不同維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的無源同步控制

邵克勇, 卜瑞漩, 周莉園, 徐紫輝, 張 軼

(1. 東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院, 黑龍江 大慶 163318； 2. 中國(guó)石油 北京油氣調(diào)控中心, 北京 100007)

0 引 言

分?jǐn)?shù)微積分的概念始于17世紀(jì), 但直到最近幾十年其才引起了多個(gè)領(lǐng)域研究者的關(guān)注。與整數(shù)微積分相比, 分?jǐn)?shù)微積分能更充分、 有效地解釋和處理許多具有挑戰(zhàn)性的問題[1-2]。另一方面, 在許多分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜的分岔現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象, 例如, Lorenz混沌系統(tǒng)[3], 統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[4], 蔡氏混沌電路[5], 改進(jìn)的Duffing混沌系統(tǒng)[6]以及Rossler混沌系統(tǒng)等[7]?；煦缤降闹饕蝿?wù)是確保主、 從系統(tǒng)達(dá)到完全同步狀態(tài), 其目的是使用主系統(tǒng)的輸入控制從系統(tǒng), 以使從系統(tǒng)的輸出漸近地跟蹤主系統(tǒng)的輸出。由于混沌分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)保密通信和控制處理中的潛在應(yīng)用, 使其同步成為具有挑戰(zhàn)性的問題。近些年來, 人們提出了混沌系統(tǒng)同步的多種方法。其中包括線性和非線性反饋控制[8]、 主動(dòng)控制[9]、 反推控制[10]、 自適應(yīng)控制[11]和脈沖控制[12]等。

許多研究者以同維同結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)為被控對(duì)象, 采用無源控制使其達(dá)到漸近穩(wěn)定, 然而以不同維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)為背景可能在某些實(shí)際情況下更有意義[13]。Van[14]提出無源性是系統(tǒng)所希望擁有的性能, 研究還表明, 無源控制具有物理解釋清晰、 控制工作量小和易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。無源性理論中的存儲(chǔ)函數(shù)和其系統(tǒng)能量之間有著密不可分的關(guān)系, 故可將其存儲(chǔ)函數(shù)等效于系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù), 用于判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[15]針對(duì)整數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng), 提出了一種基于反饋無源性的控制器設(shè)計(jì)方法, 實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)相同的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)在不同初始條件下的同步。文獻(xiàn)[16]基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理和無源系統(tǒng)的性質(zhì), 研究了分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)之間的同步問題。文獻(xiàn)[17]基于反饋無源化控制方法, 提出了一種用于分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)穩(wěn)定的自適應(yīng)反饋控制器設(shè)計(jì)方法, 實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)自適應(yīng)無源同步。文獻(xiàn)[18]結(jié)合跟蹤控制思想, 提出了基于無源控制的混沌系統(tǒng)同步控制方法, 實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)和整數(shù)階混沌系統(tǒng)的無源同步, 并證明無源控制方法優(yōu)于反饋控制?，F(xiàn)有研究不同維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)無源同步控制的成果較少。筆者研究具有不同維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng), 利用無源控制的方法同步, 通過無源控制特性構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù), 設(shè)計(jì)相應(yīng)的主動(dòng)控制器和無源控制器, 實(shí)現(xiàn)了不同初始條件下的不同維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的無源同步控制。該方法簡(jiǎn)單有效, 可使系統(tǒng)快速達(dá)到穩(wěn)定。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)

(1)

其中x∈Rn是狀態(tài)向量,u(t)∈Rm是輸入向量,y∈Rm是輸出向量,α∈(0,1)。其中f(x)和g(x)假設(shè)為光滑向量場(chǎng),h(x)是光滑映射,f(0)=h(0)=0。

定義1 連續(xù)函數(shù)f(t)的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中Γ(·)為Gamma函數(shù)。

引理1[19]令x(t)∈Rn是一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù), 則

(2)

引理2[20]設(shè)x(t)=0為系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn), 假設(shè)存在一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)V(t,x)和K類函數(shù)γi(i=1,2,3)滿足

γ1(‖x(t)‖)≤V(t,x(t))≤γ2(‖x(t)‖)

(3)

CDαV(t,x(t))≤-γ3(‖x(t)‖)

(4)

則系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的。

引理3[20]若系統(tǒng)(1)的零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的, 則該系統(tǒng)在控制器u的作用下嚴(yán)格無源。

