塊體可動性判斷的幾何算法研究

徐棟棟，李 波

(長江科學(xué)院 水利部巖土力學(xué)與工程重點實驗室，湖北 武漢 430010)

塊體理論由石根華等在1985年首次提出[1]，是非連續(xù)變形分析方法[2]和數(shù)值流形法[3]的基礎(chǔ)。塊體理論本質(zhì)上是一種幾何分析方法，通過篩選幾何上可動的塊體，然后針對這一類塊體展開穩(wěn)定性分析，極大地提高了效率。目前，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于地下洞室、巖質(zhì)邊坡和壩基工程穩(wěn)定性分析中。塊體理論理論上非常完備，但針對某些假定的局限性以及工程實際需求，不少學(xué)者對其進行了改進。其發(fā)展主要有：①理論改進。如陳勝宏等[4]提出三維彈粘塑性塊體理論，克服了傳統(tǒng)塊體理論未考慮力矩影響和結(jié)構(gòu)面變形的缺陷。張子新等[5]建立了分形塊體理論，并應(yīng)用于三峽永久船閘高邊坡巖體穩(wěn)定性分析中，計算結(jié)果有效可靠。于青春等[6]提出一般塊體理論方法，可解決任意大小裂隙、任意形狀工程巖體的巖石塊體識別及穩(wěn)定性等計算問題，克服了無限大結(jié)構(gòu)面假設(shè)、無法預(yù)測巖石塊體數(shù)量和位置等缺點。鄔愛清等[7]在三維結(jié)構(gòu)面網(wǎng)絡(luò)模擬的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了三維隨機塊體的搜索工作。徐棟棟等[8]將塊體理論擴展到地震歷時作用下的動力穩(wěn)定性分析中，以累積滑動位移和動安全系數(shù)共同評價塊體的動力穩(wěn)定性。②工程應(yīng)用及改進。黃正加等[9]將塊體理論中的矢量法成功地應(yīng)用于三峽工程的隨機塊體及大型斷層定位塊體的穩(wěn)定性分析中。張奇華等[10]將塊體理論的應(yīng)用在百色水利樞紐地下廠房巖體穩(wěn)定性分析中進行了充分的展示。王在泉等[11]將塊體理論應(yīng)用于搜索巖質(zhì)邊坡的潛在滑移面。毛海和等[12]將其應(yīng)用于龍灘水電站地下廠房洞室群工程穩(wěn)定分析。楊慶等[13]將其應(yīng)用于荒溝抽水蓄能電站地下廠房系統(tǒng)硐室群圍巖穩(wěn)定性分析中。鄔愛清[14]將塊體理論應(yīng)用于三峽工程船閘邊坡和地下廠房巖石塊體穩(wěn)定性分析中，解決了一系列關(guān)鍵問題，如任意形狀的塊體體積計算、凹形塊體幾何識別以及水壓力計算等。③軟件開發(fā)。張奇華等[15]在Windows環(huán)境下開發(fā)了塊體理論的工程分析軟件，具備完備工程分析所需功能，如赤平投影、復(fù)雜塊體可視化、塊體穩(wěn)定性分析及支護措施、隨機塊體分析等。中國科學(xué)院大學(xué)工程計算中心也研發(fā)了easyKBT和VisKBT軟件，具有較好交互界面。另外，李建勇等[16]綜述了塊體理論的發(fā)展歷程，具有很好的參考價值。

工程巖體穩(wěn)定性分析往往是在地質(zhì)素描圖的基礎(chǔ)上展開的，第一步要找出不同結(jié)構(gòu)面組合可能形成的可動塊體。赤平投影分析方法因其直觀性，受到了工程人員的青睞，實際上是一種純幾何分析方法。判斷塊體的有限性和可動性，實際上就是判斷節(jié)理錐是否非空以及節(jié)理錐和開挖錐之間是否有交集。傳統(tǒng)方法采用人為觀測方式來判斷，這一方式受主觀因素影響較大。通過計算幾何方式將這些節(jié)理錐或開挖錐以幾何圖形方式進行表征，進而通過其間的關(guān)系判斷塊體的可動性，可提高分析準(zhǔn)確性和效率。

1 塊體理論概述

裂隙巖體由空間不連續(xù)面切割而成，在自然狀態(tài)下是靜力平衡的。但當(dāng)遭遇到人工擾動，如邊坡或地下洞室開挖等，會使得暴露在臨空面上的塊體由于邊界條件的解除而失去了原始平衡狀態(tài)，產(chǎn)生剪切滑移或崩塌，甚至?xí)a(chǎn)生連帶效應(yīng)，造成整個工程巖體的破壞。首先失穩(wěn)的塊體稱之為關(guān)鍵塊體。塊體理論研究巖體結(jié)構(gòu)被擾動后的破壞機制以及相應(yīng)的工程處理措施。塊體理論嚴(yán)格遵循3個基本假定：①不連續(xù)面為平面且無限大；②巖石塊體為剛體；③巖體失穩(wěn)為沿結(jié)構(gòu)面的剪切滑移。

