純歸納邏輯及其存在問題探析

董英東

（湘潭大學(xué)碧泉書院，湖南 湘潭 411105）

1 語境和記法

純歸納邏輯所使用的語言為一階邏輯語言（L），包括關(guān)系符號R1，R2，...Rq，參數(shù)r1，r2，...... ，rq，常元an，其中n∈N+={1,2,3，......}，以及既非函數(shù)符號也非等值符號等輔助符號。ai指在某些集合中的所有不同個體的名稱。令SL表示該語言L的一階句子集，QFSL表示該語言中的句子的自由量詞。令T表示L的結(jié)構(gòu)集的域{a1，a2，a3，...}，且ai的解釋為ai本身。

為了刻畫純歸納邏輯想要解決的基礎(chǔ)問題，假設(shè)某個主體屬于某種結(jié)構(gòu)，可表示為M∈T，此時很難確定M中的哪些主體是真的。這樣將面臨的問題是：

Q：在這種零知識、邏輯的或理性的情況下，什么樣的信念才能使我們的主體能夠確定句子θ∈SL且在M中是真的？

這個問題中涉及幾個術(shù)語。首先“零知識”意味著主體并不希望對ai和Rj做出解釋。在這些情況下，所能假定的就是公理，且不可能帶來新的事實(shí)，因?yàn)樗鼈儗儆谀硞€特定的群體，這樣可能會產(chǎn)生混淆。

從某種意義上來說，類似于數(shù)學(xué)的“純歸納邏輯”和哲學(xué)的“應(yīng)用歸納邏輯”二者之間是有區(qū)別的。對于許多哲學(xué)家來說，在后者的語言中希望帶有解釋，如果沒有解釋，那就只能是純數(shù)學(xué)而不是哲學(xué)。這就是為什么藍(lán)綠悖論是哲學(xué)中的一個悖論，在數(shù)學(xué)中只是一個無效的論證的原因。盡管如此，無論是否是數(shù)學(xué)家，需要確保在進(jìn)行解釋的時候以免陷入潛意識的解讀?？柤{普本人非常了解這種分歧，而且知道忽視它會帶來問題，并且試圖去解釋它。事實(shí)上，在他的論文中，他將“歸納邏輯”描述為對這種零知識主體的研究，并稱之為“主體”。[1]

第二個無法解釋的術(shù)語是“邏輯的”和“理性的”。在這種情況下，我們不提供任何關(guān)于邏輯的和理性的定義，并將其看作是直觀的。因?yàn)槲覀冎饕獮榱颂岢龊蛿?shù)學(xué)家所研究的相似的合乎邏輯理論的規(guī)則。這種情況與遞歸理論中“有效性”的直覺概念相似。

第三個無法解釋的術(shù)語是“信念”。在純歸納邏輯中，我們用（主觀的）概率來確定信念，或更準(zhǔn)確說為信念度。荷蘭賭論證為這種信念提供了強(qiáng)有力的論證，主要采用“概率”或者“概率函數(shù)”來表達(dá)我們所說的思想：

2 概率函數(shù)

函數(shù)w：SL→[0，1]為基于SL的概率函數(shù)，如果對所有的θ，φ，?xψ(x) ∈SL，

條件（P3）指蓋夫曼條件[2]，并且在該語境中相對于傳統(tǒng)條件（P1）和（P2）為特殊條件。其常用于刻畫域中的a1,a2,a3,…。

所有標(biāo)準(zhǔn)的、簡單的和所有期望的概率函數(shù)的性質(zhì)都來自（P1-3）：

命題1 令w為基于SL的概率函數(shù)[3]。那么對于θ，φ∈SL，

由于SL中語句的多樣性，使得概率函數(shù)變得異常復(fù)雜。首先我們給出蓋夫曼定理：

定理2 假設(shè)w:QFSL→[0，1]且滿足（P1）和（P2），對于θ，φ∈QFSL，對任意的θ，φ，?xψ(x)∈SL，w存在一個基于SL的概率函數(shù)的一元的外延滿足（P1）、（P2）、（P3）。