引理4[21]如果存在一個(gè)實(shí)值常數(shù), 對(duì)?t≥0, 有

(5)

或存在一個(gè)常數(shù)ρ>0, 對(duì)?t≥0, 有

則系統(tǒng)(1)為無源系統(tǒng)。

引理5[22]若系統(tǒng)(1)是無源的并具有正定存儲(chǔ)函數(shù)V, 其零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定, 則系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。

當(dāng)系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)處相對(duì)階次為1, 且由向量場(chǎng)所張成的分布為對(duì)合分布時(shí), 系統(tǒng)可用正態(tài)形式表示為

CDαz=f0(z)+p(z,y)y，CDαy=b(z,y)+a(z,y)u

(6)

該系統(tǒng)的新坐標(biāo)為(z,y), 其中z∈Rn-m,a(z,y)對(duì)任意的(z,y)都是非奇異的。當(dāng)y=0可得零動(dòng)態(tài)

CDαz=f0(z)

筆者的任務(wù)是設(shè)計(jì)主動(dòng)控制器和無源控制器, 從降階和增階兩方面研究不同維混沌分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的無源同步問題。即設(shè)計(jì)

u=α(x,y)+β(z,y)+φ(z,y)v

使系統(tǒng)

CDαz=f0(z)+p(z,y)y

CDαy=b(z,y)+a(z,y)α(x,y)+a(z,y)β(z,y)+a(z,y)φ(z,y)v

漸近穩(wěn)定且嚴(yán)格無源。其中v是外部輸入信號(hào)。

2 主要內(nèi)容

考慮如下四維分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

(7)

三維分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌響應(yīng)系統(tǒng)

(8)

其中u1=ua1,u2=ua2+ub,u3=ua3,ua1,ua2,ua3為主動(dòng)控制器,ub為無源控制器。

當(dāng)α=0.98, (a,b,c,γ)=(10,8/3,28,-1), 任選初值x(0)=(1,3,3,1)T, 系統(tǒng)(7)混沌吸引子如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和吸引子Fig.1 The hyperchaotic attractor of the fractional order Lorenz system

當(dāng)α=0.98, (a,b,c)=(10,8/3,28), 任選初值y(0)=(0.1,0.1,0.1)T, 系統(tǒng)(8)混沌吸引子如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)狀態(tài)軌跡和吸引子Fig.2 The state trajectory and attractor of fractional Lorenz chaotic system

根據(jù)上述系統(tǒng), 定義誤差為e=y-Λx,Λ為實(shí)數(shù)矩陣。為使誤差系統(tǒng)穩(wěn)定, 設(shè)計(jì)主動(dòng)控制器和無源控制器。

定理1 存在一個(gè)主動(dòng)控制器ua=(ua1,ua2,…,uam)T和一個(gè)多項(xiàng)式矩陣Λ, 使所構(gòu)造新的誤差系統(tǒng)滿足零動(dòng)態(tài)穩(wěn)定。

其中‖·‖是歐幾里得范數(shù)；Λ是m×n實(shí)矩陣, 矩陣元素Λij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)為一個(gè)連續(xù)有界的函數(shù)。

證明 令

有e1=y1-x1,e2=y2-x2+x4,e3=y3-x3, 得誤差系統(tǒng)

(9)

為構(gòu)造新的誤差系統(tǒng), 設(shè)計(jì)如下主動(dòng)控制器

ua1=x4,ua2=0,ua3=-e1x2

得新的誤差系統(tǒng)

令e1=z1,e2=y,e3=z2, 則

(10)

令y=0, 系統(tǒng)(10)的零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為

dαz1/dtα=-az1, dαz2/dtα=-bz2

(11)

利用李雅普諾夫直接法, 證明系統(tǒng)(11)的穩(wěn)定性。定義Lyapunov函數(shù)為

(12)

由引理1和式(11)可得

由引理2有, 零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(11)是漸近穩(wěn)定的。根據(jù)引理3, 系統(tǒng)(10)可以通過設(shè)計(jì)控制器無源化。

定理2 存在如下控制器

ub=(-a-c+x3)z1+x2x3-γx4y+v

使閉環(huán)控制系統(tǒng)(10)具有無源性,v是外部輸入信號(hào)。

證明 考慮到

將控制器ub代入有

對(duì)不等式兩邊進(jìn)行積分, 得

(13)