1.1 兩個基本定理

塊體的可動性判斷是基于棱錐展開的。棱錐是將各組結(jié)構(gòu)面和臨空面移至一公共點后，構(gòu)成的以此公共點為頂點的一系列空間區(qū)域。僅以結(jié)構(gòu)面為界的巖體半空間所構(gòu)成的棱錐稱為節(jié)理錐(JP)；僅以臨空面為界的巖體半空間所構(gòu)成的棱錐稱為開挖錐(EP)。塊體的有限性及幾何可動性定理如下：

1)塊體的有限性定理：

一個凸形塊體為有限的充要條件是，節(jié)理錐與開挖錐的交集為空集。即：

JP∩EP=Φ。

(1)

2)凸形塊體幾何可動性定理：

一個凸形塊體，當(dāng)其塊體有限，且節(jié)理錐為非空集時，該塊體為幾何上的可動塊體；當(dāng)其塊體有限，節(jié)理錐域也是空集，則塊體為幾何上的不可動塊體?？蓜訅K體的充要條件用數(shù)學(xué)表達(dá)為：

(2)

1.2 全空間赤平投影

塊體理論有兩種分析方法：矢量運算法和全空間赤平投影方法。兩者是相互獨立的求解方法，這里僅針對全空間赤平投影這種幾何分析方法展開，目的在于克服塊體有限性判斷時需要人為觀測JP和EP幾何包含關(guān)系的缺陷。全空間赤平投影是判斷塊體可動性的最為直觀和簡便的方法?？臻g不連續(xù)面的全空間赤平投影為一圓形，其內(nèi)部相應(yīng)于不連續(xù)面的上半空間，外部表示全部下半空間，兩者組合在一起構(gòu)成全空間。

如圖1，赤平投影以球體作為投影工具(稱為投影球)，將結(jié)構(gòu)面或臨空面平移使之置于球心，由球心發(fā)射射線將所有平面自球心開始投影于球面上，得到平面的球面投影。然后，再以投影球的南極或北極為發(fā)射點，將平面的球面投影再投影于赤道平面上。本研究采用的是下極射投影，也就是從球的南極點發(fā)射射線，如圖2。

圖1 投影球和投影圓

圖2 投影原理

全空間赤平投影將三維巖體的空間屬性以二維投影區(qū)域的方式表示，便于塊體理論的工程應(yīng)用。不連續(xù)面組成的不同類型的錐域可用全空間極射赤平投影平面上相應(yīng)的投影區(qū)域表示；塊體的有限性和幾何可動性判斷定理則是相應(yīng)投影區(qū)域間的幾何包含關(guān)系。

2 可動性判斷的幾何算法實現(xiàn)

以文獻[17]中凹形邊坡算例為例，對塊體可動性判斷的幾何算法實現(xiàn)流程作說明，流程圖如圖3所示。采用MATLAB編程實現(xiàn)，該流程可以復(fù)現(xiàn)且難度不大。

圖3 算法程序流程圖

1)選用案例參數(shù)

邊坡中有4組結(jié)構(gòu)面P1～P4和2組臨空面P5～P6，各個平面的產(chǎn)狀如表1所示；是由P5的下盤L5和P6的上盤U6組成的凹形邊坡。

表1 各個平面的產(chǎn)狀

2)赤平投影圓的半徑及圓心

直角坐標(biāo)系下，赤平投影圖以參照圓圓心為原點，正東為x向軸，正北為y向軸。設(shè)不連續(xù)面P的投影圓半徑為r，傾角為α，傾向為β的平面，圓心坐標(biāo)為Cx和Cy，則有：

(3)

其中，R表示參照球面的半徑。

計算幾何中，往往采用一系列短線段組合的方式來表征圓形，當(dāng)線段長度足夠短時可以逼近整圓，這與文獻[1]塊體理論相關(guān)程序中的處理保持一致。選用所有結(jié)構(gòu)面和臨空面投影圓中半徑最小的圓的某個小角度所對應(yīng)的弧長作為基準(zhǔn)，對所有的圓進行離散。離散時所用角度可以根據(jù)計算需要進行調(diào)整，本研究選用5°離散線段表征結(jié)構(gòu)面和臨空面的投影圓，如圖4所示。通過離散點以及交割點即可對JP和EP所代表的區(qū)域進行幾何描述，類似于非連續(xù)變形分析方法中的“塊體”。

圖4 結(jié)構(gòu)面和臨空面的投影圓

3)無限區(qū)域的有限表征

根據(jù)下極射投影，不連續(xù)面的上盤為投影圓的內(nèi)部區(qū)域，是一個有限區(qū)域；而下盤則是一個無限區(qū)域，這使得幾何描述JP或EP區(qū)域變得不可能。但采用合適的有限區(qū)域表征這一無限區(qū)域即可將這一癥結(jié)徹底解決。

具體做法為：針對所有的投影圓，確定一個初始矩形框，剛好將所有圓包含在內(nèi)；然后將水平和豎直向外延一定的長度確定新的矩形框，如圖5所示。確定所有圓的最小x坐標(biāo)點和最大x坐標(biāo)點，建立兩條與矩形框相交的線段，使得矩形框與投影圓之間可以建立幾何切割關(guān)系，便于后續(xù)對于JP或EP的幾何特征的描述。至此，就形成了切割JP、EP系統(tǒng)以及表征上下盤關(guān)系所需要的所有線段的信息。下一步的工作就是進行拓?fù)淝懈?，形成相關(guān)環(huán)路信息。

