關于材料力學課程教學中兩個問題的討論

陳炎 張曉晴

摘要：根據(jù)材料力學的基本理論，分析平面彎曲梁強度中的兩個問題：一是截面形狀對梁彎曲正應力強度的影響;二是工字型截面梁截面上的最大切應力與腹板名義平均切應力的關系。定量求出各種截面形狀對梁彎曲正應力強度的影響程度、工字型截面梁的截面尺寸變化對截面上最大切應力的影響規(guī)律。研究結果表明，當矩形截面橫放且寬高比大于1.396 26時，其彎曲正應力強度差于圓形截面;當工字型截面豎放程度小于矩形截面的豎放程度時，如果工字型截面的腹板很矮或很寬，則工字型截面的彎曲正應力強度差于矩形截面。對于一般的截面尺寸，工字型截面上的最大切應力并不等于腹板名義平均切應力，僅在特定的截面尺寸條件下，工字型截面上的最大切應力才等于腹板名義平均切應力。研究結果修正了現(xiàn)行材料力學課程教學中的一些模糊概念，此研究過程和研究方法也為提高學生的科學素養(yǎng)和培養(yǎng)學生的科學研究能力提供了一個良好的案例，對材料力學課程教學具有重要意義。

關鍵詞：材料力學;彎曲正應力強度;最大彎曲切應力;科學素養(yǎng)

中圖分類號：G642.0;TU501 ? 文獻標志碼：A ? 文章編號：1005-2909（2020）04-0078-09

材料力學課程是工程類本科專業(yè)的重要專業(yè)基礎課，對后續(xù)課程的學習和工程應用都有重要意義。多年來，我國材料力學課程教材建設在引進和吸收國外教學資源的基礎上，建立了適合國情的比較完善的材料力學課程教材體系，孫訓方[1] 、劉鴻文[2] 、葉開沅[3] 、蘇翼林[4] 和單輝祖[5] 等在這方面進行了長期的探索并作出杰出的貢獻。在材料力學課程教材體系的創(chuàng)新和改革方面也有許多學者進行了積極的探索，如范欽珊等[6-7]把超靜定部分獨立成章，增加新材料的章節(jié)，并引入材料力學計算機輔助分析等內(nèi)容。黃小清等[8] 則把內(nèi)力分析獨立成章，對教材作了進一步完善?？偟膩碚f，我國材料力學課程教材建設取得了許多成績，為高等教育事業(yè)和工程技術人才培養(yǎng)作出了重要貢獻。但國內(nèi)現(xiàn)行材料力學課程教材有關梁截面形狀對梁彎曲彎曲正應力強度的影響、工字型截面梁截面上最大切應力計算等內(nèi)容普遍存在概念不清的問題，對教師的講授和學生的學習帶來一定困擾，不利于材料力學課程教學和學生對課程知識的掌握。

本文根據(jù)材料力學基本原理對上述問題進行了詳細分析，厘清了一些模糊概念，為材料力學課程教學和教材的完善提供參考。同時，該研究過程和研究方法也為提高學生的科學素養(yǎng)和培養(yǎng)學生的科學研究能力提供了一個較好的案例。

一、梁截面形狀對梁彎曲正應力強度的影響

國內(nèi)現(xiàn)行材料力學課程教材，大都定義單位面積的彎曲截面系數(shù)來說明截面形狀對梁彎曲正應力強度的影響，并認為工字型截面彎曲正應力強度最好，矩形截面次之，圓形截面最差。如劉鴻文[2] 教材（166頁）、黃小清[8] 教材（156頁）、楊伯源[9] 教材（152頁）、趙九江等[10] 教材（125頁）、黃世偉等[11] 教材（106頁）、古濱[12] 教材（138頁）、戴宏亮[13] 教材（110頁）、王國超[14] 教材（129頁）和馮曉九[15] 教材（117頁）都有這種表述。還有許多材料力學課程教材也有類似結論，這里不再一一引述。實際上，這種表述忽略了矩形截面寬高比變化、工字型截面寬高比和腹板寬高比變化對彎曲正應力強度的影響，所以是不準確的。黃超等[16] 教材（145頁）指出矩形截面高寬比大于0.716時，其彎曲正應力強度才大于圓形截面梁，該結論是正確的，但該教材沒有給出工字型截面高寬比變化對梁強度的影響規(guī)律。

