chinese）

[3] 夏富洲. 渡槽水毀及其它破壞的修復[J]. 人民長江， 2000， 31（3）： 1719， 50.

XIA F Z. Repairing of aqueduct damage by water and other failures [J]. Yangtze River， 2000， 31（3）： 1719， 50. （in Chinese）

[4] 劉杰勝， 吳少鵬， 米軼軒. 大型渡槽伸縮縫止水材料與結(jié)構(gòu)研究[J]. 水科學與工程技術(shù)， 2009（2）： 911.

LIU J S， WU S P， MI Y X. The research of sealing materials and sealing structure of expansion joint in the large scale aqueduct [J]. Water Sciences and Engineering Technology， 2009（2）： 911. （in Chinese）

[5] 董安建， 李現(xiàn)社. 水工設(shè)計手冊 [M]. 2版. 北京： 中國水利水電出版社，2014.

DONG A J， LI X S. Hydraulic design manual [M]. 2nd edition. Beijing： China Water & Power Press， 2014. （in Chinese）

[6] 周浩. 混凝土結(jié)構(gòu)隨機倒塌分析理論與整體可靠性研究[D]. 上海： 同濟大學， 2018.

ZHOU H. Theoretical study on stochastic collapse analysis and antiseismic global reliability of concrete structures [D]. Shanghai： Tongji University， 2018. （in Chinese）

[7] ZHOU H， LI J， REN X D. Multiscale stochastic structural analysis toward reliability assessment for large complex reinforced concrete structures [J]. International Journal for Multiscale Computational Engineering， 2016， 14（3）： 303321.

[8] 李杰， 馮德成， 任曉丹， 等. 混凝土隨機損傷本構(gòu)關(guān)系工程參數(shù)標定與應(yīng)用[J]. 同濟大學學報（自然科學版）， 2017， 45（8）： 10991107.

LI J， FENG D C， REN X D， et al. Calibration and application of concrete stochastic damage model [J]. Journal of Tongji University（Natural Science）， 2017， 45（8）： 10991107. （in Chinese）

[9] 李杰， 吳建營， 陳建兵. 混凝土隨機損傷力學[M]. 北京： 科學出版社， 2014.

LI J， WU J Y， CHEN J B. Stochastic damage mechanics of concrete structures[M]. Beijing： Science Press， 2014.

[10] 解偉， 陳愛玖， 李樹山， 等. 涵洞式渡槽可靠度分析[J]. 灌溉排水學報， 2006， 25（4）： 9092.

XIE W， CHEN A J， LI S S， et al. Reliability analysis of culvert aqueduct [J]. Journal of Irrigation and Drainage， 2006， 25（4）： 9092. （in Chinese）

[11] 徐建國， 王博， 陳淮， 等. 大型渡槽結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)可靠性分析[J]. 人民長江， 2009， 40（21）： 8790.

XU J G， WANG B， CHEN H， et al. Seismic reliability assessment of nonlinear largescale aqueduct [J]. Yangtze River， 2009， 40（21）： 8790. （in Chinese）

[12] 安旭文， 朱暾. 罕遇地震下渡槽槽架結(jié)構(gòu)彈塑性側(cè)移的可靠度分析[J]. 武漢大學學報（工學版）， 2010， 43（5）： 604607.

AN X W， ZHU T. Reliability analysis of elastoplastic displacements of aqueduct structure under infrequent earthquake [J]. Engineering Journal of Wuhan University， 2010， 43（5）： 604607. （in Chinese）

[13] 劉章軍， 方興. 大型渡槽結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)與抗震可靠度分析[J]. 長江科學院院報， 2012， 29（9）： 7781.

LIU Z J， FANG X. Stochastic earthquake response and seismic reliability analysis of largescale aqueduct structures [J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute， 2012， 29（9）： 7781. （in Chinese）

[14] 張威， 王博， 徐建國， 等. 隨機地震作用下大型渡槽結(jié)構(gòu)可靠性求解方法[J]. 水力發(fā)電學報， 2018， 37（10）： 113120.

