含有預(yù)設(shè)關(guān)系語句的形式化

陳一源，姚從軍

（湘潭大學(xué)碧泉書院，湖南 湘潭 411105）

1 預(yù)備知識

本節(jié)主要介紹由集合引申的概念。集合目前在學(xué)術(shù)界還沒有嚴(yán)格的定義，但為了避免羅素悖論等問題的出現(xiàn)，需要一些公理來限制。具體的公理有外延公理、空集存在公理、無序集合存在公理、并集合公理、冪集合公理、無窮公理、分離公理模式、替換公理模式、正則公理、選擇公理等。以集合為基本概念可以嚴(yán)格定義許多數(shù)學(xué)概念，如有序偶，關(guān)系，映射等。

2 對預(yù)設(shè)形式化的初探

2.1 烏鴉悖論引發(fā)對命題同一性問題的思考

分析兩個命題“所有烏鴉都是黑色的”和“所有不是黑色的東西都不是烏鴉”，發(fā)現(xiàn)它們兩個是等值的?，F(xiàn)在問題出現(xiàn)了，我們可以出去觀察成千上萬只烏鴉，然后發(fā)現(xiàn)他們都是黑的。在每一次觀察之后，我們對“所有烏鴉都是黑的”的信任度會逐漸提高。“所有烏鴉都是黑的”的論斷在邏輯上和“所有不是黑色的東西不是烏鴉”等價。如果我們觀察到一只紅蘋果，它不是黑色的，也不是烏鴉，那么這次觀察必會增加我們對“所有不是黑色的東西不是烏鴉”的信任度，因此更加確信“所有的烏鴉都是黑色的”！而這與我們通常的認知是違背的，因此把這個問題叫烏鴉悖論。是20世紀(jì)40年代德國邏輯學(xué)家卡爾·古斯塔夫·亨佩爾（Carl Gustav Hempel）為了說明歸納法違反直覺而提出的一個悖論，因此也叫亨佩爾悖論。陳波在《邏輯學(xué)導(dǎo)論》中提到解決的辦法是修改尼柯德標(biāo)準(zhǔn)，或者是說等值條件不適合于確證。

筆者認同等值條件不適合于確證的觀點。這兩個命題雖然是等值的，但內(nèi)涵并非同一，即這兩個命題所表示的判斷不是同一個判斷。[3]“所有烏鴉都是黑色的”所斷定的思維對象是烏鴉全體，“所有不是黑色的東西不是烏鴉”所斷定的思維對象是非黑色的事物全體，也有學(xué)者稱兩個命題所表判斷的主目不同。還有學(xué)者對烏鴉悖論有不同的解釋，這里不做詳細介紹。

對這樣的命題應(yīng)該怎么形式化呢，或者對這種有通名的語句怎么形式化呢？

事實上，“所有烏鴉都是黑的”已經(jīng)預(yù)設(shè)了判斷的對象只能是烏鴉，因此該語句不能形式化為有蘊含連結(jié)詞的語句。預(yù)設(shè)是指說話人說出一句話時預(yù)先假設(shè)當(dāng)然成立的命題，其特點是句子被否定后仍然保留，即具有不可否定性。而蘊含只是一種真值關(guān)系，不具有不可否定性。[4]

2.2 詞典的使用

詞典就是對符號的解釋，即給形式語言中的個體常項，函數(shù)符號和謂詞賦予具體的含義。詞典通常用表示。本節(jié)對量詞的形式化還是按照傳統(tǒng)的方法，不考慮預(yù)設(shè)與蘊含的區(qū)別。

例2.1

雖然張三不是成年人，但他還是比李四和王五都年長。

例2.2

所有成年人都比張三年長，而李四比有的成年人年長。

例2.3

有一些比張三年輕的成年人比李四年長。

2.3 “:”的引入

至少有一個人，他是成年人，張三比他年長并且他比李四年長。

從真值意義上講，這句話與原句是等值的，但從內(nèi)涵上來講，與原句是不同的，它對論域中的每一個元素都做了斷定，而原句只對論域子集中的每一個元素（比張三年輕的成年人）做了斷定。類似于烏鴉悖論，雖然這兩句話是邏輯等值的，但由于不是同一個命題，從而它們的置信度也不同。因此要確切地把原句通過詞典逆翻譯成形式語言，需要對形式語言做一些改進。

在陳紀(jì)修的《數(shù)學(xué)分析》[5]中，對“函數(shù)在點連續(xù)”的語言

定義如下：

用現(xiàn)行邏輯學(xué)教材量詞邏輯的知識，形式化的結(jié)果為

（1）式的表達顯然不規(guī)范，應(yīng)該使用如下的方法，

3 對預(yù)設(shè)形式化的再探

3.1 個體變項互相約束的情況

3.2 對非限制性定語從句的形式化

非限制性定語從句不起限定作用，僅作補充或說明，若省略掉，原句句意也是完整的。分析下面的句子：

例3.1

（1）Lori is going to marry Mark,whom she doesn’t love.

（2）Lori doesn’t love Mark although she is going to marry him.

將（1）否定得，

（3）Lori isn’t going to marry Mark,whom she doesn’t love.

將（2）否定得，

（4）Lori loves Mark if she is going to marry him.

因此（1）與（3）的形式化可能有一些問題。

而（1）和（2）本身是不同的，第（1）句更強調(diào)Lori是在不喜歡Mark的前提下嫁給他。有很明顯的預(yù)設(shè)關(guān)系。第（2）句更強調(diào)一種合取關(guān)系，雖然Lori將要嫁給Mark,但是她并不愛他。同理（3）與（4）也有預(yù)設(shè)與蘊含的不同。

3.3 “”的引入

在用描述法定義集合的過程中，限定語句也可以用在條件中。例如，傳統(tǒng)的描述法定義的集合改為限定語句應(yīng)為。

在例2.3中用本節(jié)的方法可以把該句形式化為

把語句（3）轉(zhuǎn)化成本節(jié)中的語句為

把語句（4）轉(zhuǎn)化成本節(jié)的語句為

例3.3

有些害怕所有貓的老鼠不害怕所有人類。

4 總結(jié)

筆者以集合的引申概念為預(yù)備知識，把謂詞定義為一種特殊的映射，通過烏鴉悖論引出了預(yù)設(shè)不同于蘊含的觀點。然后通過一些由淺至深的例子說明區(qū)別這種預(yù)設(shè)的必要性。再將某教材上的符號逐步做改進，形成了筆者自己的將預(yù)設(shè)形式化的方法。再用日常生活和數(shù)學(xué)上的典型例子檢驗其方法的合理性。此外，筆者還特意區(qū)分了邏輯連接詞和真值運算符號，根據(jù)真值,與二進制1,0的對等關(guān)系仿造皮諾亞公理，對真值也通過集合來定義，把真值運算變成了集合運算。利用真值指派映射把命題和真值聯(lián)系起來，也把邏輯連接詞和集合運算符對應(yīng)了起來。

但該方法的缺陷也顯而易見，對一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題模型的結(jié)構(gòu)也相應(yīng)的變得復(fù)雜了，勢必會削弱了語言的可讀性。筆者的方法還需要在問題中繼續(xù)檢驗和改進，筆者也會繼續(xù)努力，不斷學(xué)習(xí)新理論并深度思考，得到讓人滿意的結(jié)果。