應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)的多目標(biāo)優(yōu)化方法比較

吳明飛

【摘 要】文章探討了幾種常見的工程設(shè)計(jì)多目標(biāo)優(yōu)化方法，并以懸梁臂與起重機(jī)箱形主梁為優(yōu)化模型，采用模糊優(yōu)化法和逐步寬容約束法等方法分析了優(yōu)化中的非劣解集。分析實(shí)驗(yàn)效果知，這些方法都具有實(shí)用性。

【關(guān)鍵詞】工程設(shè)計(jì)；多目標(biāo)優(yōu)化；非劣解集

多目標(biāo)最優(yōu)化是門研究多目標(biāo)最優(yōu)化問題的重要學(xué)科，它的研究對象是多數(shù)值目標(biāo)函數(shù)，目的是為了實(shí)現(xiàn)在固定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)函數(shù)值。多目標(biāo)最優(yōu)化問題由V.Pareto在1896年首次提出；在1951年，Koopmans在分析上產(chǎn)與分配效率時(shí)引入有效解，進(jìn)一步推動了多目標(biāo)最優(yōu)化的發(fā)展；20世紀(jì)60年代起，人們開始廣泛關(guān)注多目標(biāo)最優(yōu)化問題，并設(shè)計(jì)了多種多目標(biāo)最優(yōu)化問題解決方案。

一、多目標(biāo)優(yōu)化方法的種類

優(yōu)化設(shè)計(jì)可以提高工程設(shè)計(jì)的整體水平，因此備受設(shè)計(jì)人員的喜愛。優(yōu)化的目的不同，采用的優(yōu)化方法也有所不同。

（一）評價(jià)函數(shù)法。評價(jià)函數(shù)法應(yīng)用簡單，只需建立評價(jià)函數(shù)就能用單目標(biāo)優(yōu)化取代多目標(biāo)優(yōu)化問題。根據(jù)評價(jià)函數(shù)法的形式對它進(jìn)行分類，能分為多種類型：P模理想點(diǎn)法、線性加權(quán)法以及最短距離法等。這些評價(jià)方法具有不同的形式，但卻具有相似的原理。

（二）逐步寬容約束法。評價(jià)函數(shù)法雖然應(yīng)用簡單，但卻很難在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中構(gòu)造。要使復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變成簡單的單目標(biāo)優(yōu)化問題，還可以采用逐步寬容約束法。這種方法是選取多目標(biāo)中的一個(gè)目標(biāo)，通過限定其他目標(biāo)的選值范圍，構(gòu)成一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題。在使用時(shí)不斷改變其他目標(biāo)的取值，記錄函數(shù)值的變化情況，最后選出最優(yōu)函數(shù)值。

（三）目標(biāo)規(guī)劃模型。目標(biāo)規(guī)劃模型的原理是：分別計(jì)算每個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)函數(shù)值，計(jì)算各目標(biāo)最優(yōu)點(diǎn)與計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)的正負(fù)偏差和，通過偏差和確定優(yōu)化工程設(shè)計(jì)的最佳方案。

（四）多目標(biāo)遺傳算法。遺傳算法發(fā)展較迅速，它主要應(yīng)用于含有多變量、多參數(shù)和多目標(biāo)的數(shù)值求解。多目標(biāo)遺傳算法以遺傳算法為基礎(chǔ)，經(jīng)過多年發(fā)展，已經(jīng)出現(xiàn)了NCGA、NPGA、SPGA等多種形式。其中，NCGA方法在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上優(yōu)化了加速收斂過程。

（五）多目標(biāo)模糊優(yōu)化算法。多目標(biāo)模糊優(yōu)化算法應(yīng)用廣泛，它通過對設(shè)計(jì)特征進(jìn)行詳細(xì)分析，劃分優(yōu)化涉及的可行域，給設(shè)計(jì)人員提供優(yōu)化空間。這種方法充分考慮了工程設(shè)計(jì)中的模糊因素，算法的核心就是模糊的設(shè)計(jì)變量、模糊的約束條件、模糊的目標(biāo)函數(shù)。

二、多目標(biāo)優(yōu)化方法的特征及決策方法

優(yōu)化工程設(shè)計(jì)，是為了提高設(shè)計(jì)的整體性能，不可能保證每個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)都能得到最好的實(shí)現(xiàn)。例如，在優(yōu)化過程中，一個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)達(dá)到最佳函數(shù)值，但其他的設(shè)計(jì)目標(biāo)卻處于較差的狀態(tài)。優(yōu)化目標(biāo)之間存在的矛盾關(guān)系，給優(yōu)化方案的評判帶來一定困擾；不同設(shè)計(jì)目標(biāo)有不同的度量標(biāo)準(zhǔn)，難以比較各自的優(yōu)化效果；不同設(shè)計(jì)人員對優(yōu)化方向的定位不同。因此，針對多目標(biāo)的優(yōu)化進(jìn)度不同，引入了非劣解理論。

