從操作走向思維，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

楊莉莉

“操作活動(dòng)”和“思維活動(dòng)”的落實(shí)和培養(yǎng)是幫助學(xué)生有效積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)以操作活動(dòng)為基礎(chǔ)并提升操作活動(dòng)的價(jià)值，鏈接學(xué)生的手和腦，讓學(xué)生積累起豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而完成以思維發(fā)展為主要目標(biāo)的教學(xué)活動(dòng)任務(wù)。

一、操作中遞進(jìn)，讓思維活動(dòng)走向內(nèi)隱

當(dāng)前，許多教師意識(shí)到學(xué)生動(dòng)手操作的重要性，能夠適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)多種感官參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，但只是讓操作活動(dòng)作為一種獨(dú)立的存在，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)，卻缺乏有效的數(shù)學(xué)思考，特別是在低年級(jí)的教學(xué)中更經(jīng)常存在操作與經(jīng)驗(yàn)、操作與思維“割裂”的現(xiàn)象。因此，提升操作層次，讓數(shù)學(xué)思考伴隨操作活動(dòng)的全過(guò)程，搭建起操作與思維之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)思維能力從淺層向本質(zhì)屬性不斷行進(jìn)。

如北師大版二上“分物游戲”的內(nèi)容，要以操作活動(dòng)為載體，在問(wèn)題引領(lǐng)中逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“除法”中“平均分”意義的具體理解，可以通過(guò)以下幾個(gè)過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)：（1）實(shí)物操作中初識(shí)“平均分”。讓學(xué)生用小棒或圓片等學(xué)具來(lái)代替4個(gè)桃子分給2只猴子。引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行分類，從中初步建立“分到的一樣多叫平均分”的表象。（2）實(shí)物操作中運(yùn)用“平均分”。讓學(xué)生帶著“怎么分，才能讓每只小兔分到的一樣多”的問(wèn)題，繼續(xù)用小棒替代12根蘿卜公平分給3只小兔的分物活動(dòng)，開(kāi)始嘗試“平均分”方法的運(yùn)用。在交流不同分法的過(guò)程中進(jìn)一步感悟：分法可能不一樣，但結(jié)果相同，這就是數(shù)學(xué)中的“平均分”。（3）畫(huà)圖操作中深化“平均分”。通過(guò)“用小棒擺一擺的時(shí)候，我們只能看見(jiàn)最后的結(jié)果是一樣的，怎么才能夠看見(jiàn)不同分法的過(guò)程”的問(wèn)題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)的方式實(shí)現(xiàn)分物操作從實(shí)物到替代品的層次遞進(jìn)，既提升了學(xué)生動(dòng)手操作的豐富經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)除法的“平均分”思維活動(dòng)從直觀走向抽象，也為后續(xù)的“分香蕉”中除法算式的抽象奠定了符號(hào)化思想的伏筆。

二、操作后反思，讓思維活動(dòng)走向顯性

學(xué)生在操作活動(dòng)中，能通過(guò)操作、觀察、體驗(yàn)獲得對(duì)數(shù)學(xué)的感悟，但這種對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象形成的相關(guān)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)帶有一定的個(gè)體性，需要通過(guò)及時(shí)的回顧、交流、反思，才能讓粗糙零散的個(gè)體活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到提煉和梳理，讓思維活動(dòng)顯性化。

如教學(xué)“厘米的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師都會(huì)讓學(xué)生經(jīng)歷各種豐富的實(shí)踐操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生觀察“1厘米”在尺子上的起始與長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)或想象生活中長(zhǎng)度大約是1厘米的物體，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用尺子對(duì)物體的長(zhǎng)度進(jìn)行度量。但是這些操作活動(dòng)只是對(duì)活動(dòng)現(xiàn)象和過(guò)程的體驗(yàn)，如果要讓學(xué)生對(duì)1厘米長(zhǎng)度的表象建立清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)利用尺子上的“段”和“點(diǎn)”進(jìn)行測(cè)量的方法認(rèn)知準(zhǔn)確，將1厘米進(jìn)行疊合和累加的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)鞏固夯實(shí)，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整個(gè)活動(dòng)過(guò)程“回頭看”：我們剛才是怎么認(rèn)識(shí)1厘米的？生活中的哪些物體的長(zhǎng)度差不多是1厘米？利用尺子進(jìn)行測(cè)量時(shí)，我們應(yīng)該怎么觀察物體的長(zhǎng)度？還要幫助學(xué)生把方法進(jìn)行總結(jié)：對(duì)于厘米的認(rèn)識(shí)，可以采用的方式有找一找、認(rèn)一認(rèn)、估一估、量一量、看一看、數(shù)一數(shù)。經(jīng)歷了操作活動(dòng)，進(jìn)行了反思總結(jié)，能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生的思維活動(dòng)從零碎走向整體。同時(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)分米積攢相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、操作里優(yōu)化，讓思維活動(dòng)走向清晰