在該定理中，用“博弈”表示理性的概率函數(shù)作為對自由語句的量化，可以簡化為：

3 狀態(tài)描述

也可以用大寫的字母Θ，Φ，Ψ等表示狀態(tài)描述。通過利用定理2以及不相交典范公式定理可以直接得出:

定理3 一個概率函數(shù)是由基于其上的狀態(tài)描述的值確定的。

事實(shí)上，博弈主要起得到了狀態(tài)描述的作用?；仡檰栴}Q，現(xiàn)在可以將其歸結(jié)為：

Q：在零知識、邏輯或者理性的情況下，概率函數(shù)w：SL→[0,1]應(yīng)該是主體接受，w(θ)相對于主體的概率，語句θ∈SL在外部結(jié)構(gòu)M中是真的。

那么主體應(yīng)該如何做出這個選擇呢？就純歸納邏輯而言，可通過應(yīng)用：

4 理性規(guī)則

也就是說，主體制定合理的或邏輯的原則或概率分配規(guī)則，然后采用符合這些原則的概率函數(shù)。

但是就純歸納邏輯而言，事實(shí)上并非如此。正如已經(jīng)提到過的，理性行為意味著什么，或者更為特別的是可以認(rèn)識到非理性的行為，對于純歸納邏輯來說，試圖把這些感覺作為形式原則來刻畫，然后繼續(xù)去研究它們的后承和與其它假定合理的原則的關(guān)系。因此，純歸納邏輯是一個實(shí)驗(yàn)，利用它可以自由地研究任何原則，只要其與形式有某種相關(guān)性，也就是說可以不必考慮理性的某些刻畫。為此，不需要知道理性是什么，就像那些試圖提出“有效性”的數(shù)學(xué)家在開始之前并不需要知道他們研究的是什么一樣。而且“理性的”概念可能會從這些研究中概括出來。

在某種程度上，這與“集合論”中的情況類似，根據(jù)“集合的世界”的一些直覺提出公理，其中一些公理幾乎被普遍接受，而另外一些則是高度爭議的公理，然后研究它們的后承。有時這些公理可能是不一致的，但感覺上則是通過這種有選擇的研究，我們正在接近理解甚至接近集合理論的真理。所以純歸納邏輯也是如此，甚至可能會與直覺相沖突。

就這樣的“理性原則”而言，到目前為止，它們似乎有三個主要來源：對稱性、相關(guān)性和不相關(guān)性。在基于對稱性的原則中，所采用的概率函數(shù)w應(yīng)該保持對稱性。從這樣一個被廣泛接受的知識開始，以后將在不經(jīng)過進(jìn)一步的明確提及的情況下假設(shè)它們是真的。

常元可交換原則，Ex

這里的合理推理是指主體對于任何一個ai都不了解，所以在分配概率時對他們進(jìn)行不同的處理是不合理的。

以完全相似的方式，可以證明謂詞可交換性原則和強(qiáng)否定性原則，并用否定的公式替換關(guān)系符號。

現(xiàn)在已經(jīng)介紹了恒定可交換原則Ex，從w滿足Ex的假設(shè)出發(fā)研究它究竟是什么。純歸納邏輯之后的一個主要步驟就是通過證明它們必須看起來像某些“簡單構(gòu)件塊函數(shù)”的組合來證明概率函數(shù)滿足該原理的表示定理。對于滿足Ex的概率函數(shù)存在這樣的后承，第一個概率函數(shù)就是所謂的菲內(nèi)蒂表示定理。

5 一元?dú)w納邏輯

在約翰遜和卡爾納普的早期研究中，歸納邏輯的語言被認(rèn)為是一元的。也就是說，在這里采用的語言L的關(guān)系符號R1，R2，...，Rq都是一元的，所以在哲學(xué)中常被稱為“謂詞”符號。假定L是上面的一元語言。

