考慮不同邊界條件下的水平井產(chǎn)能公式

鄧 森，羅能強，楊思遠

（1.大慶油田有限責任公司勘探開發(fā)研究院 黑龍江大慶163712；2.黑龍江省油層物理與滲流力學重點實驗室黑龍江 大慶163712；3.大慶油田建設設計研究院 黑龍江 大慶163712）

水平井由于其貫穿油層的長度長，增大了與油藏的接觸面積，大大提高了單井產(chǎn)量，在薄油藏和裂縫性油藏中得到廣泛應用。 目前有關(guān)氣頂?shù)姿筒?、氣頂油藏、底水油藏水平井產(chǎn)能的研究較多［1-13］。范子菲把氣頂?shù)姿筒氐捻斀绾偷捉绶謩e看作恒壓邊界，利用擴散方程得到了無限大地層條件下氣頂?shù)姿筒厮骄漠a(chǎn)能公式［14］；范子菲把底水油藏頂界看作封閉邊界，底界看作恒壓邊界，再利用保角變換和勢函數(shù)理論得到了無限大地層條件下底水油藏的水平井產(chǎn)能公式［15］；Giger、Chaperon和陳元千分別推導出了底水和氣頂油藏水平井臨界產(chǎn)量計算公式［16-18］；袁淋和劉美佳分別推導出了氣頂?shù)姿筒厮骄呐R界產(chǎn)量計算公式［19-20］；呂愛民對氣頂油藏水平井的最優(yōu)垂向位置進行了研究［21］；王德龍則對氣頂?shù)姿筒厮骄淖顑?yōu)位置進行了研究［22］。

許多產(chǎn)能公式的推導都是在地層為無限大條件下得出的，對于油藏左右邊界為封閉邊界條件下的情況研究較少，因此，本文利用勢函數(shù)理論推導出了此種情況下水平井的產(chǎn)能公式。

1 氣頂?shù)姿筒厮骄a(chǎn)能公式

假設油藏存在四個邊界，A邊界為油氣界面，D邊界和B邊界為封閉邊界，C邊界為油水界面， 油藏厚度為h，BD距離為d，水平井距底水距離為ho，把A邊界和C邊界看作供給邊界， 油氣界面和油水界面均為恒壓邊界（見圖1、圖2）。 運用鏡像反映方法，對4個邊界進行映射，得到無限大平面內(nèi)的3個無窮井排，井排由生產(chǎn)井和注水井組成，圓圈代表注水井，黑色點代表采油井 （見圖3）， 生產(chǎn)井的縱坐標為2nh+ho， 注水井的縱坐標設為2nh-ho，n由-∞變?yōu)?∞，坐標系統(tǒng)設為zoy。

圖1 油藏垂直剖面示意

圖2 油藏俯視圖

圖3 氣頂?shù)姿筒厮骄成涫疽?/p>

地層中任意一點的勢為

馬斯凱特公式為

利用馬斯凱特公式，式（1）可以轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

在供給邊界上取點（0，0）代入式（3），可得

在井壁上取點（0，ho-rw），代入式（3），得

則式（5）可以轉(zhuǎn)換成

將式（6）轉(zhuǎn)化成壓力，并將q=Q/L代入可得

將式（7）轉(zhuǎn)換成油藏工程實用單位，并考慮到油藏各向異性，可得

如果B、D邊界不存在，即無限大地層，容易得到氣頂?shù)姿筒厮骄漠a(chǎn)能公式為

2 氣頂油藏水平井產(chǎn)能公式

假設油藏存在四個邊界，A邊界為油氣邊界，B邊界、C邊界和D邊界都為封閉邊界， 油氣界面為恒壓邊界。 運用鏡像反映方法，對4個邊界進行映射，得到無限大平面內(nèi)的3個無窮井排， 井排由兩類生產(chǎn)井和兩類注水井組成（見圖4），第一類生產(chǎn)井的縱坐標為4nh+ho，第二類生產(chǎn)井的縱坐標為4nh-ho，第一類注水井的縱坐標設為4nh-2h-ho，第二類注水井的縱坐標為4nh-2h+ho。