隨著教學(xué)的深入，數(shù)學(xué)課堂中的操作活動(dòng)往往會(huì)從實(shí)物操作演變?yōu)榱斜?、?huà)圖等策略，這些學(xué)習(xí)方法和思維習(xí)慣需要教師在教學(xué)中持之以恒地培養(yǎng)和引導(dǎo)，才能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷通過(guò)類似的操作活動(dòng)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法。

如北師大版六下第41頁(yè)“正比例”的例3，從具體的情境中讓學(xué)生依據(jù)正比例的意義進(jìn)行判斷，學(xué)生借助表格中的數(shù)字通過(guò)運(yùn)算容易得出正確的判斷，但離開(kāi)了具體數(shù)據(jù)，直接根據(jù)相關(guān)聯(lián)的量進(jìn)行判斷，呈現(xiàn)出來(lái)的學(xué)習(xí)困難就顯而易見(jiàn)（如第43頁(yè)的練習(xí)第3題）。

這時(shí)，教師在列表方法上的指導(dǎo)就至關(guān)重要。首先，筆者幫助學(xué)生先從相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量中找到它們之間的數(shù)量關(guān)系式。要求學(xué)生從“每袋大米的質(zhì)量一定，大米的總質(zhì)量和袋數(shù)”這個(gè)文字表達(dá)中抽象出數(shù)量關(guān)系式：大米的總質(zhì)量÷袋數(shù)=每袋大米的質(zhì)量。在引導(dǎo)學(xué)生列表的同時(shí)，通過(guò)舉例子的方法尋找到兩組具體的相關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)：假設(shè)每袋大米的質(zhì)量是10千克，當(dāng)大米的總質(zhì)量是50千克時(shí)，袋數(shù)是5袋;當(dāng)大米的總質(zhì)量是80千克時(shí)，袋數(shù)是8袋。最后通過(guò)計(jì)算兩組相關(guān)聯(lián)的數(shù)量的比值進(jìn)行判斷。這樣的引導(dǎo)過(guò)程，立足于正比例意義，著眼于學(xué)生在理解上的關(guān)鍵處，能夠使學(xué)生思之有據(jù)，思之有理。在反復(fù)的操作中，學(xué)生能準(zhǔn)確把握是否成正比例關(guān)系的一系列連續(xù)思考和操作過(guò)程，為“反比例”的學(xué)習(xí)做好了觸類旁通的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)備。

四、操作完歸納，讓思維活動(dòng)走向通透

歸納思想是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思維方式，在教學(xué)中被廣泛地運(yùn)用。畫(huà)線段圖的操作活動(dòng)是高年級(jí)學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題（刻畫(huà)問(wèn)題、尋找思路、解決問(wèn)題）的極好策略。借助線段圖，并對(duì)線段圖進(jìn)行對(duì)比、分析、歸納，可以更好地研究對(duì)象之間的關(guān)系，突破知識(shí)間的隔閡、解決困惑與難點(diǎn)。

如北師大版六上“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（三）”的教學(xué)，大多數(shù)教師在引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)簡(jiǎn)單的線段圖后，基本上就是采用下面的方式進(jìn)行教學(xué)：（1）分析帶有分率的條件中哪個(gè)數(shù)量是單位“1”。（2）反復(fù)強(qiáng)化：如果表示單位“1”的數(shù)量是已知的，用乘法計(jì)算;如果表示單位“1”的數(shù)量是未知的，用除法計(jì)算。這種程序化的教學(xué)貌似簡(jiǎn)捷高效，實(shí)際上并沒(méi)有從思維狀態(tài)中消弭學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）”這個(gè)已有認(rèn)知的“前概念”帶來(lái)的干擾。因?yàn)樵诤罄m(xù)的練習(xí)中，仍有許多學(xué)生把圖2的解題方法，可見(jiàn)，這種“套路”式教學(xué)對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題思維的經(jīng)驗(yàn)起不到積極的改造作用。

此時(shí)，筆者通過(guò)變式引入、畫(huà)圖分析、歸納抽象來(lái)消除僵硬的思維定式，融化學(xué)生的認(rèn)知“冰點(diǎn)”。（1）變式引入：通過(guò)復(fù)習(xí)圖1的線段圖引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出圖2的圖形。（2）觀察和對(duì)比：什么變了？什么不變？（3）歸納抽象：無(wú)論是圖1或是圖2，故事書(shū)與科技書(shū)之間的關(guān)系都可以用“故事書(shū)的本數(shù)+故事書(shū)=科技書(shū)的本數(shù)”這個(gè)同樣的等量關(guān)系式來(lái)表示。（4）強(qiáng)化方程思想：借助來(lái)體會(huì)化逆為順的思維方式。（5）結(jié)合解方程的過(guò)程提煉出“”的算術(shù)解法。

這樣的教學(xué)，借助操作活動(dòng)，勾聯(lián)新舊，對(duì)比歸納，培養(yǎng)方程思想，在有效的融合中克服了“前概念”帶來(lái)的干擾，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的融會(huì)走向經(jīng)驗(yàn)、思維的通融，擁有更多可發(fā)展的學(xué)習(xí)能力。