等價的形式為

其中ε1,ε2,…,εq∈{0,1}。

等價于

菲內(nèi)蒂的表示定理

更嚴(yán)格地，僅當(dāng)

其中μ為基于布爾子集的可數(shù)可加的測度：

表面上看，這個定理似乎只是數(shù)學(xué)家的興趣所在，沒有太多關(guān)于哲學(xué)家會感興趣的歸納或合理性。然而，它產(chǎn)生的后果和思想在這方面肯定是有利的。這個定理的數(shù)學(xué)刻畫能力在于，它經(jīng)常使我們能夠把關(guān)于（3）左邊的一般概率函數(shù)w的問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于右邊非常簡單的概率函數(shù)的問題。

定理5 Ex可推出：

實(shí)例相關(guān)原則（PIR）

從一個哲學(xué)家的視角看，雖然人們可以根據(jù)休謨的說法[5]，認(rèn)為Ex實(shí)際上是對自然一致性的假設(shè)，在這個意義上可以等同于歸納，這個論證所表明的是，如果你認(rèn)為Ex是理性的，那么你應(yīng)該認(rèn)為PIR是合理的。當(dāng)然，這個結(jié)果可以被看作是對卡爾納普計劃的一個好的處理方法。

常元不相關(guān)性原則，CIP

那么我們在這里看到的是由對稱原則Ex推出了相關(guān)性原則（PIR）和不相關(guān)性原則（CIP）。事實(shí)證明，這遠(yuǎn)非一個孤立的現(xiàn)象，而是建議人們可以用對稱性的合理性來解釋相關(guān)性和不相關(guān)性原則的感知合理性。

其中mj是原子αj發(fā)生的次數(shù)

6 多元?dú)w納邏輯

卡爾納普和凱米尼都提到了這一點(diǎn)[6]。至少有三個原因，首先是簡單的、日常的非一元關(guān)系歸納的例子是相當(dāng)稀缺的，但是它們確實(shí)存在。

第二個原因是符號和數(shù)學(xué)的復(fù)雜性顯著增加，至少與一元的情況相比。關(guān)鍵的原因是對于a1，a2，...，an的狀態(tài)描述，將不再以一元的方式來處理這些常量。

最后，第三個原因，在形成關(guān)于多元關(guān)系的信念時，相對缺乏直覺。

下面定義一個狀態(tài)描述的譜表示這些等價類的多重集的域。

譜可交換性

約翰遜（Johnson）和卡爾納普（Carnap）在他們的一元語言的情況下采用的原則，稱之為：

原子可交換性，Ax

對于狀態(tài)描述Θ的概率w(Θ)應(yīng)只取決于Θ的譜。

Ax實(shí)際上是一個對稱原則。如果我們把原子看作與顏色相對應(yīng)的話，那么就把這個概率賦予一個狀態(tài)描述Θ，在置換或顏色的重命名下應(yīng)該是不變的?？偠灾P(guān)于一種顏色的一切是與其他顏色不同的，而不是它是紅色還是藍(lán)色或綠色等。

是一致的（帶有等價的謂詞演算）。

在多元語境中，下面給出一個理性規(guī)則：

譜系可交換性，Sx

對于狀態(tài)描述Θ的概率w(Θ)僅依賴于Θ的譜。如果狀態(tài)描述Θ，Φ具有相同的譜，那么w(Θ)=w(Φ)。

語言不變性

把純歸納邏輯擴(kuò)展到多元語言會產(chǎn)生為什么要修正一個特定語言L的問題。畢竟，我們的主體總是可以想象到的，除了那些語言之外還包含關(guān)系符號。此外，主體不希望為這個更大的語言采用概率函數(shù)，而這個語言滿足了他/她認(rèn)為合理的原則L的獨(dú)立性。但是主體的這個愿望能夠?qū)崿F(xiàn)嗎？問題是主體可能遵循他/她的合理性原理，并希望（假想的）將L語言擴(kuò)展為語言L+并且將概率函數(shù)w擴(kuò)充為w+，并且發(fā)現(xiàn)表示w+SL的w+對SL的限制是不相同的。換句話說，只要設(shè)想使L+中的主體具有理性，就會可能會懷疑w。實(shí)際上，從這個角度來看，如果L+完全沒有擴(kuò)展為滿足主體偏好的理性原則，那么w可能就不太合理。