圖5 表征結(jié)構(gòu)面和臨空面的幾何系統(tǒng)

4)拓?fù)淝懈钚纬蒍P初始域

這里，參與切割的是結(jié)構(gòu)面投影圓的相關(guān)線段以及補充的矩形框和兩條線段，切割完后形成了表征不同JP的初始相關(guān)環(huán)路，如圖6所示。實際上，兩條輔助線段是為了規(guī)避切割程序?qū)Χ噙B通域無法操作的缺陷而引入的，它們本不應(yīng)存在。因此，對于共用兩條輔助線段的相關(guān)區(qū)域的所有線段，在剔除這兩條線段后，進行環(huán)路搜索，即將這些區(qū)域進行融合生成了最終的JP，如圖7所示。環(huán)路搜索是一個較為復(fù)雜的拓?fù)洳僮?，具體可參考文獻[18]。

圖6 形成的初步JP區(qū)域

圖7 形成的最終JP區(qū)域

5)開挖錐區(qū)域

針對這一算例，開挖錐EP=L5∪U6，L5和U6區(qū)域如圖8所示。換言之，表征P5的下盤區(qū)域和表征P6的上盤區(qū)域的并集為開挖錐EP的區(qū)域，如圖9所示。表征L5的多邊形為一多連通區(qū)域，U6為一單連通區(qū)域，兩者求并已經(jīng)有很多較為成熟的算法，這里不再贅述。

圖8 P5的下盤和P6的上盤

圖9 EP區(qū)域

6)確定節(jié)理錐編號

將每個JP區(qū)域依次與4個投影圓區(qū)域進行比較，若JP位于圓內(nèi)，則JP區(qū)域處于上盤，記為0，否則是下盤，記為1，循環(huán)完后即可得到JP區(qū)域的編號，如圖10所示。

圖10 JP編號

7)確定JP區(qū)域與EP區(qū)域是否有交集

已知在JP非空的情況下，判斷JP和EP是否具有交集，以便于判斷塊體的可動性。如圖11所示，JP1100和1010與EP并無交集，說明塊體是可動的。其余情況下，兩者均有交集，說明塊體為不可動塊體。如圖12所示，JP1011和1111中突出的三維展示部分為交集。

圖11 可動塊體的JP與EP幾何關(guān)系展示

圖12 不可動塊體的JP和EP的幾何關(guān)系展示

3 工程應(yīng)用

針對某供水工程TBM開挖隧洞，基于現(xiàn)場實測結(jié)構(gòu)面數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計學(xué)的方法對巖體結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了定量化的描述和分析。在此基礎(chǔ)上，利用蒙特卡羅對未測繪段洞室進行了模擬，生成了相應(yīng)的隨機結(jié)構(gòu)面。利用本研究的算法，對臨近的可能形成可動塊體的不同隨機結(jié)構(gòu)面的組合進行了排查。在確定幾何可動塊體后，進一步利用全空間赤平投影程序進行分析滑動模式及安全系數(shù)的計算。極大減輕了工程師肉眼觀測的負(fù)擔(dān)，節(jié)省了工作量，提高了分析效率。本研究只選取一套可能的隨機面組合進行分析，共包含4組結(jié)構(gòu)面和4組臨空面，如表2所示。

表2 結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀信息

利用本算法生成的節(jié)理錐如圖13所示。JP0001和0011與EP并無交集，因此為幾何可動塊體，如圖14～15。再進一步分析塊體力學(xué)上的穩(wěn)定性，如圖16所示全空間赤平投影分析結(jié)果，可見0011在自重作用下是穩(wěn)定的；而0001的滑動模式為沿著1、2面滑動，但在給定的摩擦角33°情況下，也是力學(xué)上穩(wěn)定的。塊體0001的形態(tài)如圖17所示，體積為1.64 m3。

圖13 不同區(qū)域代表的節(jié)理錐編號

圖14 JP 0001與EP的幾何關(guān)系

圖15 JP 0011與EP的幾何關(guān)系

圖16 全空間赤平投影分析

圖17 塊體形態(tài)

4 結(jié)論

矢量分析方法可以獨立實現(xiàn)塊體可動性的判斷，但其矩陣運算較為抽象，無法感性地認(rèn)知JP和EP。全空間赤平投影的最大的優(yōu)點在于直觀，本研究針對可動性判斷中塊體是否有限需要人為判斷這一缺陷進行了改進，以表征JP和EP的多邊形之間是否存在重疊區(qū)域來確定兩者之間的包含關(guān)系，可通過計算幾何實現(xiàn)自動判斷。這一套方法從幾何上判斷可動性是完備的，與矢量法是兩種處理方式，相互獨立。通過改進的算法進行第一步的篩選工作，有助快速通過純幾何的方法來獲得幾何可動的塊體。在此基礎(chǔ)上開展力學(xué)分析，可極大地提高分析效率。