雙能X射線骨密度儀骨密度測量值線性校正及不確定度評(píng)定

/ 上海市計(jì)量測試技術(shù)研究院

0 引言

隨著人口老齡化的日趨嚴(yán)重，作為老年性疾病之一的骨質(zhì)疏松癥及其引起的并發(fā)癥越來越受到社會(huì)關(guān)注，因此，對(duì)骨質(zhì)疏松進(jìn)行及早的預(yù)防和診治就顯得十分必要。骨礦密度，即骨密度（BMD），是評(píng)定骨量減少，診斷骨質(zhì)疏松的重要指標(biāo)。目前，廣泛使用的骨密度測量儀主要有利用X（γ）射線和超聲波兩類，其中雙能X射線骨密度儀（以下簡稱骨密度儀或DXA）因測量結(jié)果的可靠性較好，而被視為骨密度測量的“金標(biāo)準(zhǔn)”。正常使用的骨密度儀需要有一定的測量范圍以覆蓋人體骨密度的變化，由于骨密度儀本身測量敏感性的原因，對(duì)于不同密度的測量誤差并不相同，同時(shí)檢定用模體的仿真程度和骨密度儀出廠時(shí)的刻度誤差會(huì)引入系統(tǒng)誤差。因此，在檢定骨密度儀的過程中，可能遇到骨密度測量結(jié)果超差的情況。JJG1050-2009《X、γ射線骨密度儀》檢定規(guī)程規(guī)定，允許對(duì)超差的測量結(jié)果進(jìn)行線性校正，基于此，有必要對(duì)DXA骨密度測量結(jié)果線性校正值作不確定度分析評(píng)定。

1 測量過程

依據(jù)JJG1050-2009規(guī)定的檢定方法和要求，在廠家規(guī)定的正常使用條件下，用HologicDiscovery A型雙能X射線骨密度儀測量腰椎骨密度模體（簡稱腰椎模體）。測量用的腰椎模體由輻射等效固體水材料[由聚乙烯（C2H4）和少量氧化鎂（MgO）及碳酸鈣（CaCO3）組成]和等效骨材料[羥磷灰石Ca5OH(PO4)3]制成，腰椎模體有三個(gè)椎骨樣品，其骨密度分別為 0.502g/cm2、1.005g/cm2和 1.501g/cm2。將腰椎模體放在測量床上，經(jīng)定位后對(duì)椎骨樣品進(jìn)行連續(xù)n次測量，在所得掃描圖像中畫取感興趣區(qū)（ROI），且每次ROI的畫取均保持在椎骨樣品的相同位置，骨密度儀可直接給出感興趣區(qū)域的骨密度結(jié)果yij，其中i為椎骨樣品序號(hào)（i=1，2，3），j為測量序號(hào)（j=1，2，…，n）。各椎骨樣品骨密度的測量值Yi應(yīng)為各樣品n次測量結(jié)果的平均值，

表1為骨密度儀對(duì)腰椎模體中三個(gè)椎骨樣品連續(xù)10次測量數(shù)據(jù)，表1中最后一列為各椎骨樣品10次測量的平均值Yi，作為各椎骨樣品的測量值。從表1中可以看出三個(gè)椎骨樣品的測量值與標(biāo)稱值相差較大，測量值的相對(duì)誤差分別為5.6%、-4.2%和-10.5%，特別是3號(hào)樣品測量值的相對(duì)誤差（-10.5%）已經(jīng)超過了規(guī)程所允許的相對(duì)誤差最大值（±10%），因此有必要對(duì)測量值進(jìn)行線性校正后重新計(jì)算誤差。

2 線性校正模型

根據(jù)線性回歸原理，利用最小二乘法建立測量值與標(biāo)準(zhǔn)值之間的線性校正曲線，它們之間的校正方程表示為

表1 對(duì)模體中三個(gè)椎骨樣品連續(xù) 10 次測量的數(shù)據(jù)單位：g·cm-2

式中：Y——椎骨樣品測量值，g/cm2；

X——與測量值對(duì)應(yīng)樣品的實(shí)際值（標(biāo)準(zhǔn)值），g/cm2；

a——直線斜率；

b——截距，g/cm2

在制作校正方程時(shí)，X代表椎骨樣品實(shí)際值，Y代表相應(yīng)的儀器測量值；在利用校正方程時(shí)，X代表校正后的BMD值，Y代表未校正的測量值。由式（2）可得校正后的BMD值（Y*）和未校正的測量值（Y）的關(guān)系為

式（3）即為評(píng)定校正后的BMD值（Y*）不確定度的測量模型。對(duì)于不同椎骨樣品的校正值，其由同一個(gè)校正方程得到，但由于測量結(jié)果的不同，各椎骨樣品校正值的不確定度應(yīng)引用各自的實(shí)際測量數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)定。