為了更具體地假設(shè)主體認(rèn)為Sx（+Ex）是他/她不得不強(qiáng)加給他/她的選擇的（唯一）合理的要求。那么主體做出這樣的選擇可能只是意識到，沒有辦法將這個概率函數(shù)擴(kuò)展成為一個更大的語言，而仍然希望保持現(xiàn)有的Sx。

Sx的語言不變性，Li+Sx

如果存在一個概率函數(shù)族wL，每個語言L上存在一個概率函數(shù)w，那么這個簇的每個成員都滿足Sx，并且每當(dāng)語言L1，L2是這樣的時候，概率函數(shù)w就滿足Sx的語言不變性L1，L2，則wL2SL1=wL1。

事實(shí)證明，Li+Sx意味著迄今為止提出的理想的多元概率函數(shù)的大多數(shù)（可能甚至全部）性質(zhì)。

在此的下標(biāo)0，1，2，3，…表示色組，用0表示黑色，用pi表示所選的顏色i的概率。

（1）根據(jù)概率p0，p1，p2，…，選取色組c1，c2，…，cn，使得所選取的c1，c2，…，cn的概率為：

完全性

弱不相關(guān)性規(guī)則，WIP

如果θ，φ∈SL既不是常元，也不是通常的關(guān)系符號，那么

類似地根據(jù)定理8，可以證明下面的相關(guān)性原則。

推論11 令w滿足Li+Sx。那么根據(jù)w，a1和a2是不可區(qū)分的，而且其與其它的可以區(qū)分的常元ai的概率是0。

7 結(jié)論

總而言之，純歸納邏輯的數(shù)學(xué)雖然可能揭示一些新原理和原理之間的聯(lián)系，但總的來說，它是否提供了任何額外的哲學(xué)洞察力或理解，甚至對于那些完全理解所涉及的數(shù)學(xué)的人來說，也是值得懷疑的。

第二個問題是，關(guān)于理性原則的三個主要（迄今）的來源，對稱性、相關(guān)性和不相關(guān)性之間的關(guān)系。主要討論了兩個對稱原理，Ex和Li+Sx。無論這些不相關(guān)的原則是否理所當(dāng)然地作為理性的表達(dá)，事實(shí)上，對稱性似乎是相關(guān)原則和不相關(guān)原則所產(chǎn)生的基本原則。這可以用相關(guān)性來解釋，對稱性表明未來就像過去，相關(guān)性則指出過去發(fā)生的事情應(yīng)該是未來的導(dǎo)向。

在此涉及到了一個與卡爾納普的思想完全接近的問題。即使主體承認(rèn)他/她選擇的概率函數(shù)w應(yīng)該滿足Li+Sx，但這仍然給他/她帶來了非常廣泛的可供選擇的域概率函數(shù)。從某種意義上來說，這可能被認(rèn)為是不幸的，因?yàn)樗砻鲀蓚€主體根據(jù)這個完全合理的標(biāo)準(zhǔn)，仍然可以指定不同的信念/概率。如果我們能夠找到其它的、可接受的理性的原則來削減這個選擇時就需要增加“完整性”。

不幸的是，這個概率函數(shù)完全沒有任何歸納傾向

不管n有多大，換句話說，并不需要關(guān)注以前的支持性證據(jù)R（a1）∧R（a2）∧…∧R（an）給R（an+1）分配一個概率。當(dāng)n>0時，這個概率函數(shù)給出了大于等于0的值，但是究竟n需要多大？顯然這是不確定的，這表明可接受的完整性是一個不可能實(shí)現(xiàn)的夢想。