非劣解，是指采用不同的優(yōu)化方案得到的解的集合。每個(gè)解都有自己的優(yōu)化方向，不能僅通過數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。多目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)解其實(shí)是不存在的。設(shè)計(jì)人員根據(jù)個(gè)人意愿，在非劣解中選擇優(yōu)化方法的過程就是多目標(biāo)決策。

（一）二元相對比較法。首先，以各分目標(biāo)對非劣解集合滿意度為參考依據(jù)，建立矩陣；然后，使用 截矩陣概念，選擇綜合滿意度最高的非劣解。

（二）模糊關(guān)聯(lián)度。模糊關(guān)聯(lián)度是對理想解與非劣解接近程度的反映，通過對非劣解相對理想解的隸屬度進(jìn)行計(jì)算，解決物理量綱影響問題。非劣解一般情況下都是在理想解周圍對稱分布，所以可以選用具有對稱分布特征的隸屬函數(shù)，計(jì)算非劣解與理想解關(guān)聯(lián)度的值，關(guān)聯(lián)度值最大的非劣解就是最優(yōu)非劣解。

三、實(shí)例分析多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)

首先，根據(jù)約束的模糊性，建立多目標(biāo)模糊優(yōu)化模型；然后，使用 最優(yōu)水平截集法，轉(zhuǎn)化模糊約束的規(guī)定區(qū)間為普通集合；再然后，計(jì)算優(yōu)化函數(shù)在普通集合范圍內(nèi)的最大值與最小值；構(gòu)造子目標(biāo)函數(shù)的模糊目標(biāo)集；以字母表的相對重要性未依據(jù)，判斷多目標(biāo)模糊優(yōu)化的最優(yōu)解。

四、分析不同優(yōu)化方法的優(yōu)化特點(diǎn)與效果

線性加權(quán)法：通過改變優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)系數(shù)，得到相應(yīng)的非劣解。然后根據(jù)非劣解計(jì)算得到Pareto的前沿。

逐步寬容約束法：首先處理優(yōu)化目標(biāo)，將它轉(zhuǎn)化成約束條件，進(jìn)而簡化優(yōu)化問題。然后通過漸次放寬目標(biāo)約束條件手段，計(jì)算得到Pareto的前沿。在本方法使用中，應(yīng)合理選擇優(yōu)化目標(biāo)范圍作為約束條件。

P模理想點(diǎn)法：使用不同的P值進(jìn)行計(jì)算，分析計(jì)算結(jié)果可知，P值對優(yōu)化結(jié)果影響較小，試驗(yàn)后取得的優(yōu)化結(jié)果很相似。極大模理想點(diǎn)法與P模理想點(diǎn)法具有相同的優(yōu)化目標(biāo)系數(shù)1，計(jì)算取得的非劣解在線性加權(quán)法（0.5，0.5）范圍內(nèi)。

目標(biāo)點(diǎn)法：參考點(diǎn)的選擇很重要，能對優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生直接影響。選取參考點(diǎn)，首要考慮的就是Pareto前沿，參考點(diǎn)位置離Pareto前沿越近，優(yōu)化結(jié)果和Pareto前沿越相符。但是這種方法對設(shè)計(jì)者的要求較高，設(shè)計(jì)者不僅需要有豐富的知識儲備和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，還要對工程有全面了解。在初期設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者缺乏對工程項(xiàng)目問題的具體分析，不適宜使用這種方法。

NCGA方法：該方法在取得Pareto前沿的同時(shí)，還能計(jì)算可行域范圍的可行解，對工程設(shè)計(jì)有很大的促進(jìn)作用。

兩個(gè)多目標(biāo)決策方法：進(jìn)行懸梁臂優(yōu)化時(shí)，具有較大的優(yōu)化結(jié)果差別；進(jìn)行發(fā)動機(jī)系統(tǒng)優(yōu)化時(shí)，優(yōu)化結(jié)果相似。主要是因?yàn)榘l(fā)動機(jī)系統(tǒng)優(yōu)化運(yùn)用到的兩個(gè)目標(biāo)值具有相同的數(shù)量級，懸臂梁優(yōu)化運(yùn)用到的兩個(gè)目標(biāo)值數(shù)量級差距很大。二元相對比較，是對非劣解之間進(jìn)行比較；模糊關(guān)聯(lián)度法通過求解理想解和非劣解的關(guān)聯(lián)度，判斷最優(yōu)非劣解。這兩種方法的優(yōu)化原理完全不同。

五、結(jié)語

本文對多種多目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行了分析，對它們的使用原理和使用效果進(jìn)行了比較。通過比較優(yōu)化方法可知，不同優(yōu)化方法有不同的優(yōu)化傾向。多目標(biāo)優(yōu)化問題，有不同的優(yōu)化方案，優(yōu)化效果不能進(jìn)行簡單評價(jià)。工程設(shè)計(jì)者在選擇優(yōu)化方法時(shí)，要考慮項(xiàng)目自身特點(diǎn)與優(yōu)化方向，分析不同優(yōu)化方法的效果，比較理想解與非劣解的關(guān)聯(lián)度，進(jìn)而確定最后的優(yōu)化方案。endprint