教學中，如果學生接受了“工字型截面彎曲正應力強度最好，矩形截面次之，圓形截面最差”的結論，則會在思維上形成慣性。一旦學生走出校門參與工程設計和應用，會忽略具體情況，產(chǎn)生錯誤的設計產(chǎn)品以及使用錯誤的工程制造、監(jiān)控方法，嚴重時可能造成安全隱患和事故。另外，如果材料力學課程教材在描述強度問題上存在錯誤，對培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W風、正確的科學思想和掌握科學研究方法產(chǎn)生非常不利的影響。所以，作為重要的工程應用專業(yè)基礎課，必須講清楚截面不同形態(tài)對梁彎曲正應力強度影響的問題。

下面分別討論相同面積條件下矩形截面與圓形截面梁，以及矩形截面與工字型截面梁的彎曲正應力強度之比與截面尺寸參數(shù)的關系。

三、課程教學中提高學生科學素養(yǎng)和培養(yǎng)學生科學研究能力的實踐

本文關于截面形狀對彎曲強度影響的研究過程和方法，以及關于工字型截面彎曲最大切應力與截面腹板名義平均切應力關系的研究過程和方法，為材料力學課程教學中提高學生科學素養(yǎng)和培養(yǎng)學生的科學研究能力，提供了一個良好的案例。一個人的科學素養(yǎng)主要體現(xiàn)在分析問題的能力、解決問題的方法、懷疑一切和證偽一切的精神。

以工字型截面最大切應力為例，當講解到教材中最大切應力等于腹板名義平均切應力公式時，讓學生首先回顧矩形截面最大切應力等于3/2倍截面名義平均切應力、圓形截面最大切應力等于4/3倍截面名義平均切應力的公式，提問學生：這兩個公式是否正確？學生會快速回答，因為這兩個公式已經(jīng)證明過，公式是正確的。然后再問：教材中關于工字型截面最大切應力等于腹板名義平均切應力的公式是否也正確呢？學生的反應會相當猶豫，因為教材對此公式?jīng)]有任何證明，只是通過切應力在截面上主要分布在腹板部分就得到這個公式，所以學生對公式的正確性不敢下結論。懷疑的種子由此萌芽，大腦會快速反應，迫切想知道問題的結論是什么，學生思維活躍起來，接下來有序開展分析。

這時，教師要適時對學生進行引導，讓學生對一個任意尺寸的工字型截面的實際最大切應力和腹板名義平均切應力進行課堂練習。如前面的算例7，學生將會很快算出結果，發(fā)現(xiàn)在本例中，若用工字型截面腹板名義平均切應力代替工字型截面的實際最大切應力，誤差將達到31.06%！學生據(jù)此可推出教材中的公式在一些情況下是錯誤的。教師可適時和學生互動，討論讀書應該秉持的正確態(tài)度。通過互動討論，讓學生明白，科學研究的基本素養(yǎng)，就是懷疑一切的精神。有了這種精神，才會努力對所遇到的問題進行分析和研究，才能找出問題背后的規(guī)律和真理。

通過上述課堂練習，學生對“工字型截面最大切應力等于腹板名義平均切應力”這個公式已存有疑問，教師可以進一步提問，這個公式是完全錯誤的嗎？學生的思維會進一步被調(diào)動起來，這時讓學生對滿足本文圖6曲線關系的工字型截面的實際最大切應力和腹板名義平均切應力進行課堂練習，如前述算例5。學生也可以很快得到結論，即對于此種尺寸的截面，“工字型截面最大切應力等于腹板名義平均切應力”的結論是成立的。

在一些情況下公式成立，而在另一些情況下公式不成立，那么這個公式與截面尺寸究竟是什么樣的一種關系呢？能否找出這種關系？怎么去找出這種關系？由于尺寸參數(shù)眾多，這樣的提問對學生具有很強的挑戰(zhàn)性，可以極大地調(diào)動學生的興趣和求知欲。教師可以請學生嘗試找出“工字型截面最大切應力與腹板名義平均切應力之間的關系規(guī)律”。由于問題的復雜性，學生在課堂上是無法找到這一規(guī)律的。但教師可以提示：既然要用工字型截面腹板名義平均切應力表示工字型截面實際最大切應力，那自然應該想到把工字型截面實際最大切應力公式中的尺寸用腹板尺寸表示出來。讓學生在這樣的提示下進行課后研究，并要求學生在下次課時展示自己的研究結果。