圖4 氣頂油藏水平井映射示意

地層中任意一點的勢為

根據(jù)式（2），式（10）可以轉(zhuǎn)換成

在供給邊界上選點（0，h），代入式（11），得

容易得到

在井壁上選點（0，ho-rw），代入式（11），得

式（14）可以轉(zhuǎn)化成

將式（15）轉(zhuǎn)化成壓力，并將q=Q/L代入可得

將式（16）轉(zhuǎn)換成油藏工程實用單位，并考慮到油藏各向異性，可得

如果B、D邊界不存在，即無限大地層，容易得到氣頂油藏水平井的產(chǎn)能公式為

3 底水油藏水平井產(chǎn)能公式

假設油藏存在四個邊界，A邊界、B邊界和D邊界都為封閉邊界，C邊界為供給邊界，運用鏡像反映方法，對4個邊界進行映射，得到無限大平面內(nèi)的3個無窮井排，井排由兩類生產(chǎn)井和兩類注水井組成（見圖5），第一類生產(chǎn)井的縱坐標為4nh+ho，第二類生產(chǎn)井的縱坐標為4nh+2h-ho；第一類注水井的縱坐標設4nh-ho，第二類注水井的縱坐標為4nh+2h+ho。

圖5 底水油藏水平井映射示意

地層中任意一點的勢為

由式（2）和式（19）可得

在供給邊界上選點（0，0）代入式（20），可得

在井壁上選點（0，ho+rw）

對式（22）進行整理可得

將式（23）轉(zhuǎn)換成壓力，并將q=Q/L代入可得

轉(zhuǎn)換成油藏工程實用單位，并考慮到油藏各向異性，可得

如果B、D邊界不存在，即無限大地層，容易得到底水油藏水平井的產(chǎn)能公式為

4 油藏寬厚比對產(chǎn)能的影響

設某油藏厚度為100 m，孔隙度為0.2，水平滲透率為50×10-3μm2，垂直滲透率為50×10-3μm2，原油黏度為6.13 mPa·s，原油體積系數(shù)為1.031，原油相對密度為0.935，水平井距底界距離為50 m，水平井筒長度為400 m，井筒半徑為0.05 m，生產(chǎn)壓差為3 MPa。

根據(jù)不同類型油藏作出水平井產(chǎn)量的變化關(guān)系曲線，見圖6～8。 從圖6～8可以看出，左右封閉邊界對水平井的產(chǎn)量是有影響的： 對于氣頂?shù)姿筒?，當油藏寬度等于油藏厚度?.36倍時， 存在左右封閉邊界的水平井產(chǎn)量與不存在左右封閉邊界的水平井產(chǎn)量是相等的，大于此值以后才可以忽略左右封閉邊界的影響， 把此值稱為油藏臨界寬厚比，底水油藏和氣頂油藏的臨界寬厚比分別為3.69 和4.12。 為了研究不同油藏臨界寬厚比與油藏厚度的關(guān)系，作出了油藏臨界寬厚比與油藏厚度的變化關(guān)系曲線（見圖9），從圖9可以看出，隨著油藏厚度的增加，油藏臨界寬厚比有稍微降低的趨勢，但是整體上變化不大。 氣頂?shù)姿筒氐钠骄R界寬厚比為2.41，氣頂油藏的平均臨界寬厚比為4.17，底水油藏的平均臨界寬厚比為3.76。

圖6 氣頂?shù)姿筒厮骄a(chǎn)量隨油藏寬度變化曲線

圖7 氣頂油藏水平井產(chǎn)量隨油藏寬度變化曲線

圖8 底水油藏水平井產(chǎn)量隨油藏寬度變化曲線

圖9 油藏臨界寬厚比隨油藏厚度變化曲線

5 結(jié)論

（1）考慮左右封閉邊界水平井的產(chǎn)能公式可以用于預測實際油藏的水平井產(chǎn)量，水平井距離邊界較近時， 水平井產(chǎn)能的計算需要考慮邊界的影響；距離較遠時，水平井產(chǎn)能的計算可以忽略邊界條件的影響，即可以看作是無限大地層條件下水平井產(chǎn)能的計算。

（2）考慮左右封閉邊界的水平井產(chǎn)能公式也可用于預測水平井最優(yōu)井距，當存在左右封閉邊界水平井的產(chǎn)量與不存在左右封閉邊界水平井的產(chǎn)量剛開始相等時，此時對應的油藏寬度即為水平井最優(yōu)井距，油藏厚度對油藏臨界寬厚比影響不大。