3 校正值不確定度的影響因素

由式（3）可知影響骨密度校正值不確定度的因素主要有：校正方程斜率a引入的不確定度u(a)和校正方程截距b引入的不確定度u(b)，以及未校正的測量值Y引入的不確定度u(Y)。其中，u(a)和u(b)來自于線性回歸方法求解校正方程的過程，u(Y)則來自于實(shí)驗(yàn)測量過程，其主要包括測量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u1(Y)、模體引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u2(Y)、儀器分辨力引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u3(Y)和環(huán)境溫度變化引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u4(Y)。

4 骨密度線性校正

用線性回歸分析對(duì)BMD測量值進(jìn)行校正時(shí)，由骨密度儀對(duì)已知椎骨樣品進(jìn)行10次測量，每一個(gè)椎骨樣品取10次測量結(jié)果的平均值作為儀器對(duì)該椎骨樣品的測量值，再由最小二乘法作腰椎模體椎骨樣品實(shí)際值與相應(yīng)的儀器測量值的線性擬合，即可得到骨密度值線性校正方程。已知三個(gè)椎骨樣品實(shí)際值輸入量分別為X1、X2和X3，相對(duì)應(yīng)的BMD測量平均值分別為Y1、Y2和Y3，可以得到(X1,Y1)、(X2,Y2)和(X3,Y3)三組數(shù)據(jù)，利用這三組數(shù)據(jù)即可得到校正方程。

式（2）是一種理想關(guān)系，實(shí)際輸入Xi所對(duì)應(yīng)的理想輸出值Y(Xi)與測量值Yi間存在偏差εi，即

根據(jù)最小二乘法，a和b的值應(yīng)能使εi的平方和（Q）最小，即

因此，令Q分別對(duì)a和b的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零，即

解上述方程組的過程中無法得到a和b的真實(shí)值，而是估計(jì)值，因此，方程組（6）中的a和b分別用和替代，則可得到和相關(guān)的式（7）～（12），是它們的實(shí)驗(yàn)方差，是估計(jì)的相關(guān)系數(shù)。

式中：m=3，為椎骨樣品數(shù)；

利用式（14）可得三個(gè)椎骨樣品測量值對(duì)應(yīng)的校正值及其相對(duì)誤差，

與校正前的結(jié)果進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，三個(gè)椎骨樣品的相對(duì)誤差均有大幅度的減小。從整體來看，相對(duì)誤差范圍由-10.5%～5.6%變?yōu)?1.9%～1.9%，校正值整體上更接近椎骨樣品的標(biāo)稱值。

5 各分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定

5.1 校正方程斜率和截距引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

由前文分析可知，線性回歸方法得到的校正方程的斜率和截距為估計(jì)值，用和表示，它們的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是它們的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，所以有

5.2 測量值 引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

校正過程中使用的三個(gè)椎骨樣品的測量值是各樣品10次測量結(jié)果的算術(shù)平均值Yi，各椎骨樣品測量值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)分開評(píng)定，u(Yi)表示第i號(hào)椎骨樣品測量值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

5.2.1 測量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u1(Yi)

利用骨密度儀對(duì)被測模體進(jìn)行10次獨(dú)立重復(fù)測量，測量值為yij（j=1，2，…，10），其單次測量結(jié)果yik的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(yik)可用貝塞爾公式計(jì)算，

則10次測量結(jié)果算術(shù)平均值Yi由重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

5.2.2 模體引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u2(Yi)

標(biāo)準(zhǔn)模體的不確定度為0.5%（k=2），由溯源證書提供，則由模體引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

5.2.3 被測儀器分辨力引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u3(Yi)

骨密度儀分辨力δ=0.001g/cm2，則區(qū)間半寬度為，可設(shè)為均勻分布，此時(shí)k取，則由儀器分辨力引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

5.2.4 環(huán)境溫度引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u4(Yi)

參考文獻(xiàn)資料，本次測量的環(huán)境溫度變化對(duì)模體骨密度的影響小于0.01%，因此，由環(huán)境溫度引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u4(Yi)可忽略。

5.2.5 骨密度測量值Yi的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Yi)

由于上述幾個(gè)分量不相關(guān)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Yi)可按式（19）計(jì)算

因此，三個(gè)椎骨樣品的測量值的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為

6 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度分析

7 擴(kuò)展不確定度的評(píng)定

8 不確定度的報(bào)告

本例所評(píng)定的骨密度測量值線性校正值的不確定度報(bào)告如表2所示。

表2 校正值的不確定度報(bào)告單位：g·cm-2

9 結(jié)語

雙能X射線骨密度儀作為醫(yī)療檢驗(yàn)中最常用的骨密度測量儀器，其測量結(jié)果的可靠性尤為重要.對(duì)于超差的DXA骨密度測量值有必要進(jìn)行線性校正，經(jīng)線性校正后骨密度測量值的相對(duì)誤差有了大幅度的減小，整體更接近標(biāo)準(zhǔn)椎骨樣品的標(biāo)稱值。通過對(duì)校正值不確定度的分析評(píng)定，由各不確定度分量及其對(duì)校正值不確定度的貢獻(xiàn)比較顯示，校正值的不確定度受校正方程斜率、截距的影響較大。