經(jīng)過課后研究，下次課時，不少學生帶來自己的成果。個別學生想到引入尺寸參數(shù)，把工字型截面實際最大切應力表示成類似本文式（8）的類型。但由于尺寸參數(shù)復雜，學生仍然無法把上述兩者關系的規(guī)律性講清楚。這時教師可以把本文工字型截面最大切應力相對工字型截面腹板名義平均切應力的放大或縮小系數(shù)，即式（9）的規(guī)律性用等高圖的方法展示出來。學生通過對等高圖的分析，規(guī)律性的結論自然顯現(xiàn)，學生會有豁然開朗、原來如此的欣喜感和成就感。

通過上述教學實踐，引導學生養(yǎng)成要讀書但不能迷信書的懷疑精神;通過課堂練習和課后研究，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力;通過尋找“用工字型截面腹板名義平均切應力表示工字型截面實際最大切應力”的研究過程，學生初步掌握了運用無量綱方法進行科學研究的方法;體現(xiàn)“工字型截面最大切應力相對于工字型截面腹板名義平均切應力的放大或縮小系數(shù)”的等高圖分析，展示了尋找自然規(guī)律的廣闊視野和無限可能。由此，學生的科學素養(yǎng)和科學研究能力都將得到極大的提升。

四、結語

關于相同面積條件下各種截面形狀對梁彎曲正應力強度的影響，有如下結論：

（1）當矩形截面橫放且寬高比大于1.396 26時，其強度差于圓形截面;當矩形截面橫放且寬高比小于1.396 26或矩形截面豎放時，其強度優(yōu)于圓形截面。

（2）當工字型截面的豎放程度大于或等于矩形截面的豎放程度時，其強度總是優(yōu)于矩形截面。

（3）當工字型截面豎放程度小于矩形截面的豎放程度時，如果工字型截面的腹板很矮或很寬，則工字型截面的彎曲正應力強度差于矩形截面;而當工字型截面的腹板較高且較窄時，則工字型截面的彎曲正應力強度優(yōu)于矩形截面。

關于工字型截面梁截面上最大切應力問題，有如下結論：

（1）當工字型截面的尺寸參數(shù)α，β滿足β=（2+α）（1-α）2/α3時，其截面上最大切應力等于腹板名義平均切應力，即等于該截面的剪力除以腹板面積。

（2） 當工字型截面尺寸參數(shù)α，β處于曲線β=（2+α）（1-α）2/α3的右上方區(qū)域時，其截面上最大切應力大于腹板名義平均切應力。

（3） 當工字型截面尺寸參數(shù)α，β處于曲線β=（2+α）（1-α）2/α3的左下方區(qū)域時，其截面上最大切應力小于腹板名義平均切應力。

本文的研究過程和研究方法，為提高學生的科學素養(yǎng)和培養(yǎng)學生的科學研究能力提供了一個良好案例。

參考文獻：

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Abstract：?According to the basic theory of mechanics of materials， two problems in plane bending of the beam are analyzed： the influences of different sections on the flexural normal strength of the beam and on the maximum shear stress of the cross section of I-beam. The ?influence of various cross-section shapes on the flexural normal strength and the effect of various I- beam section sizes on the maximum shear stress were obtained quantitatively. The main results are： the flexural normal strength of rectangular section is lower than that of circular section when the rectangular section is transverse and the aspect ratio is greater than 1.369 26， when the vertical degree of I-section is smaller than that of rectangular section and the web of I-section is very short or very wide， the flexural normal strength of I-section is lower than that of rectangular section， for the general section size the maximum shear stress on the I-section is not equal to the nominal average shear stress on the I-section web， only under the specific section size the maximum shear stress on the I-section is equal to the nominal average shear stress on the I-section web. The research results have corrected some vague concepts in the teaching of mechanics of materials and the research process and the research method provide a good case for improving students scientific literacy and cultivating studentsscientific research ability in the teaching of material mechanics which of great significance.

Key words： mechanics of materials; flexural normal strength; maximum bending shear stress; scientific literacy

（責任編輯 王 宣）