ZHANG W， WANG B， XU J G， et al. Solution to reliability of large aqueduct structures subjected to random earthquake ground motions [J]. Journal of Hydroelectric Engineering， 2018， 37（10）： 113120. （in Chinese）

[15] 李杰， 陳建兵. 概率密度演化理論的若干研究進展[J]. 應(yīng)用數(shù)學和力學， 2017， 38（1）： 3243.

LI J， CHEN J B. Some new advances in the probability density evolution method [J]. Applied Mathematics and Mechanics， 2017， 38（1）： 3243. （in Chinese）

[16] 周浩， 李杰. 基于不同本構(gòu)模型的混凝土結(jié)構(gòu)地震倒塌對比分析[J]. 建筑結(jié)構(gòu)學報， 2016， 37（9）： 818.

ZHOU H， LI J. Comparison study on seismic collapse of concrete structures with different constitutive models [J]. Journal of Building Structures， 2016， 37（9）： 818. （in Chinese）

[17] CHEN J B， LI J. Dynamic response and reliability analysis of nonlinear stochastic structures [J]. Probabilistic Engineering Mechanics， 2005， 20（1）： 3344.

[18] LI J， CHEN J B. Stochastic dynamics of structures[M]. Chichester， UK： John Wiley & Sons， Ltd， 2009.

[19] 宋鵬彥， 陳建兵， 萬增勇， 等. 混凝土框架結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)概率密度演化分析[J]. 建筑結(jié)構(gòu)學報， 2015， 36（11）： 117123.

SONG P Y， CHEN J B， WAN Z Y， et al. Probability density evolution analysis of stochastic seismic response of concrete frame structures [J]. Journal of Building Structures， 2015， 36（11）： 117123. （in Chinese）

[20] KABA S， MAHIN S A. Refined modeling of reinforced concrete columns for seismic analysis [R]. Berkeley： Earthquake Engineering Research Center， University of California， 1984.

[21] MAHASUVERACHAI M. Inelastic analysis of piping and tubular structures [R]. Berkeley： Earthquake Engineering Research Center， University of California， 1982.

[22] 蘇小鳳. 考慮水體質(zhì)量雙槽式渡槽結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)研究[D]. 蘭州： 蘭州交通大學， 2014.

SU X F. Research on seismic response of doublebody aqueduct structure considering water mass [D]. Lanzhou： Lanzhou Jiaotong University， 2014.（in Chinese）

[23] 馮光偉， 程德虎， 李明新， 等. 大斷面U形預(yù)制渡槽止水構(gòu)件試驗與設(shè)計優(yōu)化[J]. 人民長江， 2013， 44（16）： 3942， 50.

FENG G W， CHENG D H， LI M X， et al. Test and design optimization for waterseal member of large precast Utype prestressed aqueduct [J]. Yangtze River， 2013， 44（16）： 3942， 50. （in Chinese）

[24] 曾金鴻. 東深供水改造工程渡槽伸縮縫新型止水結(jié)構(gòu)設(shè)計與施工[J]. 水利水電科技進展， 2005， 25（3）： 3537.

ZENG J H. Design and construction of a new sealing structure for aqueduct expansion joints in DongShen water supply reconstruction project [J]. Advances in Science and Technology of Water Resources， 2005， 25（3）： 3537. （in Chinese）

[25] CHEN J B， YANG J Y， LI J. A GFdiscrepancy for point selection in stochastic seismic response analysis of structures with uncertain parameters [J]. Structural Safety， 2016， 59： 2031.

[26] LI J， CHEN J B. Probability density evolution method for dynamic response analysis of structures with uncertain parameters [J]. Computational Mechanics， 2004， 34（5）： 400409.

[27] 陳建兵， 李杰. 隨機結(jié)構(gòu)復合隨機振動分析的概率密度演化方法[J]. 工程力學， 2004， 21（3）： 9095.

CHEN J B， LI J. The probability density evolution method for compound random vibration analysis of stochastic structures [J]. Engineering Mechanics， 2004， 21（3）： 9095. （in Chinese）

（編輯王秀玲）