其中V(z,y)≥0, 令V(z0,y0)=η, 則式(13)可改寫為

根據(jù)引理4, 系統(tǒng)(10)是一個(gè)無源系統(tǒng)。根據(jù)引理5, 系統(tǒng)(10)在平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。

為驗(yàn)證該方法的普遍性, 將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)調(diào)換。即三維分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 四維分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

(14)

響應(yīng)系統(tǒng)

(15)

其中u1=ua1,u2=ua2+ub,u3=ua3,u4=ua4,ua1,ua2,ua3,ua4為主動(dòng)控制器,ub為無源控制器。

令

有e1=y1-x1-x2,e2=y2-x2-x3,e3=y3-x1-x3,e4=y4-x1-x2-x3, 得誤差系統(tǒng)為

考慮無源控制器設(shè)計(jì)及同步問題, 設(shè)計(jì)如下主動(dòng)控制器

ua1=-y4+cx1-x1x3-x2,ua2=0,ua3=-e1x2-bx3+x1x2,

ua4=-γy4+y2y3+a(x2-x1)-ae4

得新的誤差系統(tǒng)

令e1=z1,e2=y,e3=z2,e4=z3, 則

(16)

令y=0, 可得零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

dαz1/dtα=-az1, dαz2/dtα=-bz2, dαz3/dtα=-az3

(17)

利用李雅普諾夫直接法, 證明系統(tǒng)(17)的穩(wěn)定性。定義Lyapunov函數(shù)為

(18)

由引理1和式(18)可得

為使系統(tǒng)穩(wěn)定, 無源控制器設(shè)計(jì)如下

ub=(-a-c+x3)z1+x2x3-bx3+v

通過引理4、 引理5可驗(yàn)證系統(tǒng)(16)是無源的, 且在平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。由定理1、 定理2以及分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論, 誤差系統(tǒng)(10)、(16)在控制器作用下漸近穩(wěn)定, 從而實(shí)現(xiàn)了不同維分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的無源同步。

3 數(shù)值仿真

考慮系統(tǒng)(7)、(8), 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的參數(shù)值選取a=10,b=8/3,c=28,γ=-1, 系統(tǒng)仿真時(shí)間為10 s, 初始條件為x(0)=(1,3,3,1)T,y(0)=(0.1,0.1,0.1)T。同步仿真結(jié)果如圖3所示。系統(tǒng)(14)、(15)仿真結(jié)果如圖4所示。通過仿真分析得出結(jié)論, 系統(tǒng)同步誤差最終漸近趨于零, 實(shí)現(xiàn)了不同維分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的無源同步。

圖3 四維驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和三維響應(yīng)系統(tǒng) 圖4 四維驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和三維響應(yīng)系統(tǒng) 的無源同步控制誤差曲線 的反饋同步控制誤差曲線 Fig.3 The error curves of passive synchronous Fig.4 Feedback synchronization control error control for four-dimensional drive system curves of four-dimensional drive system and three-dimensional response system and three-dimensional response system

無源控制器和反饋控制器的同步誤差曲線如圖3～圖6所示。可見, 該系統(tǒng)在無源同步控制器控制下具有收斂速率快、 控制穩(wěn)定的效果, 其效果明顯優(yōu)于反饋控制器。

圖5 三維驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和四維響應(yīng)系統(tǒng) 圖6 三維驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和四維響應(yīng)系統(tǒng) 的無源同步控制誤差曲線 的反饋同步控制誤差曲線 Fig.5 The error curves of passive synchronous Fig.6 The feedback synchronization control error control for three-dimensional drive system curves of the three-dimensional drive system and four-dimensional response system and the four-dimensional response system

4 結(jié) 語

筆者對(duì)不同維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步問題提出了新的同步控制策略。首先, 利用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論和無源控制理論, 設(shè)計(jì)了新的無源控制方案。通過對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)非線性部分的分析得到矩陣Λ, 同時(shí)用主動(dòng)控制器構(gòu)造新的誤差系統(tǒng)對(duì)無源控制方法進(jìn)行改進(jìn)。從降階和增階兩方面, 實(shí)現(xiàn)不同維分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)的無源化。通過無源控制策略, 提高了不同維分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)同步效果, 有效達(dá)到同步控制并縮短了同步的時(shí)間。最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該控制器。該方法可進(jìn)一步推廣到其他不同維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)。